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关键词： 三角小波   高阶常微分方程   泊松方程   双调和方程   配置法   张量积  

摘要： 在调和分析的理论研究中,三角级数一直扮演着重要角色.同样,在小波分析的发展史上,三角小波也占据着重要位置.三角小波同时具有三角级数良好逼近性和小波局部性的优点,是三角级数与小波完美结合的产物,已被广泛应用于众多领域.本文利用三角小波配置法对高阶常微分方程以及泊松方程和双调和方程进行数值解的研究,拓宽了小波在微分方程数值求解方面的应用,为微分方程的数值求解提供了一种方法.本文首先利用三角小波定义及分部积分法和数学归纳法研究了三角小波的积分公式,为三角小波数值求解微分方程做了前期准备工作;其次利用三角小波及其积分,运用小波配置法研究了四个高阶常微分方程,运用二维张量积小波配置法研究了六个满足不同边界条件的二维泊松方程和二维双调和方程,其基本思想是先将微分方程中出现的最高阶导函数用截断三角小波级数近似表示,然后对该三角小波级数进行数次积分并结合边界条件得到低阶导函数和未知函数的三角小波级数形式,之后选取配置点将由三角小波级数表示的微分方程转换成线性方程组,通过求解线性方程组,得到三角小波系数,进而得出三角小波数值解.最后通过Matlab编程得到微分方程数值解与精确解在配置点处的误差,验证了三角小波求解本文中微分方程方法的可行性、有效性.

关键词： 常微分方程   “教与学”优化算法   粒子群优化算法   构造函数  

摘要： 在自然科学、工程技术以及经济管理等领域中的很多数学模型,其表现形式通常为常微分方程的定解问题,如何有效地进行求解是非常关键的。由于理论方法的局限性,很多方程无法求出解析解,所以从实际应用上来讲,人们需要的往往并不是解在数学理论上的存在唯一性或者具体地求出其解析式,而是在我们关心的某个定义范围内求出对应于精确解的近似值。然而,大部分传统的数值方法普遍存在计算复杂,解的精度低等缺点,近些年,随着计算机的发展,智能算法被广泛使用,为求解常微分方程提供了新的方法。粒子群算法是一种群智能算法,本文通过对粒子群算法的研究与分析,提出了一种改进的粒子群算法,并利用改进的粒子群算法对常微分方程定解问题进行求解。本文结合“教与学”优化算法,提出一种新的改进粒子群优化算法。利用函数优化问题来验证改进算法的有效性,数值实验结果表明,改进的粒子群优化算法相比于标准的粒子群优化算法具有求解精度高的优势。在此基础上,采用傅里叶级数构造微分方程的近似解,将微分方程转化为约束优化问题,利用粒子群算法与改进的粒子群算法分别计算此优化问题,最终得到方程的近似解。利用上述思路,通过具体实例进行数值实验,对结果做出相应的误差分析,结果证明,改进后的粒子群算法可以搜索到更精确的解,验证了改进后的粒子群算法求解常微分方程定解问题的可行性。因此,本文不仅拓宽了粒子群算法的应用范围,为常微分方程定解问题求近似解提供了新的思路,还提高了常微分方程定解问题的求解精度。

摘要： In many applications, ordinary differential equations can be additively partitioned (n/a) It can be advantageous to discriminate between the different parts of the right-hand side according to stiffness, nonlinearity, evaluation cost, etc. In 2015, Sandu and Günther introduced Generalized Additive Runge-Kutta (GARK) methods which are given by (n/a) with the corresponding generalized Butcher tableau (n/a) The diagonal blocks (A{q,q},b{q},c {q}) can be chosen for example from standard Runge-Kutta methods, and the off-diagonal blocks A{q,m}, q ≠ m, act as coupling coefficients between the underlying methods. The case when N = 2 and both diagonal blocks are implicit methods (IMIM) is examined. This thesis presents order conditions and simplifying assumptions that can be used to choose the off-diagonal coupling blocks for IMIM methods. Error analysis is performed for stiff problems of the form y˙ = f(y,z), ϵż = g(y,z) with small stiffness parameter ϵ. As ϵ → 0, the problem reduces to an index 1 differential algebraic equation provided gz(y,z) is invertible in a neighborhood of the solution. A tree theory is developed for IMIM methods applied to the reduced problem. Numerical results will be presented for several IMIM methods applied to the Van der Pol equation.

