关键词:
分数阶微分方程
传染病模型
稳定性
随机扰动
最优控制
摘要:
从古至今,传染病伴随着人类社会的发展而不断进化,并时刻威胁着人类的生命财产安全.在传染病的研究中,数学模型是分析传染病的相关特性、预防和控制传染病传播的有效工具.许多研究者根据传染病的传播特点建立合适的传染病模型,并通过定性理论分析传染病在传播过程中的动力学行为,进而有效预测并控制传染病的传播.传染病模型的建模、动力学分析和控制是重要的研究课题,在理论分析和实际应用等方面都具有很大的研究价值.在自然环境中,由于传染病的类型、传播区域和感染个体的差异,使得传染病的动力学行为受到各种因素的影响.环境中的分数阶特性、随机噪声和感染时滞等都或多或少地影响着传染病的行为特征.为了体现不同干扰因素下传染病的传播规律,本文应用Caputo分数阶微分方程和随机微分方程来建立相应的模型,分析传染病的相关动力学行为,并为传染病的预防和管控提供理论指导.具体工作如下:1.考虑到传染病的遗传性、记忆性和感染时滞,应用Caputo分数阶微分方程建立了一个带有广义发生率的时滞SIRS模型,部分已存在的传染病模型为该模型的一类特殊形式.首先,分析了该模型的一系列定性性质,包括:解的非负性,无病平衡点和地方病平衡点的存在性.根据相关的分数阶理论,分别针对有时滞和无时滞两种情况,详细讨论了无病平衡点和地方病平衡点的局部渐近稳定性.选取时滞为分岔参数,研究了模型的Hopf分岔.设计了一类时滞自反馈控制器,并讨论了受控后的模型的Hopf分岔.应用数值仿真验证了理论结果,并发现通过合理调节控制器可以使得传染病模型获得更好的动力学特征.2.在环境噪声干扰下,研究了传染病在捕食者种群和食饵种群间的传播.针对传染病仅在捕食者间传播和传染病在捕食者与食饵间种内传播这两种情况,分别建立了相应的随机种群模型.分析了这两类模型的一系列定性性质,包括:全局正解的存在唯一性、解的随机最终有界性和种群的消亡性.其中,针对传染病仅在捕食者间传播的模型,进一步分析了种群的长期动力学行为和解的全局吸引性.此外,针对传染病在捕食者与食饵间种内传播的模型,建立了传染病和种群持久共存的充分条件.3.为了研究传染病传播期间隔离个体的变化趋势,提出了两类广义的分数阶SEIR模型.分析了这两类分数阶传染病模型的一系列定性性质,包括:解的非负性、无病平衡点和地方病平衡点的存在性和局部渐近稳定性.考虑到新型冠状病毒(COVID-19)传播期间的实际情况和相关隔离措施,在这两类广义分数阶SEIR模型的基础上,提出了一个具有时变系数的分数阶COVID-19模型.通过不同地区的真实的病例数据辨识分数阶COVID-19模型的参数,基于参数辨识的结果有效拟合并预测了COVID-19的传播趋势.针对疫情出现二次增长后的传播趋势的拟合与预测问题,提出了一个有效的处理方法.4.针对COVID-19疫苗的广泛接种,提出了一个可以刻画免疫个体的分数阶COVID-19模型.分析了该模型的一系列定性性质,包括:解的非负性、无病平衡点和地方病平衡点的存在性和局部渐近稳定性.设计了两类控制策略:疫苗接种和检测隔离.在医疗资源紧缺并考虑成本的情况下,讨论了相应的分数阶最优控制问题.应用真实的病例数据辨识模型参数,检验了分数阶COVID-19模型在描述疫情发展趋势上的有效性.数值求解了分数阶最优控制问题,为疫情管控提供了理论参考依据.