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关键词： 换元思想   常微分方程   应用求解  

摘要： 换元法又叫变量代换法.这是一种被广泛应用于解决常微分方程中问题的常用方式.主要是利用新的变量代替原来方程中的变量,由难化简,把无法解决的问题转化为能解决问题,快速求出方程解的一种解题思想.换元法的运用对数学研究领域有着至关重要的意义,使得求出的解更加简便快速,是解决高等数学理论和方法的重要工具之一.因此,我们对通过讨论齐次方程和一阶常微分方程的换元思想进行求解,重点总结和概括换元法在常微分方程中的应用.

关键词： 分数阶常微分方程   数值方法   耗散性   收缩性  

摘要： 最近有学者建立了时间分数阶非线性系统的耗散性和收缩性理论,并研究了两种流行的数值方法,即Grünwald-Letnikov公式和L1方法的耗散性和收缩性特征,给出了数值解的长时间代数收缩率和耗散率的严格证明。本文首先对以上数值结果进行改进,使得我们能够结合时间分数阶数值方法的初值校正技术来研究收缩性和耗散性,从而避免数值方法的降阶现象。数值例子证实了我们的理论结果的正确性。对于四类具有二阶精度的数值方法:分数阶p-线性多步方法,分数阶向后微分公式,分数阶梯形公式以及分数阶Newton-Gregory公式,我们主要通过典型的例子:分数阶Lorenz模型,分数阶Fitz-Hugh-Nagumo方程以及次扩散方程,从数值模拟的角度证实了这四种数值方法都具有耗散性和收缩性,并给出理论分析的初步探讨,为下一步的严格理论证明提供了良好的数据支持。

关键词： 仿射周期解   存在性   连续性方法   上下解方法   拓扑度理论   线性化方法  

摘要： 本文主要研究了常微分方程仿射周期解的存在性问题,分别对一阶、二阶标量常微分方程,泛函微分方程,以及向量常微分方程仿射周期解的存在性作了相应的研究.在第一章第一节,我们简单地介绍了微分方程的起源、背景及其广泛的应用,同时介绍了解的结构和正规解的概念,以及本文研究的仿射周期解的定义和己有的工作.在第二节,我们介绍了Leray和Schauder的连续性方法,该方法在研究非线性方程方面是很基本的.在第三节.我们介绍上下解方法的历史以及关于边值问题的一些经典结果.在第四节.我们列出一些与本文研究有关的基本定理,主要是关于常微分方程适定性理论和拓扑度理论相关的结果.在第二章,我们建立了一维一阶仿射周期系统仿射周期解的存在性定理.在第一节,我们对耗散系统及其已有的工作作了简要的介绍.在第二节,我们建立了在[0.∞)上一阶耗散系统仿射周期解的存在性定理.在第三节,我们例举一些具体的例子作为主要定理的应用.在最后一节,我们将耗散系统仿射周期问题转化为耗散系统仿射周期边值问题,利用连续性方法.通过拓扑度理论和上下解技术证明了耗散系统仿射周期边值问题解的存在性.在第三章.我们建立了一维二阶仿射周期系统仿射周期解的存在性定理.首先,我们回顾了微积分里面的一个基本结论,基于此,对Nagumo引理作了简单的介绍,主要包括Nagumo引理的内容和证明,以及在Nagumo条件不满足时存在的反例.此外,我们在控制函数上添加一个正常数后,得到了一个类似版本的Nagumo引理.在第二节,我们介绍了二阶仿射周期系统的主要定理.在第三节,我们给出一些关于振动方程的具体例子作为主要定理的应用.在最后一节,我们将二阶系统仿射周期问题转化为等价的仿射周期边值问题,然后利用连续性方法,结合拓扑度理论和上下解方法证明了二阶系统仿射周期边值问题解的存在性.在第四章,我们研究了一阶泛函微分方程仿射周期解的存在性.首先,我们介绍了Schmitt,Hale和Lopes关于泛函微分方程周期解的经典结果.在第二节,我们列出关于一阶泛函微分方程仿射周期解存在性的结果.在定理证明之前的第三节,我们例举了几个具体的泛函微分方程作为主要定理的说明.最后,在第四节,我们首先将一阶泛函微分方程仿射周期解的存在性转化为该系统在仿射周期边值条件下解的存在性,然后利用连续性方法,通过拓扑度理论和上下解方法证明了边值问题解的存在性.在第五章,我们研究了非线性向量常微方程仿射周期解的存在性.首先,我们将仿射周期解问题转化为对应的仿射周期边值问题.其次,利用Opial的线性化方法来处理非线性系统边值问题,将其等价转化为对应的线性边值问题,在适当的渐近条件下,证明非线性系统仿射周期解的存在性.

ISBN: (纸本)9787030510488

摘要： We introduce a new variant of Picard integral deferred correction, a class of methods aimed at solving initial value problems with arbitrarily high order of accuracy, called spline deferred correction (SplineDC). Similar to spectral deferred correction (SpectralDC), SplineDC applies a series of correction sweeps, derived from the Picard integral form, that are driven by either first-order explicit or implicit Euler integration schemes to produce a highly accurate numerical solution. However, as the name implies, SplineDC makes use of spline interpolation as opposed to Lagrange interpolation in the case of SpectralDC. This idea is motivated by our interest in circumventing the inherent restrictions of SpectralDC methods which are enforced to avoid the instabilities associated with high-order and/or equispaced polynomial interpolation, i.e. Runge's phenomenon. In doing so, we develop a class of methods with favorable convergence behavior and excellent stability properties, all of which we demonstrate through various numerical experiments. Additionally, because of the freedom SplineDC has with respect to time step selection, we demonstrate the advantages of implementing adaptive time-stepping in SplineDC over SpectralDC. Finally, we present an alternate method of spline construction that facilitates the ease by which one can construct splines with arbitrary continuity and interpolation conditions.

