关键词：
分数阶抛物系统
外部最优控制
分数阶拉普拉斯算子
耦合系统
解的存在性
最优性条件
摘要：
抛物系统描述了物质在空间中随时间变化的反应扩散现象,抛物系统及其相应的最优控制问题的研究已经有了丰富的成果,为生产生活实践中提供了卓有成效的指导和方案.由于非整数阶导数特性能够更准确地捕捉到物质传输过程的非局部性质,在抛物系统模型中引入分数阶导数,能更精准地反映某些物质运动的动态特性,在描述复杂系统方面展现出更好的灵活性.而外部最优控制在分数阶抛物系统中的应用,旨在寻找最优的外部控制策略,实现系统达到期望的分布状态.这不仅为生物医学等领域技术应用提供新的理论基础和指导,同时将进一步拓展分数阶最优控制问题的研究理论,丰富发展分布参数系统最优控制理论的研究成果.因此,分数阶抛物系统外部最优控制问题的研究具有理论意义和应用价值.
本论文考虑了几类分数阶抛物系统及其相应的外部最优控制问题.对分数阶抛物方程初外值问题解的性质进行研究,并证明线性和半线性分数阶强或弱耦合系统解的存在唯一性和有界性.进而给出了相应的外部最优控制问题解存在的充分条件以及最优性条件,具体研究如下:
第三章主要研究具有Dirichlet外值条件的线性分数阶抛物弱耦合系统及其相应的外部最优控制问题.首先,应用半群理论和平移方法,证明了分数阶抛物方程弱解的存在唯一性.结合对偶方法,获得了分数阶抛物方程非常弱解的存在唯一性定理,证明了受控系统解的适定性.然后,通过证明控制状态算子的弱序列连续性,得到外部最优控制问题最优解的存在性.最后,给出了外部最优控制问题的最优性条件.
第四章主要研究具有Neumann外值条件的半线性分数阶抛物弱耦合系统及其相应的外部最优控制问题.首先,证明了线性分数阶抛物方程弱解的存在唯一性定理.基于Banach不动点定理,导出了半线性分数阶抛物方程解的存在唯一性,应用外局部迹嵌入引理和Sobolev嵌入定理,获得了弱解的L∞(Q)估计.联立热传导方程解的存在唯一性推出了受控系统弱解的适定性.然后,通过引入控制到状态算子,并证明算子的弱序列连续性、Lipschitz连续性和Fréchet可微性.应用目标泛函的弱下半连续性,推出了最优控制的存在性.最后,利用Lagrange技巧获得了外部最优控制问题的最优性条件.
第五章主要研究具有Robin外值条件的线性分数阶抛物强耦合系统及其相应的外部最优控制问题.首先,应用Galerkin方法证明了受控系统逼近解的存在唯一性和弱解的存在性.通过引进Steklov平均方法提高了弱解的正则性,推出了解相关的能量恒等式并获得了弱解的唯一性.然后,根据控制状态算子的弱序列连续性证明了最优控制的存在性.最后,给出外部最优控制问题的最优性条件.
在外部最优控制模型的构建中,我们采用的是外局部控制,更符合实际应用;其次,在最优控制问题最优性条件的推导中,对受控系统解的正则性要求较高.本文通过外局部迹嵌入引理、Sobolev嵌入定理和Steklov平均等方法,克服了非局部分数阶算子导致受控系统解缺乏相关的正则性这一难题.
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