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关键词： 边值问题   双区复合微分方程   相似核函数   引解函数  

摘要： 本文针对二阶复合型非齐次线性微分方程的边值问题进行研究。相似构造法通常用于求解二阶齐次线性微分方程的边值问题,本文将相似构造法应用于求解二阶复合型非齐次线性微分方程的边值问题。该方法是求解一般复合型二阶线性微分方程边值问题的一种方便、有效、有创新性的方法。本文的研究扩充了相似构造法的应用范围。

关键词： 常微分方程的反问题   线性微分方程   非线性微分方程  

摘要： 研究一类常微分方程的反问题:任给函数组,求以函数组为解的常微分方程.应用待定系数法,在不同条件下,构造了两种以函数组为解的常微分方程,包括高阶非齐次线性微分方程和一阶非线性微分方程,最后通过实例对构造方法进行应用.

关键词： 轨道交通   地铁客流   动态图神经网络   MTGODE模型   深度学习  

摘要： 随着城市轨道交通的快速发展,客流量的准确预测对于改善运营服务至关重要。为了解决当前地铁客流预测存在的时空特性挖掘不充分等问题,进一步提高预测的精度与效率,研究了基于动态图神经常微分方程模型(multivariate time series with dynamic graph neural ordinary differential equations,MTGODE)的地铁短时客流预测方法。该方法通彭颢1贺玉过学习地铁站点间的动态关联强度构建动态拓扑图结构,基于学习得到的动态图进行连续图传播以传递时空信息、挖掘客流的依赖关系,并采用残差卷积提取多时间尺度下的周期性模式,实现了对站点间时空动态的连续表征,克服了传统图卷积网络模型难以刻画动态空间依赖的局限性。此外,为了充分挖掘不同站点间客流分布的时空规律,综合利用北京地铁自动售检票系统(auto fare collection,AFC)刷卡数据、天气数据、空气质量数据以及车站周边用地属性数据构建多源融合的客流预测模型。通过选取地铁北京站和积水潭站-东直门站的历史数据开展进站客流和OD客流预测实验,结果表明:与多个基准模型相比,该模型在平均绝对误差、均方根误差和平均百分比误差这3个指标中均取得了更优的预测效果,相较最优基准模型扩散卷积循环神经网络(diffusion convolutional recurrent neural network,DCRNN)分别降低了9.93%,12.30%,9.23%,对地铁客流时空分布的拟合程度更好,模型具有更好的预测精度、稳定性和拟合能力。

关键词： 精细积分方法   矩阵指数   常微分方程   时程积分  

摘要： 钟万勰院士于1991年首先提出计算矩阵指数的精细积分方法,其要点是2N类算法和增量存储。精细积分方法可给出矩阵指数在计算机意义上的精确解,为常微分方程的数值计算提供了高精度、高稳定性的算法,现已成功应用于结构动力响应、随机振动、热传导以及最优控制等众多领域。本文首先介绍矩阵指数精细积分方法的提出、基本思想和发展;然后依次介绍在时不变/时变线性微分方程、非线性微分方程以及大规模问题求解中发展起来的各种精细积分方法,分析了其优缺点和适用范围;最后介绍了精细积分方法的基本思想在两点边值问题、椭圆函数和病态代数方程等问题的扩展应用,进一步展示了该思想的特色。

关键词： 常微分方程   数学建模   常微分方程模型  

摘要： 常微分方程实质上是一种工具,用于描绘和阐述事物的演变过程,甚至可以透过模型来揭示真实世界中的动态联系。构建常微分方程模型,不仅能有力地辅助我们对相关问题做出适当的评估和决定,同时也能为我们未来的发展路径做出独特的预见。一个重要的方法,即利用常微分方程来处理实际问题,这就需要我们构建一个用于处理实际问题的数学模型--常微分方程模型。依照现实问题所需的条件,我们设定了模型的各项参数,然后运用现代物理、化学、生物、经济等多领域的知识,通过常微分方程的不同表达方式,对问题的起因和规则进行了阐述。现代数学建模教育课程中,常微分方程模型扮演着关键的角色。因此,本篇文章首先探讨常微分方程的进步情况,接着详细阐述常微分方程模型,最终通过几个实际案例,阐述常微分方程在数学建模中的运用。

