关键词：
变分-半变分不等式
广义罚方法
最优控制
数值方法
接触力学
摘要：
变分-半变分不等式是半变分不等式的推广,其特征是不等式中同时包含凸和非凸势函数。近年来,鉴于其在力学、工程、控制等领域的重要应用,变分-半变分不等式受到了越来越多的关注和研究,优秀的研究结果层出不穷。然而,由于变分-半变分不等式的研究起步较晚,目前仍存在很多问题亟待解决并且在力学、工程技术等领域的复杂实际问题中的应用需要进一步发掘,因此,对变分-半变分不等式问题的理论和应用研究具有重要意义。本文旨在针对变分-半变分不等式相关问题进行研究,包括罚方法的收敛性,正则化方法的收敛性,最优控制问题以及数值方法,同时探索相关理论结果在接触力学等问题上的应用。
首先,本文探讨了椭圆型变分-半变分不等式问题的广义罚方法,该方法是一种求解变分-半变分不等式的近似方法。基于Tikhonov适定性和罚方法的思想,研究了单值椭圆型变分-半变分不等式问题的广义罚方法,证明了广义罚问题的解能够收敛到原始问题的唯一解。而后研究了一类集值椭圆型变分-半变分不等式问题,由于该不等式中的凸函数是广义实值函数,所以传统罚方法不再适用。基于传统罚方法和Moreau-Yosida近似技术本文构造了集值椭圆型变分-半变分不等式的广义罚问题,并利用Moreau-Yosida近似函数的良好性质证明了广义罚问题的解的收敛性。最后,针对两类带有单边约束条件的弹性接触问题建立了变分模型,并借助抽象椭圆型变分-半变分不等式广义罚方法的理论结果得到了其弱解的存在性及其弱解的近似结果。
之后,本文考虑了求解变分-半变分不等式的另一种近似方法,即正则化方法。本文针对椭圆型拟变分-半变分不等式的正则化方法进行了研究。首先借助不动点定理和变分选择获得了椭圆型拟变分-半变分不等式的可解性,推广了已有可解性结果。然后研究了正则化问题的可解性以及正则化问题解序列的收敛性。具体的,在较弱的条件下证明了正则化解序列的弱收敛性,而后通过增强某些条件得到了正则化解序列的强收敛性。最后借助抽象椭圆型拟变分-半变分不等式的正则化方法,对带有形变约束的弹性摩擦接触问题进行了研究,探讨了其弱解的存在性以及在数据扰动下的稳定性。
然后,本文研究了更为复杂的一类抛物型拟变分-半变分不等式问题的可解性和最优控制问题。首先,证明了该抛物型拟变分-半变分不等式与其积分形式等价,并利用不动点定理和满射性定理得到了该抛物型拟变分-半变分不等式问题的可解性,这种方法避免了对解的唯一性的要求。随后借助约束集合的Mosco连续性证得了解关于初值和右端向量的连续依赖性,基于其解的连续依赖性,研究了相应的最优控制问题,并证明了最优控制问题的可解性。最后,将得到的理论结果应用到了一类带有形变约束的黏弹性摩擦接触问题上,证得了接触问题弱解的存在性以及相应的最优控制问题的可解性。
最后,本文针对产生于多接触区域动态接触问题的一阶发展型变分-半变分不等式研究了数值方法。首先构造了全离散有限元格式并证明了离散格式的适定性和稳定性,同时对其最优阶误差估计进行了分析和研究。其次,为了同时处理两个接触区域的非单调条件本文基于Lagrange乘子法设计了投影迭代算法用于求解接触问题弱形式的离散解,并在一定的假设条件下从理论上证明了算法的收敛性。最后,给出了两个数值算例,该算例验证了理论结果的正确性并说明了投影迭代算法的适用性。
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