关键词：
分数阶微分系统
传染病模型
时间延迟
疟疾
霍乱
最优控制
摘要：
分数阶微积分作为整数阶微积分的一种扩展在描述真实客观现象方面有着显著的优势,其独特的记忆和遗传特性存在于大多数生物系统中。同时,利用分数阶微分方程所构建的模型仅需要使用较少的几个参数就可获得较好的效果,并且克服了经典的整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好的缺陷。因此,将分数阶微积分理论和传染病动力学理论有机的融合在一起,能更好地揭示传染病传播过程中受相关性和记忆性影响的传播规律,具有非常重要的现实意义。目前,将分数阶微积分应用于传染病动力学研究已经成为了一个新的重要的研究方向。为此,本文将利用分数阶微分方程构建传染病模型,并研究其动力学性态。研究结果可以拓展和丰富分数阶微积分的应用研究,也拓宽了传染病动力学的研究方法,给传染病预防与控制提供科学的理论依据,既有理论研究意义,也有实际应用价值。本文的研究内容如下:
(1)鉴于疾病爆发时社区医疗资源能力有限,建立了一类具有饱和发生率和饱和治疗函数的分数阶延迟SIR传染病模型。首先,对其动力学性质进行了理论研究,包括解的适定性、基本再生数、平衡点的存在性和稳定性。结果表明医疗资源的容量对传染病动力学行为有重要影响。如果医疗资源充足,基本再生数作为确定疾病状态的阈值参数。如果医疗资源有限,则系统可能表现出更丰富的动力学行为,如存在后向分支现象等。最后,基于所提出的模型,通过引入疫苗接种和增加治疗强度作为控制干预来考虑相应的最优控制问题。
(2)鉴于疾病发生率是揭示疾病传播机理的一个重要指标,提出了具有广义非线性发生率和暂时免疫的分数阶延迟SIRS传染病模型。利用不等式技术和不动点定理证明了解的适定性,即解的正则有界性、存在唯一性。然后,利用下一代矩阵法、分数阶稳定性理论、Lyapunov函数理论和Lasalle不变性原理,给出了传染病传播的阈值条件以及平衡点的存在性和稳定性。结果表明,通过调控延迟参数以及其他相关参数,可以使疾病传播的阈值小于1,从而达到控制疾病流行的目的。最后,在两种不同的发生率下对所提出的模型进行了数值模拟。
(3)鉴于分数阶微分方程建模的优势,将经典整数阶疟疾传播的非线性延迟Ross-Macdonald模型扩展成为分数阶模型,丰富了动力学行为并增加了复杂性。系统地研究了疟原虫在人体内和蚊子体内的潜伏期对疟疾传播动态行为的影响。研究结果表明,时间延迟会破环系统的稳定性,即会使系统从稳定状态转变为不稳定状态,并通过Hopf分支出现周期性振荡行为。
(4)鉴于大多数霍乱主要在治疗设施有限的发展中国家和不发达国家流行,提出并研究了一种具有不完全免疫接种和饱和治疗函数的分数阶SVIR-B霍乱模型。首先证明了该模型在流行病学和数学上都是适定的。其次,使用下一代矩阵法推导出了控制再生数,并通过分析相应的特征方程和构造合适的Lyapunov函数得到了无病平衡点附近的动态性质。然后,进一步讨论了地方平衡点的存在性、稳定性以及向后分支和Hopf分支的可能存在性。结果表明当缺乏充足的医疗资源时,难以有效控制霍乱。因此在大规模霍乱爆发期间,有必要部署相对充足的医疗资源从而使系统在无疾病平衡点的意义上无疾病。最后,为了尽快控制和减少霍乱的传播,通过结合不同类型的控制策略提出了最优控制问题,为霍乱的控制和预防提供了理论依据。
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