关键词：
扰动
Helmholtz方程
传输特征值问题
隐函数定理
Rellich定理
摘要：
近几十年来,反散射问题已经发展成为应用数学中的一个重要研究领域。特别是,声波和电磁波的反散射问题得到飞速发展,其广泛应用在无损检测、雷达成像等领域中,而传输特征值在其中扮演了十分重要的角色。本文针对扰动的折射率,研究Helmholtz方程在两类介质下传输特征值的存在性,具体研究内容如下:
第一章概述了反散射问题的研究背景和意义,研究现状以及本文的主要研究内容。
第二章介绍了 Rellich定理、隐函数定理、Lax-Milgram定理、迹定理和紧算子概念等与本文研究内容相关的基本知识。
第三章研究了基于Neumann-Dirichlet算子的含空隙的各向同性介质Helmholtz方程传输特征值的扰动问题。首先,根据含空隙的各向同性介质反散射中传输特征值问题的特征,构造Neumann-Dirichlet算子,建立传输特征值问题的等价形式;其次,利用格林公式、Rellich定理,证明算子的紧性,应用Riesz表示定理、迹定理等证明算子的解析性;然后,构造特征值函数,将扰动的传输特征值问题转化为算子的零特征值的扰动问题;最后,利用隐函数定理的扰动方法证明传输特征值的存在性。
第四章研究了基于Robin-Dirichlet 算子的各向异性非均匀介质Helmholtz方程传输特征值的扰动问题。基于第三章的思路,构造Robin-Dirichlet算子,建立各向异性介质Helmholtz方程传输特征值问题的等价形式;进一步利用格林公式、Rellich定理,证明算子的紧性;然后,应用Riesz表示定理、迹定理等证明算子的解析性;最后,利用隐函数定理的扰动方法证明传输特征值的存在性。
第五章总结了全文的研究内容、本文的特色与创新点,以及未来的研究内容和方向。
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