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关键词： 常微分方程   课程改革   数学建模   案例教学  

摘要： 在教授常微分课程的基础上,思考常微分方程的课程改革问题,通过具体实例来说明常微分方程如何与实际的生产生活和科学研究相结合,以增加课程对学生的吸引力和提高课程的趣味性,提高学生应用常微分方程解决实际问题的能力。

关键词： 常微分方程   增根   失根  

摘要： 求解微分方程是常微分方程课程中非常重要的内容,求解过程中难免会出现增失根问题。本文对增失根的原因进行了深入的讨论,并给出了一些有益的建议。

关键词： 奇异微分方程   延迟微分方程   反应扩散方程   边值方法   紧致差分方法   唯一可解性   收敛性   稳定性  

摘要： 微分方程在模拟物理学、化学反应、控制工程、生物过程等科学领域的现象中起着重要作用.由于这些现象的多样性,用来描述它们的微分方程也是多种多样的.一般情况下,我们很难获得这些方程的理论解的表达形式.并且由于方程的复杂性,对其理论解性质的分析也具有很大的难度.因此,我们需要借助一些有效的数值方法来获取这些方程的解的信息.本文主要针对几类常微分方程及反应扩散方程构造高效的数值方法并研究其数值解的性质.在第一章,我们首先介绍了与本文选题相关的几类微分方程的应用背景,接着回顾了这几类微分方程的研究现状以及边值方法的发展现状,最后概述了本文的主要研究工作.在第二章,我们考虑了一阶奇异微分方程初值问题的块边值方法.我们证明了在适当的条件下该方法存在唯一解,并且是稳定的和收敛的.数值算例验证了方法的稳定性、有效性和精度.最后我们将其与基于隐式Euler格式的迭代亏损校正方法相比较,数值结果表明块边值方法在计算精度和效率方面是具有可比性的.在第三章,我们分析二阶延迟微分方程初值问题的广义St¨ormer–Cowell方法.我们首先给出该数值方法的唯一可解性条件,接着证明其收敛性和全局稳定性结果.数值试验阐明了方法的精度和有效性.最后我们利用一个变换将原问题转化成等价的一阶延迟微分方程初值问题,并用拓展的梯形公式进行离散.通过比较这两种方法的数值结果,我们知道广义St¨ormer–Cowell方法在计算时间上具有一定的优势.在第四章,我们研究半线性反应扩散方程的紧致边值方法.该方法在空间方向上用四阶紧致差分方法逼近,时间方向上用p阶边值方法离散.我们证明了该方法的局部稳定性和唯一可解性,并且方法具有四阶空间精度和p阶时间精度.将该方法用于求解Fisher方程,可验证方法的计算有效性和精度.此外我们还将其拓展求解二元耦合半线性反应扩散系统,数值结果说明了拓展的方法的有效性和高精度.在第五章,我们构造了半线性对流反应扩散方程的紧致块边值方法.首先我们利用一个指数变换,将原方程转化成等价的反应扩散方程.然后将四阶紧致差分格式和p阶块边值方法结合,构造出求解转化后的问题的高效离散方法.另外,利用指数变换和迭代算法,我们还可以将该方法拓展求解二元耦合半线性对流反应扩散系统.两个数值例子分别验证了该方法在求解对流反应扩散方程和耦合对流反应扩散系统以及相应的转化后的问题的有效性和高阶精度.同时我们还将二阶分块拓展的梯形公式和二阶向后微分公式分别离散时间变量,数值结果表明二阶分块拓展的梯形公式在用于时间离散时具有更好的计算精度.在第六章,我们对本文的工作进行了总结并提出一些将来要研究的问题.

关键词： 常微分方程   Green函数   边值问题   不动点指数定理   正解   数值解  

摘要： 常微分方程边值问题是微分方程研究中的一个重要的部分,它们能够很好地解释不同领域的各类自然现象,比如大气对流、飞机飞行的稳定性等,并且常微分方程边值问题的研究还具有重要的理论意义.本文主要通过Green函数将常微分方程转化为相应的积分方程,然后研究积分方程正解的存在性和多重性,同时还讨论了积分方程的数值解.本文的主要内容如下:第一章简要概括了常微分方程边值问题以及积分方程的发展历史和研究现状;同时给出了本文常用到的相关引理和概念.第二章主要研究了一类三阶常微分方程边值问题的Green函数求法,总结出了一类常微分方程Green函数的计算方法,同时给出了实际例子.第三章主要研究了二阶非线性常微分方程Neumann边值问题多个正解的存在性和正解的不存在性,通过非线性泛函分析中的不动点指数理论,得到了该问题至少存在两个正解,同时给出了正解不存在的条件.第四章主要讨论了第二类Fredholm积分方程的数值解.首先简要概括了该积分方程的研究现状和分类;其次证明了第二类Fredholm积分方程解的存在性和唯一性,并给出了具体的例子;最后,对解析解不容易求出的积分方程,给出了一种解决方法—数值积分法.第五章是本文的研究总结与展望.

