关键词:
极大值原理
线性二次型
最优控制Riccati微分方程
平均场控制系统
分数布朗运动
摘要:
本文研究了一类平均场型线性二次随机最优控制问题。状态方程如下:其中WH是分数布朗运动,它的Hurst参数H∈(1/2,1),关于分数布朗运动WH的随机积分为 Wick-It(?)型,x0∈Rn,A(·),A(·),C(·),C(·)∈Rn×n,B(·),B(·),D(·),D(·)∈Rm×n是给定的矩阵值确定函数,X(·)∈Rn是状态过程,u∈U([0,T])是取值于Rm的凸子集的适应的控制过程。指标泛函为:J(u(·))=J(x0;u(·))=E{(?)[+++(RtE[ut],E[ut]>]dt++},其中Q(·),Q(·),R(·),R(·)是矩阵值对称函数,G,G是对称矩阵。
本文的目的是求出最优控制u*∈U([0,T])需要满足的必要条件(也就是随机极大值原理)使得J(u*)=(?)J(u),及其充分条件。然后,利用变分方法,我们得到了最优性系统,它是一个耦合的平均场正倒向随机微分方程,其中平均场倒向随机微分方程是由布朗运动驱动的,但微分方程中包含Malliavin导数,这使得在实际中它很难求解。而最优控制需要满足的条件中还依赖这个带有平均场的倒向随机微分方程的解,于是,我们还关心如何解耦平均场倒向随机微分方程的问题,同时寻求如何解决这个Malliavin导数,也就是使得最优控制可以显式的表示出来,只依赖最优状态X*。为此,我们发现当扩散项满足一定条件时,利用解耦技术和Malliavin计算,得到了两个在一定条件下唯一可解的Riccati微分方程。最后我们给出了无Malliavin导数的平均场倒向随机微分方程的显式解以及最优控制的反馈表示。