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关键词： 分数阶常微分方程   显式方法   梯形方法   预估校正法  

摘要： 分数阶微分方程是指微分阶数是任意实数,甚至可以是复数的方程。分数阶微分算子与整数阶微分算子不同,具有非局部性,非常适用于描述现实世界中具有记忆以及遗传性质的材料,因此它在工程、物理、金融、水文等领域发挥越来越重要的作用。对于分数阶微分方程数值算法的研究已经成为当前相关领域的研究热点,但是还存在很多待解决的问题和难点。目前,在学者们的共同努力下,分数阶微分方程的数值计算已经得到不少研究结果。这些研究成果大体可以划分为两种类别。一类是从分数阶微积分的定义入手,直接发展出来的方法。这些数值算法因为是在分数阶微积分的定义基础上进行的研究,所以计算格式较为简便。另一类是借鉴于整数阶微分方程的数值算法,间接发展出来的对于分数阶微积分也同样适用的方法。这些数值算法虽然可以使数值结果达到比较高的精度,但是计算格式往往非常复杂。本文将从分数阶微积分的基本定义入手,在分数阶微分方程的显式算法和梯形算法的基础上,解决Caputo定义下的分数阶常微分方程的初值问题,即将显式算法中的Adams-Bashforth技巧和梯形算法中的Adams-Moulton技巧同时运用于数值计算的过程中,具体思路是:用算法格式简便的Adams-Bashforth技巧求出预估值,再用计算精度高的Adams-Moulton技巧对预估值进行校正,使得求解出的数值解更接近于初值问题的精确解。在这个研究过程中,本文推导出了求解一类分数阶常微分方程初值问题的新预估校正方法,并给出了这种新预估校正方法的算法格式。在分析这种新预估校正方法的局部截断误差和整体截断误差的过程中,本文推导出了这种新算法的收敛阶数,进而证明了这种新方法在理论上的可行性,同时验证出这种新方法的收敛阶数高于原有的显式法,也为后续数值实验的模拟提供了必要的前提条件。在此基础上,通过数值实验结果和数据的比对验证出了这种新的预估校正法在解决实际问题中的可行性,由此说明了这种新的预估校正方法是求解一类分数阶常微分方程初值问题的有效算法。

关键词： B-Learning   常微分方程   模块化课程设计  

摘要： B-Learning作为传统的学习方式与数字化或网络化学习的最优结合,为应用型高校的教学改革提供了新的思路和视角。结合具体的模块化课程教学实践,基于B-Learning的常微分方程模块化课程教学设计与实施突破了传统的单一教或学的旧模式,突出了以学生为主体、以培养自主学习能力为核心的多方位教学模式,较好地改善了学生学习意愿不强、积极性不高的现状,提高了学生的学习兴趣。

关键词： 微分方程   教学内容   教学方法   动力系统  

摘要： 常微分方程是数学相关专业的一门重要的专业课程,是现代数学的一个重要分支。如何把教学方法和教学内容同动力系统发展方向相结合,培养学生能够运用动力系统理论知识解决实际问题,这是当今"常微分方程"教学面临的新课题。

关键词： 微阵列数据   基因调控网络   皮尔森相关系数   常微分方程   参数估计  

摘要： 基因调控网络是指细胞内基因之间的相互作用形成的调控网络,它是生物体内控制基因表达的主要机制。构建基因调控网络是理解生命活动本质的重要手段之一,因此利用高通量实验数据,特别是微阵列数据构建基因调控网络已成为系统生物学领域的研究热点。但目前已有的基于微阵列的基因调控网络构建方法大多存在着无法确定调控方向或计算复杂度过高等问题,因此,本文提出了一种结合已有的相关性检验方法和常微分方程建模方法的基因调控网络构建方法。该方法首先利用扰动实验数据计算基因之间的皮尔森相关系数,然后通过Z分数排序的方法构建一个初始的基因调控网络。在此基础上,使用时间序列数据和常微分方程建模的方法对这个初始调控网络进行优化。在常微分方程模型建立之后,基因网络推导问题就转变成了一个模型参数估计问题。本文提出了一种内嵌禁忌搜索的粒子群优化算法,即禁忌粒子群优化来估计模型参数。在进行模型参数估计时,为了降低计算复杂性,首先利用曲线拟合方法对时间序列表达谱数据进行曲线拟合,估计出每一个时间点的微分,这样微分方程的参数估计问题就转变为一个伪多元线性回归的问题,计算时间大大降低。最后,我们使用标准测试集和真实的微阵列数据对本文所提出的方法进行了实验验证。结果表明,本文所提出的算法在构建基因调控网络时,识别的敏感性、特异性和精确性等方面均较已有方法有所提高,同时,本文方法的计算速度也较已有方法快。

