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关键词： 非线性分数阶常微分方程   Green函数   边值问题   不动点定理   正解  

摘要： 非线性分数阶常微分方程边值问题是常微分方程理论的一个重要组成部分.相比整数阶常微分方程,分数阶常微分方程能够更精准地刻画事物的性质和预测其发展趋势.因此,研究非线性分数阶常微分方程边值问题具有十分重要的理论意义与应用价值.本文致力于两类非线性分数阶常微分方程边值问题正解的存在性和多解性问题的探究.首先,通过Green函数将非线性分数阶常微分方程边值问题转化为求相应积分算子的不动点问题;然后,利用相关不动点定理研究非线性分数阶常微分方程边值问题正解的存在性和多解性;最后,给出具体的例子来验证结果.本文分为如下四章内容.第一章先简要概括了非线性分数阶常微分方程边值问题的发展历史和研究现状.然后,介绍了一些相关的数学概念和引理.最后,阐述了分数阶边值问题向不动点问题转化的过程,并附例说明.第二章研究了一类高阶非线性分数阶常微分方程积分边值问题正解的存在性和多解性问题.通过分析与该积分边值问题相对应的Green函数的性质,利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理,证明了该边值问题正解的存在性和多解性.最后给出了结果的应用.第三章研究了一类低阶非线性分数阶常微分方程多点边值问题正解的存在性与多解性问题.通过分析与该多点边值问题相对应的Green函数的性质,利用Guo-Krasnosel’skii不动点定理及Leggett-Williams不动点定理,给出了该多点边值问题正解的存在性定理和多解性定理.并且在章末给出了具体的应用例子.第四章是本文的研究总结与展望.

关键词： 大学生   常微分方程   学习自我效能感   学习压力   学习倦怠  

摘要： 为了探究影响常微分方程学习的心理因素,本研究采用问卷法测查湖南科技学院541名在校大学生,结果发现学习自我效能感、学习压力、学习倦怠是影响地方本科院校大学生常微分方程课程学习的重要变量。大学生对于常微分方程课程的学习整体存在着中等水平的学习压力和学习倦怠,学习自我效能感水平整体处于中等水平,这些心理因素之间存在显著的相关关系。

关键词： 常微分方程   周期边值问题   正解的存在性   拓扑度理论   分歧理论  

摘要： 本学位论文运用拓扑度理论与分歧理论研究了几类非线性一阶周期边值问题正解的存在性.主要工作如下:1.运用分歧理论研究一阶常微分方程边值问题(?)正解的全局结构.其中f∈(C([0,1]×R,R),q ∈C([0,1],[0,∞)),a ∈ C([0,1],(0,∞)),λ是正参数.本节中,给非线性项f附加振荡性条件后,获得的正解连通分支也开始振荡,而且振荡的振幅有界且不趋于零.主要结果受***[*** ***.,1999]的启发,补充了***[***.,2004]及*** 和***,[*** Probl.,2015]的结果.2.运用拓扑度理论和分歧理论研究f在u=0处取负值(即半正)且满足无穷远处渐近线性增长、超线性增长或次线性增长条件下问题(?)正解的存在性.其中f∈C([0,1]× R,R),t ∈[0,1],f(t,0)<0,β可变号,λ是正参数.主要结果推广了 ***[*** ***.,2012]的结果.

关键词： 完全三阶边值问题   不动点定理   不动点指数理论   上解   下解   锥  

摘要： 本论文主要运用全连续算子的不动点定理,锥映射的不动点指数理论以及上下解方法,讨论完全三阶边值问题解及正解的存在性与唯一性,其中f:[0,1]×R3 →R为连续函数.本文的主要工作如下:一.借助于相应三阶线性边值问题解的存在性与唯一性的结论,在非线性项一次增长的条件下,运用全连续算子的Leary-schauder不动点定理,获得了完全三阶边值问题解的存在性与唯一性.二.在非线性项超线性增长的条件及Nagumo型增长条件下,运用全连续算子的Leary-schauder不动点定理,获得了完全三阶边值问题解的存在性.三.通过选取特殊的锥,运用锥映射的不动点指数理论,分别在非线性项超线性增长与次线性增长的条件下,获得了完全三阶边值问题正解的存在性.四.利用一个特殊的截断技巧,在引入Nagumo型增长条件的情形下,运用上下解方法获得了完全三阶边值问题解的存在性以及正解的存在性.