关键词： 非线性最优控制   哈密顿系统   保辛方法   常微分方程   微分代数方程  

摘要： 针对最优控制问题(OCP)的辛数值方法研究及应用进行综述。主要涉及内容包括,动力学系统为常微分方程描述的一般无约束、含不等式约束和状态时滞的最优控制问题,微分代数方程描述的一般无约束、含不等式约束和含切换系统的最优控制问题,以及闭环最优控制问题。从间接法和直接法两个求解框架出发,重点介绍本课题组在保辛算法方面的研究工作。在间接法框架下,首先基于生成函数和变分原理,将OCP保辛离散为非线性方程组,再数值求解方程组。在直接法框架下,将OCP保辛离散为有限维的非线性规划问题(NLP),再数值求解。针对闭环最优控制问题,提出了保辛模型预测控制、滚动时域估计和瞬时最优控制算法。研究表明,保辛算法具有高精度和高效率的特点,在航空航天和机器人等领域有着广泛应用前景和价值。

关键词： 拉格朗日方程   微分代数方程   能量守恒定律   哈密顿方程   非保守系统   常微分方程   准坐标   动力学问题  

摘要： 在动力学问题的数值仿真中,保持离散后的系统与原始系统相同的特性和结构是非常重要的.对于使用哈密顿方程建模并使用辛积分器求解的保守系统,其系统的能量可以在求解过程中守恒.然而,有许多系统是在跟随坐标系下建模的,且模型中包含非线性耗散项,除非将耗散造成的能量损失一并考虑在内,否则很难保持系统的能量守恒特性。因此,在数值模拟期间保持总能量守恒是至关重要的。为了解决这个问题,本研究使用准坐标描述的拉格朗日方程来描述建立在跟随坐标系下的动力学系统,并提出了一种新的能量约束型欧拉积分器来求解建立的系统.该积分器将能量守恒定律作为约束方程,并从最初的常微分方程中构建一个新的微分代数方程通过隐式地求解该微分代数方程,获得保持系统总能量守恒的数值结果.为了将所提出的方法与常用的辛积分器和普通数值积分器进行比较,分别将各个积分器用于求解线性和非线性系统的初值问题。常用的辛积分器由于准坐标描述的拉格朗日方程的非对称结构,无法保持此类模型的总能量守恒特性.与之相对的,本文提出的能量约束型欧拉积分器能较严格地保持系统的能量守恒属性,且对保守和非保守系统都有较好的效果.

关键词： 积分因子   伯努利方程   常数变易   变量替换   Matlab  

摘要： 常微分方程是数学分析、高等代数的后继课程,对培养学生学习和研究能力具有重要作用。对常微分方程的题目进行一题多解的讲授,可使学生从多个角度体会解题方法、解题技巧,提高学生的发散思维,从而加深学生对常微分方程基本理论、基本方法的理解,提高教学效果。本文利用积分因子法、伯努利方程、常数变易法、变量替换法、Matlab法求解一道一阶常微分方程的题目。

关键词： 多尺度法   简化版多尺度法   久期项   泰勒展开  

摘要： 针对带小参数的微分方程求数值解已经有了很多种数值解法,比如多尺度法(Multiscale Methods),将微分方程按照时间尺度进行划分,通过分开求解不同时间尺度下的子方程从而求解原方程。但是这种方法划分的尺度过于臃肿,极大的增加了运算时间;其次需要手动处理尺度方程,来避免久期项(secular terms)的影响导致最终求得的数值解有一定的误差。本文提出了一种改进版的多尺度法(Reductive Multiscale Methods),将时间尺度的划分极大地简化,其次利用欧拉公式和泰勒展开的性质将久期项(secular terms)化到尺度方程内部,从而避免了久期项(secular terms)对数值解的影响。最后将该方法举例得到的数值解与多尺度法(Multiscale Methods)对比,在一定程度下,验证了改进算法的运算量小、高效率的优势。