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关键词： 异质性   辅助性T细胞   耐受性肿瘤细胞   常微分方程  

摘要： 异质性是肿瘤的特征之一,这种异质性包括了几乎所有可测量到的癌细胞特性,也就是说肿瘤细胞从核型、生长速度、免疫学特性上都存在差异。同样地,免疫细胞的异质性在于它包含不同的抗肿瘤亚群。为了解异质性和机体的免疫细胞与肿瘤发生、发展的相互关系,我们建立了一系列数学模型,依次研究了免疫细胞的异质性和肿瘤细胞的异质性,研究结果揭示了异质性对肿瘤-免疫细胞相互作用的影响。 第一章,我们简要介绍了肿瘤-免疫系统、异质性的背景、肿瘤-免疫细胞相互作用模型的研究现状以及常微分方程的基本理论知识。 第二章,我们对Galach模型做了完整的理论研究,创新点是用新的方法分析了平衡点的存在性和稳定性,并发现了鞍结点。研究表明,肿瘤消除可依赖于强大的先天免疫水平和强大的抗肿瘤活性。最后我们探讨了该模型的不足之处,并在下文做了进一步的研究。 第三章,因为在免疫细胞中存在多种亚群共同发挥着消除肿瘤的作用,所以我们建立了一个包含肿瘤细胞、细胞毒性T细胞和辅助性T细胞的数学模型。然后我们对该模型进行了理论研究和数值模拟,结果表明肿瘤消除主要依赖于两种T细胞亚群高水平的输入率,如果能够给予它们中的任何一个群体足够高的输入率,肿瘤最终都会被消除。 第四章,肿瘤由于突变会产生免疫原性不同的亚群,于是我们将肿瘤细胞分成两类:敏感性肿瘤细胞和耐受性肿瘤细胞,以此来构建一个新的数学模型。我们对该模型进行了理论研究和数值模拟,重点分析了免疫细胞对两个肿瘤亚群的杀死率的比值对模拟结果的影响,研究表明,肿瘤细胞的异质性(耐受性肿瘤细胞)可能是导致免疫逃逸的重要原因。 第五章,我们总结了本文的研究结论并介绍了未来的研究方向―细胞毒性T细胞的异质性。

关键词： 生态系统   脉冲   常微分方程   种群动力学   稳定性  

摘要： 生物数学是生物学和数学相结合的一门新起的学科,生物数学通过一个多世纪发展以来,他发展出了许多新的分支,例如研究传染病发展过程和传播规律的流行病动力学,研究生态学中种群与环境之间相互作用以及生态学中种群之间相互作用的种群动力学等。但是不管多复杂的模型都是建立在单种群模型基础上的。单种群模型是发展和研究多种群相互作用,复杂网络模型以及生命科学领域各个复杂系统的基石。单种群模型能够精准的刻画生物现象以及变化发展规律,由于模型参数生物意义明确,理论背景丰富以及应用的广泛性,单种群模型基本形成了系统的理论框架,单种群模型已经广泛应用在动植物增长,生物资源管理,害虫综合治理等众多传统领域及交叉学科。自然界的生物在长期的进化演变过程中。由于生物种群的不断迁徙,生物种群内部与外部的竞争。生物生存的规则:弱肉强食、优胜劣汰。使得生物不断的完善自身去适应周围的条件。大部分生物为了抵御恶劣的环境条件,会降低自己的代谢,降低自己的体温,减少能量消耗,进入昏睡状态去抵御外界的不利条件(食物匮乏,天气极度炎热或者寒冷等等)这就是人们常说的冬眠或者夏蛰。但是在人类的活动下,造成了生物种群竞争不平衡、生物的栖息地遭受破坏、全球变暖等问题。对生态系统有序循环造成了极大地破坏。近年来,由于人类对生态系统的过度开发,生物种群间的竞争关系、居住环境遭受破坏、全球变暖等问题。因此生物种群的竞争关系引起了很多学者的研究,在竞争关系中最为基本的生物出生-捕食系统。因此(1)本文主要通过微分方程等相关知识建立的动力学模型.确立瞬时脉冲出生与非瞬时脉冲出生的相关微分方程。并建立瞬时与非瞬时脉冲出生-捕食系统。(2)运用常微分方程,系统解的稳定性等相关的高等数学知识对系统进行相关的分析。找出系统的周期解,确定系统的稳定性。(3)对生物种群进行分析,确定生物生存或灭亡的相关数据。防止生物泛滥成灾或者大量死亡濒临灭绝等问题。起到保护生态系统的稳定性的作用。利用动力学模型,通过计算研究,对生物以及生态系统进行保护。本研究主要中是运用常微分方程等数学知识通过单种群模型对相关模型的建立,并通过系统稳定解等知识对模型进行分析计算,找出系统的周期解,确立系统的稳定性。最后对生物生存,灭绝等相关问题进行讨论研究。

