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关键词： 常微分方程   统计诊断   两步估计法   样条基函数   整体扰动   HIV模型  

摘要： 常微分方程的参数在实际应用中通常是未知的,需要根据实际观测数据估计出参数值。然而由于客观因素的影响,各观测数据对于参数估计的影响大小不同,因此有必要对方程进行统计诊断。传统的参数估计方法计算量比较大,导致统计诊断也很困难。为了克服这个缺陷,本文基于样条基函数的两步估计法来进行统计诊断。首先,本文分析了基于两步估计法的ODE统计诊断方法,包括数据删除模型和扰动模型,给出了诊断统计量,并且基于该统计诊断方法对HIV模型进行统计诊断,构造了不同情况下HIV模型的诊断统计量。通过模拟实验可以发现:(1)基于两步估计法的统计诊断方法可以检测出数据中的异常点;(2)相对于其它文献中的方法,该方法可以有效地检测出受到微小扰动的点;(3)该方法可以减弱边界点的影响。其次,本文提出了基于整体扰动的ODE统计诊断方法,并将该方法用于对HIV模型的统计诊断。与其它统计诊断方法相比,该方法对拟合后的曲线做扰动,而不是对数据点直接加扰动,简化了影响分析步骤,并且更加直观。通过对模拟实验的分析发现:(1)基于整体扰动的ODE统计诊断方法可以有效地检测出数据的强影响区域,并判断出强影响点;(2)该方法减少了样条基拟合过程产生的误差,诊断结果更加准确。获得的结论也可以推广到其他常微分方程的统计诊断问题中。最后,本文将相似的思想应用到高阶常微分方程的统计诊断中。

关键词： 常微分方程   边值问题   Volterra积分方程   正解   不动点定理   不动点指数  

摘要： 常微分方程边值问题是常微分方程学科的重要组成部分之一,在经典力学、工程学和金融学等领域有着极其重要的应用,并且许多实际问题都可以转化为微分方程的边值问题或者积分方程来研究.本文研究了几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性和积分方程的数值解.本论文主要的工作安排如下:第一章绪论部分简要介绍了非线性常微分方程边值问题和积分方程的发展历史及研究现状,并且给出了本文常用的概念和定理.第二章主要研究了非线性Dirichlet型三点边值问题正解的存在性.借助非线性泛函分析中的锥拉伸与压缩不动点定理,得到更为具体的非线性Dirichlet型三点边值问题正解存在性的结果.然后,给出了具体的例子作为应用.第三章主要研究了广义n-点边值问题正解的存在性.同样利用锥拉伸与压缩不动点定理,得到了广义n-点边值问题正解的存在性的条件.最后,给出了一个应用例子.第四章主要研究了半正脉冲微分方程边值问题两个正解的存在性.借助不动点指数的基本性质,得到更为普遍的半正脉冲奇异微分方程边值问题两个正解存在的条件.第五章主要研究了非线性Volterra积分方程的数值解,介绍了非线性第二类Volterra积分方程的两种解法:逐次逼近法和Newton-Kantorovich方法,分别给出了应用例子,且利用MATLAB软件求出方程的解,并且比较了两者的收敛速度.第六章是本文的总结与展望.

关键词： 常微分方程   数学建模  

摘要： 在大学数学教学中,常微分方程教学十分重要,在整体的数学教学中具有承上启下的意义,另一方面,常微分方程教学与我们的生活息息相关。尽管现阶段常微分方程教学在大学数学中的地位逐渐提高,然而因为教学中存在的一些问题导致教学过程中仍然面临诸多问题,其一常微分方程教学过于重视理论,缺乏实践;其二,课堂中教师忽略学生的主观作用,缺乏学生动手实践的能力,只是学习常微分方程的基础理论,却不能利用其解决实际问题。为了解决这些问题,

关键词： 二阶常微分方程   三点边值问题   积分方程   解的存在唯一性   数值解   收敛性和误差估计  

摘要： 为了能够更加精确的模拟实际物理过程,有必要对力学中一些典型的微分方程非局部边值问题进行系统的研究.本文考虑几类重要的线性、非线性和分数阶常微分方程,研究它们在几种不同的三点边值条件下解的存在性和唯一性及逼近方法.主要内容有：第1章概述阻尼振动方程、Duffing方程以及分数阶Bagley-Torvik方程的来源,国内外研究现状与发展趋势.第2章介绍一些预备知识,主要包括分数阶微积分的定义,积分方程的分类,以及在解的存在性和唯一性定理中所涉及到的一些不动点原理.第3章采用积分方法将一般化的阻尼振动方程三点边值问题转化为第二类Fredholm积分方程,利用压缩算子原理在平方可积函数空间研究了其解的唯一性,然后提出了求解第二类线性Fredholm积分方程的微分型分段Taylor级数展开法,获得了近似解的表达式并进行了收敛性和误差估计,和已有方法进行比较,通过数值实例验证了数值方法的可行性和有效性.第4章将一般化Duffing方程三点边值问题转化为第二类Hammerstein积分方程,并利用Schauder不动点原理以及Banach空间的压缩算子原理分别研究了解的存在性和唯一性,给出了相应的充分条件,然后将微分型分段Taylor级数展开法拓展到非线性积分方程的情形,构造了近似解并给出了其收敛性和误差估计,通过数值实例对方法进行了验证.第5章将分数阶变系数Bagley-Torvik方程三点边值问题转化为含有弱奇异核或者连续核的第二类Fredholm积分方程,利用不动点原理在连续函数空间研究了解的唯一性,然后提出了积分型分段Taylor级数展开法,得到了含有弱奇异核的第二类Fredholm积分方程的近似解.通过对近似解的收敛性、误差估计和数值实例进行计算分析,验证了获得的定理.最后,总结本文工作,提出了进一步将研究的问题.

