关键词:
Laplace-Beltrami算子
特征值的预定
Dirichlet特征值
特征值的渐近行为
Pólya猜想
摘要:
本文研究了紧致带边黎曼流形以及欧氏有界区域上的Dirichlet特征值的分布问题,具体内容分为三部分。首先我和导师王作勤教授研究了欧氏有界开集上的Pólya猜想,该猜想由著名数学家G.Pólya在1954年提出,截至目前,关于该猜想的突破性进展依旧比较少。本文中,我和导师王作勤教授证明了一大类欧氏乘积开集上的Pólya猜想,极大地扩充了满足Pólya猜想的开集的范围。具体来说,对于欧氏有界开集Ω1和Ω2,且dimΩ2≥2,当a足够小时,我们证明了(aΩ1)×Ω2满足Pólya猜想。我们还对将Ω2替换成黎曼流形的情况证明了类似的不等式,并因此得到了一大类满足Pólya猜想的带边黎曼流形。接着,我和导师王作勤教授研究了“预定黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的Dirichlet特征值问题”,并解决了 ***等人在[1]中提出的公开问题(Open Problem 4)。具体来说,对于三维及以上的带边光滑流形M,我们证明了:对于任意的有限单调递增正实数列以及正实数V,都存在M上的黎曼度量g,使得(M,g)的体积为V并且(M,g)上Dirichlet Laplace算子的前列特征值就是给定的有限数列。对于二维带边曲面的情况,我们也证明了类似的结论,区别是此时我们要求有限正实数列是严格单调递增的。最后,我们研究了,在挖去平面有界区域内部的小线段后,Dirichlet特征值的渐近行为,回答了 ***等人在[2]中提出的问题。具体来说,对于下面的情况:单重特征值并且被挖去的线段与该特征值的特征函数的某条节点线相切,我们给出了精确的首项渐近估计,并且将结果推广到了多重特征值。