关键词： 常微分方程   偏微分方程   变分迭代法   拉普拉斯变换  

摘要： 在本文中,我们引入了变分迭代法和拉普拉斯变换的思想来求解非线性常微分方程和偏微分方程。给出了一些常微分方程和偏微分方程的渐近解析解,如勒让德常微分方程、K(2,2)和五阶KdV,借此说明了变分迭代法通过递推关系中的迭代求解渐近解这一方法的有效性。本文包括以下几个方面的内容。第一章概述了本文的研究背景和研究现状。第二章用变分迭代法求解勒让德常微分方程。首先,我们将勒让德常微分方程转换为标准常微分方程,这使变分迭代法可以简单地直接进行。结果表明,用VIM方法求解一般问题的解析解或近似解是可行的。文中给出了具体的例子,减少了计算量,克服了非线性项的障碍,证明了该方法的有效性。第三章研究了非线性偏微分方程近似解的一种有效方法。该方法免除了递归关系中积分的计算,并将拉普拉斯变换中的卷积定理应用于拉格朗日数乘的计算中。最后,通过同伦微扰法,用何氏多项式可以很容易地处理非线性项。该方法具有较高的效率,在实际应用中取得了很好的效果。

关键词： 常微分方程   有理解   流动奇异点   下降理论  

摘要： 求代数常微分方程的闭形式解在过去二三十年一直是符号计算领域中重要的研究课题之一。对于线性常微分方程，目前已经有完整的求闭形式解的算法;而对于非线性常微分方程，情况则不尽相同，即使是对有理解这种简单的闭形式解也无完整的计算方法。本文着重研究有流动奇异点的一阶常微分方程的有理解。例子表明这类方程不包含在已有算法所能处理的方程中。同时我们还研究了常微分方程的下降理论。文中主要采用代数工具，包括微分代数以及单变元代数函数域理论。设k是特征为零的代数闭域，k(t)是关于t的有理函数域，—k(t)是k(t)的代数闭包。本文的主要贡献如下:　　1.估计出域—k(t)上不可约平面曲线中点的高度。域—k(t)中元素的高度是有理函数次数的一种推广。设f(x0，x1)=0为—k(t)上的不可约代数曲线，（a，b）∈—k(t)2满足f(a,b）=0。我们显式刻画了a与b的高度之间的线性等价关系。尽管a与b的高度之间的关系作为完备簇中点的高度关系的特例是已知的，但是已有文献均未给出关系中的常数大小。　　2.给出了一阶代数常微分方程有理解的次数界。Eremenko在1999年证明了一阶代数常微分方程的有理解的次数存在上界。一般而言该次数界不但与方程的次数有关而且与方程的常数系数有关。对于一类有流动奇异点的一阶代数常微分方程，我们证明了其有理解的次数只与方程的次数有关。进一步，利用1中的结果我们显式给出了该次数界。　　3.分析出具有有理通解的代数常微分方程的下降。常微分方程的下降理论研究什么时候系数为k(t)上的常微分方程作为代数簇可下降为常数域k上的代数簇，即方程所对应的函数域可由常数生成。我们证明了当常微分方程具有有理通解时其所对应的代数簇可下降为常数域上的代数簇。

关键词： 常微分方程  

ISBN: (纸本)9787030642684

摘要： 本书是在作者多年教学经验和教学实践的基础上，通过集体商讨、研究编写而成。全书共六章：一阶微分方程的初等积分法、线性微分方程组、高阶线性微分方程、基本理论、定性理论初步及一阶偏微分方程初步。本书结合地方高校数学专业的实际情况，对相关内容和习题进行了提炼、精简、分类，力图在现有教学课时（48学时）内既能完成教学内容，又能突出本课程的核心内容，增强了教材的可读性。本书可作为高等院校特别是高等师范院校数学系本科生教材，也可作为师范专科学校数学专业教材。对于希望了解常微分方程这门学科的读者，它也可以作为一本入门教材。

