关键词:
二维线性抛物方程
非柱状域
Stefan问题
最优控制
摘要:
本文研究如下Stefan问题的最优控制问题:(?)(0-1)ρ(φ,0)=ρ0(φ),φ∈[0,2π],(0-2)(V-νΔV)·n=-?u/?n,(x,t)∈∑ρ,(0-3)其中ρ(φ+2π,t)=ρ(φ,t),(φ,t)∈R×[0,T],Ωρ(t)(?){x∈R2:x=(x1,x2)=r(cosφ,sinφ),0≤r<ρ(φ,t),φ∈[0,2π)},Ω0(?){x∈R2:x=(x1,x2)=r(cosφ,sinφ),0≤r<ρ0(φ),φ∈[0,2π)},Qρ(?){(x,t):x∈Ωρ(t),t∈(0,T)},Σρ(?){(x,t):x∈?Ωρ(t),t∈(0,T)}.T>0.V是自由边界?Ωρ(t)的速度,ν是一个正常数,u=u(x,t)为系统的状态,v=v(x,t)为控制函数,通过非空开集ω作用到系统上.u0(X)和ρ0(φ)给定.(0-3)是自由边界满足的Stokes型条件.性能指标泛函为J(v(·))=∫Ωρ(T)u2(x,T)dx+?ω×(0,T)v2(x,t)dxdt.(0-4)考虑如下最优控制问题:寻找控制v(·,·),使得利用固定边界方法和Schauder不动点定理,我们证明了在一定条件下,上述最优控制问题对足够小的初值存在最优控制.