关键词： 非线性元件   扭簧刚度模型   扭转振动方程   常微分方程  

摘要： 推进轴系的扭转振动是引起内燃机动力装置故障的原因之一。传统的轴系扭振计算是以线性理论为基础的,实际的推进轴系却具有很强的非线性特性,因此想更加深入揭示轴系的运动规律,就必须采用非线性动力学理论来计算。本文主要讨论具有非线性特性的元件,其一是盖斯林格联轴器,它的主要作用就是用来联接两根相邻的轴,在两根轴之间起到缓冲、减振和提高轴系动态性能的作用。而另一个是扭簧减振器,它的主要作用是缓解外界带来的轴系之间的冲击,迅速吸收产生的振动,使发动机恢复到正常工作状态。首先根据材料力学理论与结构的几何关系,建立一个扭簧的非线性刚度模型,对采用该模型的扭转振动方程,分析了方程解的存在性、周期性以及稳定性,探讨了在无阻尼情况下方程的特解与有阻尼情况下该方程振幅的收敛速度,通过与实验数据的的对比验证了模型的正确性,为后面的仿真计算提供理论支持。然后,以东风5机车的内燃机轴系为计算实例,通过观察法,建立含有10个自由度的扭振方程,并在方程中考虑了盖斯林格联轴器的非线性特性对系统的影响,利用参考文献中给出的东风5机车各参数。最后,采用Runge-Kutta法,对自由振动下的固有频率与振型矩阵及受迫振动下的应力、角位移以及扭矩进行计算与分析,仿真结果与实测结果相比较,验证了本文理论结果的正确性。

关键词： Initial value problems   Variables (Mathematics)   Ordered sets   Derived categories (Mathematics)   Mathematical models  

摘要： An alternative block method for solving fifth-order initial value problems (IVPs) is proposed with an adaptive strategy of implementing variable step size. The derived method is designed to compute four solutions simultaneously without reducing the problem to a system of first-order IVPs. To validate the proposed method, the consistency and zero stability are also discussed. The improved performance of the developed method is demonstrated by comparing it with the existing methods and the results showed that the 4-point block method is suitable for solving fifth-order IVPs. © 2016 Nazreen Waeleh and Zanariah Abdul Majid.

关键词： 常微分方程   教学方法   数学建模   线性代数   微课  

摘要： 常微分方程是一门重要的数学基础课,作者结合教学经验,对常微分方程的教学方法进行初步探讨。

关键词： 分段线性   Rayleigh-Ritz法   基函数   右间断  

摘要： 在建立数学模型研究复杂的系统工程学科时,为了获得设计的数据,常常会遇到常微分方程右端函数间断的困难。求出符合要求的近似解,也是有一定实际意义的。本文是针对带有边值条件的二阶常微分方程右间断问题提出的数值解法,其中主要解决的是右端函数含有第二类间断点中的无穷间断点。基函数选取的不同会影响数值解的精确程度,通过数值算例说明了方法的有效性。

关键词： 状态反馈控制器   耦合系统   指数稳定   backstepping  

摘要： 本文研究含有内抗阻尼的波方程与常微分方程耦合系统的边界稳定性问题,通过反演转换和状态反馈设计,使所要考虑的系统达到指数稳定.在本文具体的研究中,主要采用的是backstepping方法,通过把含有内抗阻尼的波方程与常微分方程耦合系统解耦成稳定的级联的波方程与常微分方程的耦合系统.这种方法首先是对于变量可逆转换的构造,使得在新的变量中系统呈现线性化,再消除这种非线性,从而得到指数稳定的新的系统.但是,在求解系统的反演转换中的核函数和状态反馈方程之前,特别的,通过引进一个新的变量v(x,t)=e1/2xu(x,t),消去ux(x,t),使得在原作者已有结果的基础上进行新的反演转换,从而解决状态反馈控制器的问题.已有研究结果的系统中只有抗阻尼项λ(x)ut(x,t),而在本文新的系统中除了原有的抗阻尼项λ(x)ut(x,t)之外,还增加了项ux(x,t).所以本文需要先做一个新的变量转换,在此基础上进行状态反馈控制器的设计,得到的结果不仅发展现有的结果,同时也具有重要的应用价值.从而得到本文主要的创新点在于所研究的系统是比已有结果的系统更复杂,更具有实际研究价值的耦合系统.

关键词： Periodic solution   Duffing equation   Nonlinear differential equation  

摘要： Let A denote the generator of a strongly continuous periodic one-parameter group of bounded linear operators in a complex Banach space H. In this work, an analog of the resolvent operator which is called quasi-resolvent operator and denoted by R-lambda is defined for points of the spectrum, some equivalent conditions for compactness of the quasi-resolvent operators R-lambda are given. Then using these, some theorems on existence of periodic solutions to the non-linear equations Phi(A)x = f (x) are given, where Phi(A) is a polynomial of A with complex cofficients and f is a continuous mapping of H into itself.