关键词： 光学神经网络   马赫-曾德尔干涉器   微环谐振器   常微分方程   波导  

摘要： 在信息量爆炸的时代,处理大量数据的能力变得至关重要。微电子技术的发展与成熟有助于应用新兴的人工智能服务和高性能计算的下一代产业的出现。这些数据密集型企业严重依赖于用于计算的硬件的进步,随着在日常生活中人民对智能设备和数据的依赖,企业对数据的需求将不断增长。本文基于这一特点,针对传统神经网络芯片计算速度慢,发热多等特点,设计出来一种基于光学波导的光学常微分方程神经网络芯片,并针对本芯片的每一部分的结构,原理做出详细的说明。首先,针对光学神经网络的最重要全连接运算层,本文应用了基于马赫-曾德尔干涉器的全连接神经网络,分析了三角形网络和矩形网络。又针对比较弱的光学非线性,引入了光电混合调制组成的光学非线性元器件。最后将两者进行组合完成一个光学神经网络全连接层的设计。其次,针对应用光学求解常微分方程的问题,本文分析了两种光学运算元器件来运算光学积分以及微分的元器件。通过应用微环谐振器这一元器件,本文设计了光学求解常微分方程的结构,应用本结构可以较好的应用光学神经网络来计算一个常微分方程的解。最后,本文应用以上两部分所设计并应用的光学计算元器件,组合设计了一种光学常微分方程神经网络。此神经网络可以应用光学元器件进行一个电子神经网络的运算,相较于纯电子神经网络,光学神经网络可以应用光子进行训练,运算速度可以近似于光速,可以更快的进行计算。同时,为了更好的利用马赫-曾德尔干涉器的计算单元,本文同时设计了扩充型光学常微分方程神经网络,有效提高了马赫-曾德尔干涉器神经元的利用效率,更好的完成分类任务。在实验验证中,本文对以上设计的两种神经网络完成了实验设计,应用了各种方法,最终完成了实验仿真验证。通过实验分析,本文研究的光学神经网络结构相对于目前现有的神经网络结构在各方面有着一定的优越性。

关键词： Sakurai模型   Goldstone模型   两点边值问题   变分法   射击法   分析法   Sturm比较原理  

摘要： 本文主要研究了来自于经典场论中的两类模型解的存在性.在第一部分中,对于出现在Skyrme理论中的Sakurai模型,通过适当的Ansatz可将其化成非线性常微分方程的两点边值问题,然后我们分别利用变分法和射击法证明了该模型解的存在性,并给出解在端点的渐近估计.在第二部分中,对出现在规范场理论中的Goldstone模型,通过适当的Ansatz同样将其转化为非线性常微分方程的两点边值问题,然后我们分别利用变分法、分析法和射击法证明了该模型涡旋解的存在唯一性,并给出了解在端点的渐近估计及相关性质.

关键词： 奇异摄动   渐近解   内部转移层   Robin边界条件   常微分方程   不连续   边值问题  

摘要： 近年来,对内部层解的研究已取得了非常深入的成果,从而为右端不连续奇异摄动边值问题内部层解的研究提供了理论依据.通过对奇异摄动边值问题状态解极限性质的深入研究,本文探讨了几类右端不连续奇异摄动边值问题内部层解的存在性.内部层也称为空间对照结构,主要分为阶梯状内部层和脉冲状内部层两大类.本文主要讨论右端不连续奇异摄动边值问题的阶梯状内部层解.它的基本特点是在所讨论区间内存在一点t(当然也可以存在多点t),t称为转移点,因为在每个转移点的讨论完全一样,所以只讨论存在一个转移点的情况.事先t的位置是已知的,需要在渐近解的构造过程中确定y(t).在t的某个小邻域内,问题的解会发生剧烈的结构变化,当小参数趋于零时,解会趋向于不同的退化解.第一章回顾了奇异摄动边值问题的发展过程,引入了与本文研究内容相关的一些基本定义和引理,介绍了本文的工作和创新之处.第二章研究了带有Neumann和Dirichlet边界条件的奇异摄动二阶拟线性边值问题,因为右端项具有不连续性,从而导致在不连续点附近解会发生快速变化.本文利用缝接法证明了内部层解的存在性,并构造了一致有效的形式渐近解.第三章考虑了具有右端不连续项和Robin边界条件的二阶奇异摄动边值问题,不但证明了解的存在性,确定了转移点,且利用边界层函数法构造了一致有效的形式渐近解.第四章考虑了具有反应扩散对流的奇异摄动边值问题,证明了这类问题中存在阶梯状内部层解,并获得了一致有效的内部转移层解.第五章研究了带有Robin边界条件的奇异摄动方程组的内部层.根据解的结构,利用缝接法证明了内部转移层的存在性,同时根据边界层函数法,构造了一致有效的形式渐近解.