关键词： 常微分方程   换元   分离变量法   黎卡提方程  

摘要： 对一道一阶常微分方程方程,通过换元、分离变量法,以及黎卡提方程等多种方法求出方程的通解。

关键词： 常微分方程   换元   分离变量法   恰当方程  

摘要： 对一道一阶直线型微分方程进行了探讨,并从多角度和不同思维方法进行分析求解,展示一题多解的技巧。

关键词： 多尺度方法   再生核空间   最小二乘法   常微分方程  

摘要： 多尺度问题经常出现在应用数学和物理领域。典型的例子是复合材料中和地下地层的地下水运输。由于规模的巨大,传统数值方法难以解决,因此大量的多尺度方法被提出来用于解决多尺度问题,例如数值均匀化,多尺度有限元方法和多尺度有限体积方法。这些方法的共同目标都是构建多尺度基函数,本文也将多尺度方法与再生核方法结合起来,构造多尺度正交基,并用于求解具有初值条件的二阶微分方程的高精度解。本文首先介绍了多尺度方法以及再生核空间的基本定理和性质,并给出了再生核空间中再生核函数的具体表达式,特别地,提出了满足初值条件的再生核空间W2.01[0,1]。其次,应用多尺度方法在再生核空间中建立了多尺度正交基。针对所研究的微分方程问题,将其转换为再生核空间中的第二类积分方程,并以多尺度正交基为基底框架,建立了近似解的基本形式。然后,结合最小二乘法确定了近似解基本形式中的未知系数,进而获得方程的近似解。同时对所提出的数值算法进行收敛性的证明,证明该算法所得近似解在连续函数空间范数意义下至少4阶收敛。最后,通过两个数值算例来例证多尺度再生核方法的有效性。

关键词： 非线性系统   结构稳定性   Hartman定理   周期解  

摘要： 常微分方程是数学学科中一个重要的分支,其中系统结构稳定性和周期解是常微分方程主要研究部分.动力系统结构稳定性研究的是扰动因素对原系统的影响;周期解则是力学中最活跃的研究领域之一.本文针对上述两方面进行了研究,大致分为以下两个部分.第一部分(第三章),我们借鉴/Hartman定理证明的思想,研究了非线性动力系统x = f(x),x ∈ Rn,与其扰动系统x = f(x)+ η(x),x∈n.之间的关系,证明了当扰动项η足够小时,原系统是结构稳定的,纠正了文献[2]中的有关证明.第二部分(第四章),利用极限环的有关知识,证明了一类常微分系统x + f(x)x + g(x)= 0,周期解的存在唯一性与稳定性.

关键词： 滞后型脉冲微分方程   测度微分方程   Henstock-Kurzweil积分   有界变差解  

摘要： 本文应用Kurzweil广义常微分方程理论,研究了以下滞后型脉冲微分方程x(t)= f{t,xt),t≠tk,k = 1,2,…,m,Δx{tk)= Ik(x{tk)),t = tk,k = 1,2,…,m,(1)xt0=φ与测度微分方程Dx = f(x,t)+ g(x,t)Du+p(t)Du(2)的有界变差解.借助Henstock-Kurzweil积分,建立了这类常微分方程有界变差解的存在性定理,本质上推广了一些相关结果.本文主要包括三部分内容:第一部分介绍了文中所用到的基本概念和引理;第二部分给出了滞后型脉冲微分方程有界变差解的存在性定理;第三部分建立了测度微分方程有界变差解的存在性定理.

关键词： 常微分方程   数学建模   应用分析  

摘要： 采用常微分方程可以将许多实际问题转变为数学语言进行研究,在数学建模中应用较为广泛,是一种重要的数学建模工具.本文首先对常微分方程的概念基础及建立过程进行分析,进而对常微分方程在数学建模中的具体应用进行例题解析,主要以新品推广模型、车间通风模型、混合溶液模型的建模过程为例.