关键词:
Sturm-Liouville问题
边界条件依赖于特征参数
耦合边界条件
不定权
非实特征值
摘要:
Sturm-Liouville(S-L)问题是微分算子谱理论中的经典问题,它不仅在理论数学中具有广泛的应用,而且在物理、工程、量子力学、工程技术等领域中也扮演着至关重要的角色.S-L问题的解通常用于描述波动、热传导、振动等物理现象,因此其研究对理解多种自然现象具有重要的现实意义.在许多实际问题中,S-L问题因其广泛应用而受到越来越多的关注,例如高粘性流体流动、地球流体力学中的位涡动力系统以及机械振动等领域.因此对S-L问题开展系统深入的研究势在必行,这不仅丰富现有理论体系,还可为前沿科技与工程应用的跨越式发展筑牢根基.
随着微分算子谱理论的深入发展,带有自伴边界条件的右定S-L问题已经取得了成熟的谱理论成果,因此,越来越多的研究者开始关注不定问题.近年来,边界条件依赖特征参数的S-L问题因其在力学和数学物理中的广泛应用而受到越来越多的关注,比如涉及各类载荷的振动问题以及机械振动等.在过去几十年里,针对边界条件依赖特征参数的S-L问题已经取得了大量成果,例如特征值关于参数的依赖性、逆谱理论、特征值的渐近性、特征函数的展开及其振荡性等.众所周知,带有不定权的S-L算子会出现非实特征值.注意到,众多学者倾向于在经典边界条件,诸如Dirichlet边界条件和分离型边界条件下,对二阶不定S-L问题的非实特征值进行研究.然而,对于一维p-Laplacian问题、边界条件包含谱参数的情况、耦合边界条件以及高阶不定边值问题等情况,其非实特征值界的估计的研究却相对较少.受相关文献的启发,我们研究了几类具有不定权函数的S-L问题的非实特征值界的估计.
首先研究了在分离型边界条件下的一维不定p-Laplacian问题.利用经典分析以及测度理论,结合有界变差函数,根据权函数w(x)的变号情况构造合适的辅助函数和积分区间,通过分离实部和虚部,得出了该问题非实特征值虚部和模的上界估计.
其次研究了一类边界条件依赖谱参数的二阶不定S-L特征值问题.首先定义了新的Hilbert空间L|w|2⊕C及其中的内积,在此空间框架下构造了一个新的T,将边值问题的特征值问题转化为该算子的特征值问题,利用经典分析技巧,通过分离实部和虚部,得到特征值λ满足的等式,结合不等式估计,得到了该问题在不同权函数条件下的非实特征值虚部和模的上界估计.
接着研究了一类具有耦合边界条件的不定S-L特征值问题.利用Krein空间中的抽象算子理论,引入能够刻画变号权函数振动性的量,结合不等式估计,给出了具有耦合边界条件的不定S-L问题非实特征值模的平方的下界估计,为深入了解非实特征值的分布和性质提供了量化依据.
最后研究了一类具有不定权函数的四阶边值问题.利用Ganelius引理,结合有界变差函数,对‖Φ‖2.2 2进行估计,其中Φ是四阶边值问题的特征函数,最后给出了当权函数变号一次或任意次时非实特征值虚部和模的上界估计.
本文的主要结构如下:第一章是绪论,主要介绍了研究问题的背景和现状,并简要概述了本文的主要结构.第二章研究了具有分离型边界条件的不定p-Laplacian问题的非实特征值的上界.第三章研究了边界条件依赖谱参数的二阶不定S-L算子的非实特征值的上界.第四章研究了具有耦合边界条件的不定S-L问题非实特征值的下界估计.第五章研究了具有不定权函数的四阶边值问题的非实特征值的上界.第六章对本文所研究的问题进行总结,并对未来可继续研究的问题做一些展望.