关键词:
最优控制
先验误差估计
P02-P1混合有限元
分裂正定
两网格
质量集中
摘要:
最优控制问题在科学和工程领域中发挥着重要作用.它在物理、社会和经济的运作中有着不同的应用背景.因此,解决这类问题的有效数值算法尤为重要.近年来,很多作者对最优控制问题进行了广泛深入的研究.本文分别应用两网格P02-P1混合有限元方法、两网格有限元方法、分裂正定混合有限元方法和质量集中有限元方法研究几类偏微分方程最优控制问题的误差估计.
文章主要分为四部分.第一部分,我们针对半线性椭圆最优控制问题,给出两网格P02-P1混合有限元逼近格式,其中状态变量和对偶状态变量由P02-P1混合有限元逼近,控制变量由分片常数逼近.首先,我们利用稳定性分析和对偶论证方法验证了所有变量的先验误差估计;其次,利用目标泛函的凸性得到了控制变量的超逼近结果;再次,在两网格格式中,我们把粗网格空间上得到数值解代入到细网格空间上,利用数值解和泰勒展式将耦合的半线性椭圆最优控制问题转化为解耦的线性问题.当满足h=H2时,两网格方法能有效地缩短计算时间,并且与P02-P1混合有限元法有相同的收敛精度.最后,通过数值例子证明理论结果的正确性.
第二部分,我们针对抛物积分微分最优控制问题,给出两网格全离散有限元逼近格式,其中状态变量和对偶状态变量由分片线性函数逼近,控制变量由分片常数逼近.首先,我们证明了状态变量和对偶状态变量的L∞(L2)范数下的先验误差估计及控制变量的L2(L2)范数下的误差估计;其次,利用修复算子给出了所有变量的全局超收敛性分析;再次,提出了两网格有限元方法并给出了相应的收敛性分析,在两网格算法中,我们将耦合的抛物积分微分最优控制问题转化为解耦问题,并且当粗细网格尺寸满足h=H2时,两网格算法就可以实现渐进最优逼近;最后,给出算例验证理论的正确性.
第三部分,我们研究伪抛物积分微分最优控制问题,给出了半离散分裂正定混合有限元逼近格式,其中状态变量和对偶状态变量通过最低阶的Raviart-Thomas混合有限元逼近,控制变量通过分片常值函数逼近.首先,我们利用变分原理和最优化理论给出分裂正定混合有限元逼近格式和相应的最优性条件;其次,我们利用稳定性分析得到所有变量的先验误差估计;最后,利用修复算子给出控制变量的超收敛性分析.
第四部分,我们分析伪双曲积分微分最优控制问题,给出了半离散质量集中有限元逼近格式,其中状态变量和对偶状态变量由分片线性函数逼近,控制变量由分片常数逼近.首先,我们利用变分原理和最优化理论给出标准有限元逼近格式和相应最优性条件;其次,构造了一个具有质量集中有限元逼近的半离散格式;最后,我们得到控制变量L2(L2)范数下的先验误差估计,同时得到状态变量和对偶状态变量L∞(L2)范数下的先验误差估计.