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关键词： 高校数学   课程思政   教学改革  

摘要： 课程思政的推进不仅是当前高校教学改革的鲜明趋势,而且是落实立德树人教育根本任务的关键行动。常微分方程是一门非常重要的基础课程,具备充分开展课程思政的条件,通过分析当前常微分方程课程思政开展现状及问题,阐述了常微分方程课程思政优化策略,以期为增强学生思想政治素质,更好地培养全面发展的人才助力。

关键词： 图机器学习   图神经网络   神经常微分方程   分类体系   综述  

摘要： 图神经网络(graph neural network,GNN)是处理图结构数据的强大工具,能够捕捉节点间的复杂关系和特征.但GNN的离散架构导致其在表示图结构、建模图演化、适应不规则数据和计算开销等方面面临诸多挑战.面对这些挑战,神经常微分方程(ordinary differential equation,ODE)由于能够模拟系统状态的连续变化,具备“连续深度”的编码和推断能力,被作为解决GNN面临挑战的全新方法而引入.然而,神经ODE是为欧式结构数据设计的,无法直接捕捉图结构特性.因此,提出了图神经ODE,一种将神经ODE与GNN结合的新架构,可以更好地适应图结构数据并充分利用其特性.近年来,图神经ODE相关研究已经深入到图机器学习的各个方向中,引发了新的研究热潮.在此背景下,适时地对图神经ODE研究前沿进行了系统性综述.首先,回顾了GNN的关键优势和面临的诸多挑战,阐述了引入神经ODE并与GNN结合的理论基础和实践意义.随后,详细介绍了图神经ODE的背景和基本概念,并提出了一种新颖的分类方法,在此基础上对当前的相关方法进行了全面描述.然后,介绍了相关研究常用的验证方法,包括下游任务及数据集.进一步,深入探讨了图神经ODE在多个实用领域上的应用.最后,对图神经ODE面临的挑战和未来发展趋势进行了总结和展望.

关键词： 非线性分数阶常微分方程   初值奇异性   高阶数值格式  

摘要： 考虑非线性分数阶常微方程高阶格式的精确解具有初值奇异性,从而引入初值变量和逐块方法,再利用拉格朗日插值公式,提出一种新的高阶数值格式。该高阶数值格式为非光滑解条件下的5+α阶。

关键词： 常微分方程   向量边值问题   仿伪逆矩阵   Mawhin的重合度理论   共振  

摘要： 研究了一类带有系数矩阵的分数阶共振边值问题.首先,定义2个合适的Banach空间;然后,在Banach空间中构造恰当的算子并使用仿伪逆矩阵的性质及Mawhin的重合度理论,得到了其解的存在性;最后,给出一个例子来验证主要结果.

关键词： 本科教学   常微分方程   教学方法  

摘要： 《常微分方程》是一门重要的数学专业基础课,文章围绕《常微分方程》课程的教学现状,分析了大学数学课程教学中存在的主要问题,再结合自身的教学实践经历,总结了一些教学心得和感悟,并提出了大学数学课程教学改革的基本思路,以及在教学理念、教学内容、教学形式、教学方法、教学手段和教学评价等方面的改革措施。

关键词： 车辆避障   深度Q网络   神经常微分方程   泛化性   稳定性  

摘要： 实现车辆的有效避障对于提升自动驾驶系统的安全性和可靠性具有重要意义。近年来,以深度Q网络算法(DQN算法)为代表的深度强化学习方法被广泛用于车辆避障问题的研究。然而,DQN算法中的多层感知机在处理小样本数据时易发生过拟合,导致其泛化能力不足。为了解决这一问题,提出了一种基于神经常微分方程的深度Q网络算法,即NODQN算法。该算法使用神经常微分方程替代传统DQN算法中的多层感知机用于Q值函数逼近。实验结果表明,在三种典型的仿真场景中,NODQN算法在到达率、碰撞率和平均奖励等性能指标上比DQN算法均表现出显著优势,并且平均最大偏移量比DQN算法更低。综上所述,NODQN算法有效改善了传统DQN算法在处理小样本数据时的过拟合问题,表现出更强的泛化能力和更高的稳定性,从而在车辆避障任务中提升了系统的安全性与可靠性。

关键词： 线性系统   数字化智能化转型发展背景   线性代数   常微分方程  

摘要： 线性系统理论课程的授课对象包括应用数学和自动化等专业方向的高年级本科生或低年级研究生.然而当前许多线性系统理论课程设计或教学过程中,只是局限于围绕模型精确已知的系统的能观性、状态观测器设计、反馈控制设计等开展教学活动.结合工程实际中模型几乎难以精确建立且多数是非线性的这一实际背景和当前数字化和智能化转型发展背景,文章基于输入输出数据驱动的视角,探讨不确定性系统能观性、新型状态观测器设计和智能控制算法设计等线性系统理论课程教学,并探讨基于数据驱动观点的线性系统理论课程教学和数学课程教学的联系和区别,让学生体会数学思想方法和系统控制思想方法交叉的美妙之处,进一步提高学生学习数学控制论和控制科学与工程相关学科方向的兴趣,提高学生独立思考能力和学习迁移能力.

关键词： 积分因子   恰当方程   微分中值定理  

摘要： 积分因子是常微分方程中的一个重要内容,同时也是学生不易掌握和应用的一个知识点。利用积分因子不仅可以求解满足恰当积分条件的一阶微分方程,更可以和微分中值定理产生联系,因此积分因子在各种数学竞赛以及历年考研数学试题中频繁出现。本文在常微分方程教材的基础上,从恰当方程出发,介绍了积分因子以及相关性质。最后,给出了积分因子的一些应用。

关键词： 常微分方程   项目式学习   数学模型   大学教育  

摘要： 项目式学习以解决问题为中心,强调学生主动参与和合作学习,能够激发学生的学习兴趣,提高他们的实践能力.文章深入探讨了项目式学习在常微分方程教学中的具体应用,特别是项目各个部分的设计方法.首先,文章阐述了项目式学习的基本理念和价值,即启发式、主动参与和团队合作的学习方式,以及其对于提升学生积极性和实践能力的重要性.然后,详细介绍了项目设计的关键步骤:确定项目主题,设计项目任务,小组合作,教师的指导和反馈,展示和评估,反思和总结.这些步骤的设计旨在引导学生理解和应用微分方程的知识,培养他们的解决问题和团队协作的能力.最后,讨论了项目设计中可能遇到的挑战,如项目难度的平衡、时间管理、团队合作及评估等.

关键词： Ornstein-Uhlenbeck过程   Euler算法   伊藤公式   可视化  

摘要： 针对Ornstein-Uhlenbeck过程的随机微分方程运用有限差分法求解,并与伊藤公式求出的精确解进行对比,给出方差、特征函数等参数的表达形式及估计.最后通过MATLAB和Python语言进行可视化仿真模拟,借助图像分析Ornstein-Uhlenbeck方程的性质和特点.