关键词： 延迟   常微分方程   偏微分方程   间断有限元   标准有限元   收敛   超收敛  

摘要： 延迟微分方程在物理、生物、化学、控制等领域中有着广泛的应用.由于只有极少数延迟微分方程能够获得精确解的解析表达式,因此其数值模拟是计算数学领域的一个重要组成部分.本文主要利用有限元法对延迟微分方程展开研究,包括变延迟微分方程、状态依赖延迟微分方程和扩散型延迟偏微分方程模型.第一章绪论,主要介绍延迟微分方程的研究意义、背景,数值方法进展,预备知识和本文研究内容.第二章拟几何网格下非线性比例延迟微分方程连续有限元研究.已有结果在一致网格下,这类方程连续有限元解无法达到经典的超收敛结果.事实上,这是由于延迟项qt可能将当前区间(tn-1,t_n)映射到前面两个相邻的区间(ti-1,ti)∪[ti,ti+1)（i2m+1).最后在得到间断有限元解U与真解插值Πhu之间超逼近结果的基础上,找到其它超收敛点为Radau II点,并证明数值解在这些点上的超收敛阶为O(hm+2).数值实验验证理论的正确性.第四章非消失状态依赖延迟微分方程间断有限元研究.我们将上述消失延迟微分方程间断有限元解的收敛结果推广到状态依赖延迟微分方程上.由于延迟项依赖于方程解本身,使得数值求解这类微分方程更加困难.而且在得到方程近似解之前,无法设计合理的网格使得方程在网格点达到经典超收敛结果.本章首先基于间断有限元法给出方程的计算格式,随后提供一种有效算法计算方程的间断点,并基于间断点设计网格剖分,同时计算出方程的间断有限元解.数值实验验证理论正确性.第五章带扩散项的时间常延迟偏微分方程有限元法研究.主要考虑时间延迟偏微分方程的间断有限元法,首先提出间断有限元离散延迟偏微分方程,利用引理,证明时间上半离散格式的整体收敛阶.然后在时间半离散格式的基础上,提出空间上标准有限元离散,分析全离散格式的时、空整体收敛阶.我们分别通过一维和二维常延迟偏微分方程来验证理论结果的正确性,数值例子中发现时间上有超收敛性,为后续进行时间上的超收敛研究打下基础.第六章的研究基于Zhang[113]关于高次正交多项式插值超收敛性质的结果:对函数作多项式插值,插值多项式的一阶导数和二阶导数超收敛点的估计值被给出.为了更方便地使用超收敛点,我们在此列出具有14位精度的插值多项式一阶导数超收敛点.最后给出数值例子.

关键词： 一阶微分方程   伯努利方程   积分因子   隐式方程  

摘要： 对一道微分方程的显示解与隐式解进行探求,使用伯努利方程法、积分因子法、一阶线性方程法给出显示形式的解,以及通过变换给出隐式形式的解。

关键词： 代数方程   常微分方程   相互联系  

摘要： 本文分析了常微分方程与代数方程之间的关系,代数方程的基本作用与常微分方程的指导作用皆体现在对方方程中。这是因为代数方程的因式分解是微分方程算子解的基础,而常微分方程是在代数方程上的拓展,这肯定为代数方程的分析起到非常关键的指导作用。