关键词： 雨课堂   常微分方程   教学改革   实践探索  

摘要： 针对"常微分方程"传统教学过程中课时少任务重、授课班级人数多、教学工具陈旧、学生参与课程教学积极性不高、师生互动受限等问题,本文探讨了将智慧教学工具"雨课堂"应用于课程教学中,并对比分析"课前-课中-课后"各环节的传统教学和"雨课堂"教学环境下学生参与课程学习的程度、教师教学侧重点、教学反思的依据、师生互动程度及教学效果。实践表明,"雨课堂"教学可以激发学生学习的兴趣和自主性,打破师生互动"时空"限制,实现师生互动"不下线",做到精准教学,能够提升课程教学效果。

摘要： This thesis studied the statistical inference problem for a second order linear stochastic ordinary differential equation using discrete observations. All cases for this equation are analyzed, and the limiting distributions for the estimation errors are attained and compared to the corresponding continuous-time results in every case. The thesis also discussed the simultaneous and sequential double asymptotics, which serve as a bridge between the discrete and continuous-time model.

关键词： 常微分方程   常数变易法   应用  

摘要： 拉格朗日历经长达十一年的研究,研发出一种用于常微分方程求解的方法,即常数变易法,进而有效解决了常微分方程求解困难的问题。常数变易法可以看作一种比较特殊的替换,它除了能够对一阶线性常微分方程进行求解以外,在其他类型的微分方程求解中也同样能够得到良好的应用。为此,本文便对常微分方程求解中常数变易法的相关应用进行深入的研究。

关键词： 最小二乘支持向量机   常微分方程   比例延迟微分方程   近似解   数值解  

摘要： 微分方程的求解及其解的性质研究一直是微分方程研究的一项重要内容。在实际应用和科学研究中,多数微分方程很难获得解析解。近年来,随着计算机技术的发展,一些新的智能算法用于求解微分方程,它们克服了传统方法的缺点,可得到连续可微的近似解析解。其中最小二乘支持向量机(LS-SVM)在求解微分方程的问题中取得不错的效果,它将原微分方程作为约束条件加入到LS-SVM回归模型中,从而极大地提高了该算法的精确度和泛化能力。本文针对应用LS-SVM方法求解线性常微分方程时遇到的部分问题进行研究,并提出一种新的方法求解线性比例延迟微分方程。主要内容如下:首先,对于线性常微分方程,为了提高近似解的精度,提出了一种基于数值方法和LS-SVM回归的新方法,并应用于求解线性常微分方程。该方法将高精度的数值解作为约束条件加入到非线性LS-SVM回归模型中,并通过误差函数最小化获得该模型的最优参数,从而获得高精度的近似解。大量数值实验证明了我们的方法能提高近似解的精度。其次,对于高阶线性常微分方程,为了避免对核函数求高阶导数,将它转化为线性微分方程组,构建含有一阶导数形式的非线性LS-SVM回归模型,并利用最小化误差函数去获得合适的参数,最终通过求解三个线性方程组获得高精度的近似解。数值实验验证了我们方法的有效性。最后,将LS-SVM算法推广到求解比例延迟微分方程。在该方法中,用等式约束代替不等式约束,避免了求解复杂的二次规划问题,通过求解一个线性方程组得到近似解。数值实验证明了我们方法的有效性。

关键词： 刚性常微分方程   指数拟合   三角拟合   Rosenbrock方法  

摘要： 随着对刚性常微分方程初值问题的不断深入研究,国内外学者给出了许多较为有效的特殊Runge-Kutta方法,主要包括对角隐式Runge-Kutta方法和Rosenbrock方法。函数拟合方法是一类在局部区间上用一个有理函数来近似地表示刚性常微分方程的解的方法,考虑在其解区间上构造指数拟合的函数,来使得其近似逼近原方程的解曲线,其中比较有效和精确的算法是将Runge-Kutta方法与指数拟合相结合来处理刚性问题。同时,对于一类解可由集合{eiωx,e-iωx}或由集合{cos(ωx),sin(ωx)}(ω>0)线性组合的一阶常微分方程初值问题,可将三角拟合思想应用于Runge-Kutta方法上,来得到一类相比传统方法来说更具优势的新方法。学者们将对角隐式Runge-Kutta方法结合指数拟合和三角拟合的研究已经做了较多的工作,而未见采用指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法,且Rosenbrock方法相对于对角隐式Runge-Kutta方法来说,具有更小的计算量,故本文将针对常微分方程初值问题这一模型,利用Rosenbrock方法结合指数拟合和三角拟合思想来得到一类在误差和精度上具有更好的表现的方法。在第一章,介绍了关于刚性常微分方程初值问题的研究背景和国内外现状,且给出了早期学者们对Rosenbrock方法的发展与改进。在第二章和第三章,构造了一类二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法,得到了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法的具体格式,并证明了不存在此类三级3阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法。最后验证了定系数的二级2阶指数拟合和三角拟合Rosenbrock方法是A-稳定的。在第四章,利用数值实验验证了指数拟合Rosenbrock方法的有效性,主要应用了几组不同的数值实验来比较方法的收敛性和计算时间,通过实验结果得到与理论基本一致的结论。在最后一章,主要是对本文做一个总结,并针对本文未涉及到的其它模型和方法给出了笔者后期的一些想法与计划。