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关键词： 近世代数   研讨式教学   抽象性   习题课   考核方式  

摘要： 近世代数是数学专业的重要课程,现已渗透各个科学领域,特别是在编码、密码等方面的应用更是十分广泛。文章主要探讨了近世代数课程的实用教学方法,以增强教学效果,进一步提升学生运用数学的能力。

关键词： Coq   机器证明   近世代数   群   同态  

摘要： 人工智能是作为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力,是引领未来的战略性技术,已正式上升为国家战略。而人工智能中一个非常重要分支就是自动推理,自动推理的大量工作都集中在定理机器证明中。定理机器证明是指使用计算机证明定理的成立,即把人证明定理的过程,通过一套符号体系加以形式化,变成一系列在计算机上自动实现的符号计算的过程[1],它是人工智能近代主攻的课题之一。Coq是一个基于归纳构造演算的交互式定理证明工具[2],它使用类型对需要验证的程序或命题进行描述和证明,非常适合证明需要严格符合规范的程序。目前,在国内外的定理机器证明领域,Coq是主流的辅助证明工具之一,它有着强大的数学模型基础和良好的扩展性,并拥有完整的工具集[3],在推理和编程方面,表现出强大的表达能力。序结构、代数结构、拓扑结构是数学的三大基本母结构,这三大母结构的交融促进了数学的纵深发展。代数结构包括群、环、域三大结构[4-6],其中群是环和域的基础,群在数学领域有着举足轻重的地位,在其他学科也有广泛的应用。数学定理的机器证明是数学可靠性和严谨性的体现,它连通了计算机领域和数学领域,通过机器验证过的定理是完全可信的。对群论实现形式化是对其进行验证的过程,在数学定理的机器证明领域具有深刻意义。本文以张禾瑞教授的著作《近世代数基础》作为理论依据,基于交互式定理证明工具Coq,构建了群论体系的形式化系统。本文从近世代数的基本概念出发,给出了集合、映射、代数运算、关系等概念的形式化定义,然后给集合加上运算,定义出群的概念。接着讨论了一些特殊的群,并定义出子群,在不变子群的基础上讨论了群的同态、不变子群和商群,最后针对群论中的一些重要定理给出了形式化证明。本文的创新点在于利用Coq实现了以上定义的形式化描述以及定理的严谨证明,群论的形式化不仅验证了群论体系的严谨性与可靠性,更是数学在人工智能领域的一个成功的案例。

关键词： 带余除法   环   多项式   高等代数   同余类  

摘要： 带余除法在代数数学中占据着重要的地位，本科阶段唯一接触的两门关于代数数学的课程就是高等代数和近世代数。无论是高等代数还是近世代数，都存在带余除法定理。二者之间具有一定的联系，也存在着一些不同.学习了近世代数后，为“多项式的因式分解”提供了新的思路。文章就高等代数与近世代数中的带余除法定理进行了简单的比较和分析，同时对比了环与矩阵上的运算规律，思考整系数多项式环中的因式分解，加深对于知识的理解和认识。

关键词： 近世代数   教学改革   探讨  

摘要： 近世代数是大学数学专业比较抽象的一门专业必修课.从教学内容、教学方法和教学手段等方面给出如何提高课堂教学效果的几点体会.

关键词： 同构思想   线性空间   群   环  

摘要： 在高等代数和近世代数课程的教学中,需要设计恰当的例题和习题来帮助学生理解一些抽象的概念.在经典的代数类教材中,会发现一些设计精巧而又富有趣味性的习题和例题.一个自然的问题是,这些例题和习题是如何设计出来的?本文通过四个例子展示了同构思想在这些题目设计中的重要作用.

关键词： 探究式教学   群   置换   子群的陪集  

摘要： 针对近世代数内容抽象的特点,采用探究式教学法引导学生从实例出发,探究出定义、定理的内容;介绍了一些探究式学习的教学设计方法,包括由具体到抽象教学法、类比教学法、趣味教学法、几何直观教学法等;探究式教学法强调了学生的主体性原则,表现为学生能够主动建构新知识,成为定义、定理的发现者.

关键词： 环论   群   代数运算   近世代数  

摘要： 环是群在定义上的进一步延伸,但环又比群多了一重代数运算,文章首先对环的定义进行详细阐述,之后再对环论中若干典型问题进行探究,并尽可能给出详细的解法。

关键词： 整除   循环群   子群   群论   阶  

摘要： 高等代数中整除性在数学相关学科中有着广泛的应用,尤其在群论中有关阶的问题中应用突出.本文通过分析整除性解决群论中阶的相关问题中所起的关键性作用,阐明整除性在群论中应用的有效性及灵活性,以期为利用整除性解决群论中阶相关问题提供一定的帮助和指导作用.

关键词： 几何解释   正交变换   有向线段  

摘要： 近世代数又称抽象代数,其作为数学的一门学科,主要研究对象是代数结构,比如群、环、域、模、矢量空间和代数。近世代数这门课程具有极高的抽象性,在一定程度上,这门课程中的很多概念是从一些具体的数学模型中抽象出的一般结构.另外,每一次抽象回到具体,能够化解一些具体问题,甚至能解决一些以前不能解决的问题。几何学与近世代数相联系,用几何的知识如:图形变换、向量运算和空间曲面等,来解释近世代数的相关问题,将抽象的近世代数问题具体化,使学者在学习过程中更加直接明了的理解相关理论。近世代数不同于高等代数的深化具体,更偏向于抽象。

关键词： 二元运算   近世代数   群   映射  

摘要： 近世代数中群概念抽象、概括性高,不易理解,从映射的要素来理解和认识群定义中的运算和规则。