关键词:
混合有限元方法
重调和特征值问题
Helmholtz传输特征值问题
先验误差估计
后验误差估计
自适应计算
多网格离散方案
摘要:
重调和特征值问题与Helmholtz传输特征值问题具有广泛的物理背景和重要的理论意义,其数值求解方法一直是学术界关注的研究课题.本文研究了这两类特征值问题的混合有限元方法,具体内容如下:
第一,在特征函数u和辅助函数v=Δu具有不同正则性的条件下,研究重调和特征值问题的hp混合间断有限元方法.通过建立误差恒等式推导了近似特征值和近似特征函数的先验和后验误差估计,并用浓缩算子和hp插值误差估计证明了后验误差估计子对近似特征值的可靠性.数值试验表明该方法可以获得高精度的近似解.
第二,建立了重调和特征值问题的混合间断有限元方法的多网格离散格式,推导了基于移位反迭代多网格模式下的近似特征值和特征函数的先验和后验误差估计,验证了后验误差估计子的可靠性.最后通过实施多网格模式下的自适应计算和标准的自适应计算,验证了多网格离散方案的高效性.
第三,研究了重调和特征值问题的Ciarlet-Raviart混合协调有限元方法的后验误差估计,验证了后验误差估计子的有效和可靠性并实施了自适应计算.数值试验结果表明自适应计算可以达到最优收敛阶.
第四,对散射体是吸收介质的修正传输特征值问题,研究了它的混合协调有限元方法.先利用G(?)rding不等式证明了极小极大条件和离散的极小极大条件成立,再用Babu(?)ka-Osborn谱逼近理论研究了近似特征对的收敛性,得到了先验误差估计;接下来用标准的后验误差分析方法和泡泡函数的技巧推导了近似特征对的后验误差估计,验证了后验误差估计子对近似特征函数的可靠性和有效性和后验误差估计子对近似特征值的可靠性.数值试验结果表明自适应计算可以达到最优收敛阶.
第五,针对二维空间中散射体与周围介质具有相同磁导率,或三维空间中散射体与周围介质具有相同声速的情况的各向异性传输特征值问题,首次研究了它的高阶混合协调有限元逼近,证明了连续的和离散的极小极大条件成立并给出了先验误差估计.对传输特征值问题的聚特征值,研究了它的后验误差估计和自适应计算,验证了后验误差估计子对近似特征值和特征空间的可靠性,分析了后验误差估计子对特征空间的有效性.数值试验验证了理论分析,证明了方法的高效性.