关键词：
细胞尺度
时滞
后向分支
适定性
稳定性
最优控制
摘要：
本文构建并研究了几类具有尺度结构的自养/异养单细胞藻类絮凝动力学模型.利用积分半群理论、线性稳定性理论、不动点定理、收缩半群理论、分步法、法锥和共轭系统方法等,研究了这些具有尺度结构的单细胞藻类絮凝模型的动力学性质,如模型解的适定性、平衡态的存在性、平衡态的局部与全局渐近稳定性、最优控制问题的最小值原理、最优控制的存在唯一性等.具体包括以下几方面的研究内容:第三章中,对于光合自养的单细胞藻类,在考虑不同粒径细胞有效光合作用截面积的差异,以及不同粒径的细胞在絮凝上的差异的基础上,构建了自养条件下具有尺度结构的单细胞藻类絮凝动力学模型.首先,对模型的解的适定性进行了分析,利用积分半群有关理论得到了解的存在唯一性.随后,通过一些稳定性分析中的经典方法对模型平衡态进行分析,说明如果阈值参数R0>1,系统存在正平衡态,藻类不会灭绝;如果阈值参数R0<1,边界平衡态局部渐近稳定,则初始时刻藻细胞过少会导致藻类种群的灭绝;如果阈值参数V0<1,边界平衡态全局渐近稳定,藻类种群一定会灭绝.最后,给出了一些数值模拟,说明模型在R0<10时会出现后向分支.第四章中,对于异养的单细胞藻类,首先,基于不同大小的藻细胞在营养吸收和絮凝上的差异,构建了异养条件下具有尺度结构的单细胞藻类絮凝动力学模型,利用不动点定理证明了解的存在唯一性.然后,对模型的平衡态进行分析,证明了如果阈值参数R0>1,模型存在正平衡态;如果阈值参数V0<1,模型不存在正平衡态.并通过收缩半群理论给出了正平衡态局部稳定的条件,利用特征方程给出了正平衡态不稳定的条件和边界平衡态全局渐近稳定的条件.最后,通过数值模拟说明模型在R0<10时会出现后向分支,以及正平衡态局部稳定的条件是非空的.第五章中,考虑到藻细胞的繁殖的时滞,以及在藻类絮凝采收和藻类污水治理的过程中,往往需要考虑通过其他的方法同时进行控制.因此,在第四章模型的基础上提出了一个具有时滞的尺度结构单细胞藻类絮凝模型的最优控制问题.首先,为了研究及应用的方便,对模型进行了无量纲化,利用不动点定理和分步法证明了解的适定性,并研究模型的平衡态.随后,讨论其最小差异问题,获得了解关于控制变量的连续依赖性,通过共轭系统的构造给出最优反馈控制率,并证明了最优控制的存在唯一性.最后,进行了一些数值模拟,该数值模拟考虑的是对藻类水华的治理,先将没有控制和进行控制的情况进行了对比,发现控制变量v（t）对于藻细胞密度的控制有明显的作用,说明在絮凝剂添加较少时加入其他控制手段（如爆气法）可以明显提高控制效果.并考察了初始函数P0（s,t）和控制成本σ的影响,说明当藻类的初始浓度不同或者控制成本不同,所需的控制策略也不同,且得到的泛函值J（v*）也不同.这些结果对于藻类资源的开发利用与藻类水华的科学控制具有一定的指导意义.本文主要的创新点如下:1.藻类细胞的大小对光合作用和絮凝作用有显著影响.为此,本文第三章引入了细胞大小因素,并建立具有尺度结构的偏微分方程模型来研究光合自养藻类的絮凝问题.利用积分半群理论等分析了模型的解的适定性和平衡态的稳定性,给出了研究结果的生物学意义,通过数值模拟观察到了后向分支的存在.2.在工业生产上异养培养应用更为广泛,这种培养方式是由外界供给微生物营养物质.因此,本文第四章基于不同大小细胞在吸收营养物质能力上的差异,建立了具有尺度结构的异养藻类絮凝模型.利用不动点定理和阈值R0,得到了模型的解的适定性和平衡态的存在性.利用收缩半群理论等,得到了边界平衡态的全局稳定性和正平衡态局部稳定性的充分条件.用数值方法观察到平衡态的后向分支和双稳态的出现.3.当使用絮凝剂进行藻类采收或污水处理时,通常需要其他方法进行控制.因此,本文第五章提出了一个具有尺度结构的单细胞藻类絮凝模型的最优控制问题.利用不动点定理和分步法得到了解的适定性.对于最小差异问题,导出了最优反馈控制律,并证明了最优控制的存在唯一性.数值模拟说明在对藻类水华的治理过程中,控制变量v（t）对于藻细胞密度的控制有明显的作用.
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