关键词： 一阶隐式微分方程   参数法   变量分离法  

摘要： 对常微分方程的一道一阶隐式微分方程,通过参数法、变量分离法、换元法、积分因子法等,给出求解,显示初等解法的多样性与灵活性。

关键词： 移动机会网络   不良信息   传播动力学   反击措施   常微分方程   元胞自动机   脉冲微分方程  

摘要： 移动机会网络(Mobile Opportunistic Networks)是一种不需要维持网络拓扑结构的连通性,稳定性和可靠性,利用网络设备移动产生的相遇机会实现通信的无线自组织网络。随着个人移动设备的发展和移动通信技术的进步,移动机会网络的应用范围也逐步扩大。例如,移动机会网络能够用于解决基站覆盖区域外通信或者覆盖区域间负载均衡的问题。然而,由于不稳定的网络拓扑结构,移动的节点,有限的能量,通信干扰导致的不确定的传输距离等因素,移动机会网络提供了不良信息传播的温床。因此如何构建有效的防护机制来遏制不良信息的传播便成为一个关键的问题。为研究移动机会网络中不良信息的传播动力学行为并建立有效的安全防护机制,论文基于常微分方程模型,偏微分方程模型,元胞自动机,庞氏极大值原理,围绕不良信息传播动力学建模,不良信息传播安全策略,安全策略效果与成本的平衡问题,对不良信息在移动机会网络中的传播动力学行为与安全策略展开了系统深入的研究,论文的研究工作主要包括以下几个方面:(1)为了研究恶意软件在移动机会网络中的传播动力学行为,本文首先构造了节点的移动模型,真实地刻画了恶意软件在移动环境下的传播状态。其次,结合传染病模型以及微分方程模型,本文对恶意软件在移动机会网络中传播的时空动力学行为进行了建模。通过对微分方程模型解的稳定性分析得到决定不良信息持续传播与否的阈值,基于该阈值构建了能够平衡控制效果与控制成本的安全措施,使得在一定时刻被不良信息感染的节点数量最少且安全策略成本最小的目标函数。最后利用庞德里亚金极大值原理,得到了免疫策略与治愈策略的最优实施策略。(2)针对机会社交网络中谣言传播对社会稳定与人们日常生活的严重威胁,本文对机会社交网络中谣言的传播进行动力学建模并建立有效的反击策略开展了研究。针对该问题,论文的研究工作集中于两个方面:如何描述社交网络的异质性对谣言传播的影响;若兼顾反击策略成本和谣言传播规模,如何构建最优化的反击策略。针对上述问题,本文提出基于异构网络的传染病模型,该模型刻画网络的异质性以及不同的反击策略对谣言传播的影响。通过分析所提出的常微分方程系统平衡解的存在性和稳定性,得到了决定谣言持续传播或消亡的阈值,而且考虑实施两种主要反击策略的成本,即阻塞谣言于有影响力的传播者和通过传播真相来澄清谣言。基于Pontryagin极大值原理,得到优化的反击策略,确保在反击策略终止时,谣言消亡并且反击策略的成本最小。(3)考虑到针对移动机会网络中对于病毒实施脉冲免疫的现实可行性,基于节点的移动特征,将节点的通信半径,节点的脉冲免疫率和移动速度等各种因素进行统一建模。在脉冲微分方程基础上构造移动机会网络的病毒传播免疫模型;阐述了移动机会网络在脉冲免疫下病毒的传播和扩散动力学和病毒是否消除的传染临界特征;研究了模型周期解的存在性和稳定性以及系统平衡解的持续存在性;讨论了节点的通信半径、移动速度、脉冲周期和免疫率的病毒传播阈值问题,理论分析及实验表明论文提出的策略对预防和控制移动机会网络中病毒传播具有较好的参考和实用价值。(4)为了实时控制不良信息或恶意数据包在自适应网络中的扩散,本文深入研究其断边重连策略。先前大多数关于自适应网络断边重连的研究以随机重连策略为主,基于先前研究中网络断开后随机重新连接或根据欧氏距离重新建立的策略,我们从节点度和节点距离两个影响网络传播的主要因素,提出了一种基于最短路径和节点度的断边重连策略。首先根据元胞自动机理论建立了自适应复杂网络的病毒传播模型。在此基础上,分别WS小世界网络和BA无标度网络中对Random策略、Degree策略、SP策略、SP-Degree策略和Degree-SP策略进行了比较和分析。通过实验来说明,SP-Degree策略能够有效破坏具有小世界特征网络的传输性和连通性,对其抑制病毒的传播效果最佳,而Degree-SP策略能够有效破坏无标度特征网络的传输性和连通性,对其抑制病毒的传播效果最佳。本研究在国家自然科学基金“移动无线传感网中恶意代码传播的时空动力学理论和方法研究”(编号:61173094)支持下,针对移动机会网络中不良信息的传播动力学行为与安全策略展开了研究,提出了不同情形下描述不良信息传播动力学的模型,提出了多种遏制不良信息传播的策略,为移动机会网络中信息的传播及其实施安全策略的深入研究提供了理论参考和一定的技术支撑,研究所获得的成果,具有一定的现实意义和广阔的应用前景。

关键词： 非线性常微分方程   边值问题   不动点定理   不动点指数性质   正解  

摘要： 常微分方程边值问题已得到了广泛的应用和深入研究.在实际问题中通常只有正解才有意义,因此研究常微分方程边值问题的正解具有重要的理论意义与实际价值.本文致力于几类非线性常微分方程边值问题正解的存在性研究.本文分为如下五章内容.第一章首先对常微分方程边值问题的背景知识及研究现状作了简要介绍,然后阐述了本文研究的主要内容,最后列出本文所用的概念和引理.第二章讨论两类二阶非线性常微分方程边值问题的Green函数.第三章研究二阶非线性常微分方程Sturm-Liouville边值问题在两种不同边值条件下的正解存在性.首先,利用Guo-Krasnosel’skill不动点定理,研究了一类两点边值问题在非线性项f满足f0=∞且f∞=∞（或f0=0且f∞=0）条件下至少两个正解的存在性.然后,运用紧算子的不动点指数性质证明了一类具有变号非线性项的m点边值问题的正解存在性.第四章研究两类三阶非线性常微分方程m点边值问题的正解存在性.首先,利用Guo-Krasnosel’skill不动点定理,研究了一类m点边值问题在非线性项f满足超线性及次线性条件下的正解存在性.然后,运用Leggett-Williams不动点定理,讨论了一类m点边值问题在非线性项可变号的条件下至少存在三个正解.第五章是本文的研究总结和展望.