关键词： 一阶隐式微分方程   参数法   变量分离法  

摘要： 对常微分方程课程考试中的一道一阶隐式微分方程,通过参数法和变量分离法给出求解过程,显示初等解法的多样性与灵活性。

关键词： 常微分方程   教学改革   创新创业能力  

摘要： 多数高校在常微分方程的课程设置和教学方式上都存在着一些的问题:教学内容过于注重理论,轻视实际应用;授课形式单一,学生的主体地位难以体现;课程考核方式简单,难以衡量学生实际能力。在创新创业背景下,高校可以从以下方面改革常微分方程课程,提高学生学习积极性、主观能动性以及创新意识和能力:改进传统教学方法,提高学生逆向思维能力;优化教材体系,注重应用性教学;注重能力评价,科学考核学生学习。

关键词： 常微分方程   数值求解   量化状态系统   Modelica   建模仿真   特性分析  

摘要： 随着工业的发展和科技的进步,集机、电、液、控等于一体的复杂物理系统越来越常见。这些复杂的多领域系统模型所对应的数学描述往往是大规模的微分代数方程。求解微分方程是微分代数方程求解的基础。对于复杂的微分方程系统通过方程变换和符号积分求其解析解基本不可能,工程上一般求其数值解。研究微分方程的数值解意义重大。相较于时间离散的微分方程数值求解方法,量化状态系统(Quantized State System,QSS)方法具有许多优点。基于此,本文对一阶、二阶QSS方法进行了研究。具体内容如下:首先,阐述QSS方法求解的原理包括:量化过程、四种内部转换和外部转换顺序、仿真推进和输入的量化原则,总结QSS方法求解微分方程的一般过程。然后,给出QSS1和QSS2方法的时间推进函数的Modelica实现,结合具体的微分方程实例,采用文本建模的方式给出QSS1、QSS2方法求解的Modelica模型,并对建立的模型进行了仿真,分析部分结果曲线,表明算法的有效性。基于QSS方法求解微分方程的一般过程,总结建立QSS方法求解任意规模、连续常微分方程的Modelica模型一般方法。最后,基于线性时不变系统,采用扰动理论推导QSS方法求解的误差上界,分析QSS求解的快速频繁震荡特性。探讨QSS1和QSS2方法具有相同误差上界的原因以及QSS方法误差上界的保守性,同时对比时间离散的数值积分方法,分析QSS方法的稀疏利用特性。阐述QSS方法求解刚性系统的局限性,同时通过与Euler方法对比指出QSS1方法在求解刚性系统方面仍具有优势。上述研究成果展示了QSS方法的有效性,并能为相关平台的开发提供技术指导。

关键词： 常微分方程   教学改革   考核方式  

摘要： 根据民族地区本科院校数学专业的培养目标和常微分方程的教学现状,结合教学实践,通过调整课程内容、改变教学方法、改革学生考核模式等措施,培养学生的创新意识和能力。

关键词： Sol3空间   极小曲面   常微分方程  

摘要： 本文主要用分析理论和解常微分方程的方法研究Sol3空间中具有如下形式:(1) z = f(x) + g(y), (2) y = f(x) + g(z), (3) x = f(y) + g(z), (4) z = f(x)g(y),(5) y = f(x),(6) x = f(y)g(z)的极小曲面,其中f和g是R中一个区间上的光滑函数.我们分别研究了这六种极小曲面的几何,并给出完整的分类定理,共得到28种情形.

关键词： Matlab   常微分方程   教学  

摘要： 结合常微分方程定型理论中的若干知识点,本文对Matlab软件在常微分方程教学中的应用进行了初步探讨,以期激发学生学习该课程的积极性,提高教学效率。