关键词:
椭圆方程最优控制问题
混合虚拟元法
先验误差估计
摘要:
偏微分方程约束最优控制问题在材料设计,资料同化和反问题计算等领域有着广泛的应用,关于其数值方法的研究是科学计算领域前沿问题之一.本文着重研究了目标泛函中包含状态变量通量的椭圆方程约束最优控制问题,构造了混合虚拟元离散格式,建立先验误差估计.首先,考虑如下点态控制约束的常系数椭圆方程最优控制问题:(?)J(p,y,u):=1/2‖p(x)-pd(x)‖2+1/2‖y(x)-yd(x)‖2+γ/2‖u(x)‖2 s.t.其控制约束集为Uad={u(x)∈L2(Ω):a≤u(x)≤b,a,b∈R,a≤b},其中Ω(?)R2是具有Lipschitz边界Γ的有界凸多边形区域,Γ=Γ1∪Γ2,Γ1和Γ2是Γ的开子集,且|Γ1|,|Γ2| ≠0.J(p,y,u)是目标泛函,γ>0是正则化参数.p(x)和y(x)分别表示速度场和压力场,f(x)∈L2(Ω)代表源项,K代表介质的渗透率,是一个常数矩阵.理想状态pd(x)和yd(x)分别属于空间L2(Ω):=(L2(Ω))2和 L2(Ω).针对上述问题,通过对状态方程采用混合虚拟元离散,对控制变量采用变分离散,构造了混合虚拟元离散格式.基于先离散后最优的方法,推导出离散一阶最优系统.通过引入辅助问题,建立了状态变量,伴随状态变量和控制变量的先验误差估计,数值实验验证了理论结果.其次,研究了如下点态控制约束的变系数椭圆方程最优控制问题:(?)J(p,y,u):=1/2‖p(x)-pd(x)‖2+1/2‖y(x)-yd(x)‖2+γ/2‖u(x)‖2 s.t.其控制约束集为Uad={u{x)∈L2(Ω):a ≤u(x)≤b,a,b ∈R,a≤b},其中Ω(?)R2是具有Lipschitz边界Γ的有界凸多边形区域,J(p,y,u)是目标泛函,γ>0是正则化参数.κ(x)和μ(x)是Ω→R的光滑函数,对于任意的x∈Ω有 κ(x)≥κ0>0 且μ(x)>0.对于上述问题,通过对状态方程使用混合虚拟元离散,对控制变量使用变分离散,建立了混合虚拟元离散格式.基于先离散后最优的策略,推导了离散一阶最优系统,运用对偶论证技术建立了状态变量,伴随状态变量和控制变量的先验误差估计,并通过数值例子验证了理论结果.