关键词： 常微分方程模型   拉丁立方粒子群算法   标准粒子群算法   结构与参数   时间过程数据  

摘要： 常微分方程模型在众多科学领域的动态过程建模中扮演着重要的角色,如物理学、生物医学和工程学。它在描述生态系统方面是一种非常有效的方法,是许多复杂系统和非线性现象建模的重要方式,在诸如生物种群竞争、细胞调节系统(信号通路和基因调控网络)、HIV感染动力学等问题的研究中发挥了重要作用。在很多情况下,动态系统中各元素的状态或者数目的变化是可观测的,但如何确定各个元素之间存在的作用关系却是一项具有挑战性的任务,即使经验丰富的科研人员也很难构建有效的模型。因此,研究推导常微分模型的计算方法在许多系统识别问题中具有重要的价值和意义。推导常微分方程模型问题的难点在于搜索空间的复杂性,搜索空间包括参数空间和模型结构空间。在以往的研究中,通常是利用专业领域知识或者从部分常微分方程模型构建完整常微分方程模型的方式来缩小模型结构空间的复杂性。但是这两种方法都需要以全面的专业领域知识为基础,两种方法在通用性上也都受到一定限制。本文研究推导常微分方程模型的计算方法,提出了一种基于群智能的拉丁立方粒子群算法(LHS-PSO),该算法根据观测的时间过程数据为动态系统寻找合理的常微分方程模型。与以往方法相比,LHS-PSO算法不需要借助相关的领域知识和部分常微分方程为基础来缩小搜索空间,在不同的学科领域间有较强的通用性,为各个领域的专家学者解决推导常微分方程模型问题提供了一种便利的方法。在本文实验部分,通过一组真实的常微分方程模型即人类免疫缺陷病毒(HIV)模型和两组人造模型即三变量模型和四变量模型来测试LHS-PSO算法的有效性。在每一组实验模型中,本文重复做了二十次实验,并根据实验结果描绘了标准粒子群算法与LHS-PSO算法的箱形图和两种算法实验结果数据的对比表格。此外,在实验部分的每一章节中,本文选择了五组适应度值不同的结果模型进行了展示,从这对比的五组结果模型中可以看出,随着适应度值的逐渐增大,与之对应的结果模型与已知的时间过程的拟合度也在逐渐降低。通过三组实验结果对比和分析,验证了LHS-PSO算法可以同时推导出与已知时间过程数据相匹配的常微分方程模型。而且,在与标准粒子群算法实验结果对比中,LHS-PSO算法所寻找出的模型与已知时间过程数据的拟合度也是更优的。

关键词： 复值解   复值函数求导   阶线性微分方程   共轭复值函数  

摘要： 在常微分教材中,n阶线性微分方程是非常重要的一个内容,不仅其理论已经被深入研究,就连其应用也是相当广泛。在教材的第四章中,关于n阶线性微分方程的复值解有两个很重要的定理,但都未给出相关证明,本文先通过对前一节课涉及到的重要概念进行回顾,通过讲解新概念,然后再给出这两个定理的证明过程。

关键词： 纵向数据   常微分方程   统计诊断   边界效应   自适应的两步估计  

摘要： 纵向数据被广泛地应用在经济,医学,心理学,社会学等各个领域。它是对多个个体按照时间的变化重复多次测量得到的数据,并且同时具备时间序列和截面数据的特点。目前已经存在很多对纵向数据建立模型的方法,本文基于常微分方程(ODE)模型对纵向数据进行研究,结合常微分方程和纵向数据的特点,从时间和个体两个角度考虑多个变量之间的相互关联,建立网络模型。在实际问题中,模型中的参数往往是无法直接得到的,只能通过观测数据去估计。因此准确的估计模型中的参数对建立合适的模型,以更好的评估和预测是至关重要的。为避免传统的参数估计方法计算量大的问题,文献中提出了两步估计法,这种方法计算量小但存在边界效应,这会影响参数估计的准确度。因此在实际模型中,常常很难平衡计算量和估计准确度的问题。针对以上ODE模型参数估计的缺陷,本文提出了一种有效的统计诊断方法,并在此基础上对ODE模型提出了自适应的两步估计法。首先,本文基于两步估计法将经典欧氏空间中对ODE模型的局部扰动分析推广到函数空间中,在模型中存在和不存在冗余参数两种情况下,分别对自变量、因变量和权重函数进行扰动分析,讨论这三种情形下诊断函数的具体表达式。其次,针对统计诊断时模型中普遍存在的边界效应问题,在上述统计诊断结果的基础上,通过选择合适的权重函数在边界效应和参数估计效率上达到平衡,从而得到最优的参数估计,把这种方法称为自适应的两步估计法。论文利用上述提出的统计诊断方法和自适应的两步估计法,进行模拟试验和实例分析,通过对实验结果的分析可得:(1)本文提出的局部扰动分析方法能够有效地检测出观测值中的异常点,但不同的数据区域对扰动的敏感度不同,同时,模型存在边界效应。(2)自适应的两步估计法比传统的两步估计法参数估计更精确,且它保留了两步估计计算量小的优点,很好地平衡了参数估计中计算量和精确度的问题。

关键词： 常微分方程   时间   精度   刚性方程   非刚性方程  

摘要： 本文借助Matlab常微分方程求解工具箱,从时间与精度两个方面对刚性和非刚性方程的数值求解进行分析与比较,进而对常微分方程的求解给出一般的建议。

关键词： 常微分方程   Euler算法   Runge-Kutta算法   算法精度   算法速度   自洽程度  

摘要： 计算子午线弧长与底点纬度本质上是解算标准的一阶常微分方程。为了研究利用常微分方程数值解法进行子午线弧长与底点纬度计算的可行性与可靠性,选取大地纬度自0°起以步长1″依次增大至90°,共计324 001个样本数据,分别基于求解常微分方程的Euler算法、改进的Euler算法以及二阶、三阶、四阶Runge-Kutta算法对其进行了数值计算。并与传统算法结果进行比较,从数值算法结果的精度、运算速度、自洽程度等方面对数值算法质量进行评价。计算结果表明:利用常微分方程数值解法求解子午线弧长与底点纬度的方法,能够得到与传统算法精度一致的结果;且数值算法运算速度大约是传统算法的2倍,其中四阶Runge-Kutta算法的精度与自洽程度最高。这表明,常微分方程数值解法比传统算法更适用于子午线弧长和底点纬度的大数据计算。

关键词： 常微分方程   数值求解   误差阶数  

摘要： 针对常微分方程初值问题,在特定时间步长且真解未知的情况下,给出计算数值离散格式的误差随网格剖分尺寸的收敛阶数的新方法.通过数值实验,和必须已知真解情况下才能计算误差的传统方法进行对比分析.实验证明新方法可以不需要知道真解就能够对数值格式的误差阶数进行准确计算突破了传统方法中的局限性.