关键词： 常微分方程   微波加热系统   Petrowsky系统   耦合系统   时间最优控制   Bang-bang性  

摘要： 世界是联系的,联系是相互的,这就决定了实际生产生活中有许多现象可以用微分耦合系统的数学模型来描述,如微波加热和化学反应等.如何选择恰当的控制,使得微分耦合受控系统在最短的时间内达到所期待的目标,这就是耦合系统的时间最优控制问题.这一类问题是控制理论和控制工程所关注的问题.本论文主要研究了从有限维到无穷维的三类微分耦合受控系统的时间最优控制问题:线性常微分耦合系统、由Maxwell方程和热传导方程耦合系统所刻画的微波加热系统和描述震动系统的Petrowsky方程的时间最优控制问题,证明了时间最优控制存在性及其充要条件和时间最优控制的bang-bang性.其具体内容如下:1.关于线性常微分耦合受控系统,论文研究了强耦合和弱耦合系统两种情形,针对每种情形研究了时变和时不变两类系统的能达集的性质,给出了系统能控性的几个等价条件;针对每类系统相应的时间最优控制问题,证明了解的存在性,给出了最优控制和最优轨迹满足的条件,推导了时间最优控制具有bang-bang性.2.对于微波加热系统,根据微波加热的原理和电磁理论可知,微波加热过程由Maxwell方程与热传导方程的耦合系统描述,根据被加热材料的特性,可分为弱耦合系统和强耦合系统.论文在建立了微波加热系统的时间最优控制问题的数学模型的基础上,分别针对微波加热强弱两类耦合系统研究其时间最优控制问题.对于弱耦合系统,通过抛物型方程的Carlman不等式,利用Hahn-Banach定理和Riesz表现定理证明弱耦合受控系统状态的零能控性;进而采用极小化序列和泛函分析技巧证明了时间最优控制问题解的存在性,然后结合零能控性,推导出微波加热弱耦合系统的时间最优控制具有bang-bang性.对于强耦合系统,借助Kakutani不动点定理证明了微波加热强耦合受控系统的零能控性,进一步证明了强耦合系统时间最优控制问题解的存在性.最后,不同于弱耦合系统情形,通过Carlman不等式建立系统状态与控制之间的精确的估计,利用反证法证明了微波加热强耦合系统的时间最优控制具有bang-bang性.3.对于Pestrowsky方程,根据其系统的能控性与零能控性的等价性,探讨了Pestrowsky方程受控系统的零能控的充要条件,进而引入泛函极值的方法证明了Petrowsky系统的能控性和Petrowsky系统的时间最优控制的存在性;最后应用反证法,通过系统的零能控性证明了时间最优控制的bang-bang性.本文的创新之处主要有以下几个方面:常微分方程耦合系统的时间最优控制问题研究,为复杂系统以及多控制多目标最优控制问题的研究提供了一定的数学基础.微波加热系统的时间最优控制问题的研究,具有较好的应用前景,其讨论时间控制的方法,特别是时间最优控制的bang-bang性的证明,方法有新意.对于Petrowsky系统的时间最优控制问题,将受控系统的零能控性的充要条件视为一个线性泛函极值的必要条件,改变了看问题的角度和解决问题的方法.对三类耦合系统的时间最优控制都探讨了其控制的bang-bang性.论文的最后我们对后续的研究工作进行了展望.

关键词： 时间最优控制   范数最优控制   常微分方程   最优时间  

摘要： 本文主要研究在R空间中的一类线性常微分方程的时间最优控制问题,其控制约束集为矩形型控制约束集.首先建立时间最优控制问题和范数最优控制问题的等价性定理.其次得到最优时间和时间最优控制的充分必要条件.最后给出一种计算最优时间和时间最优控制的数值方法.在已有的结论中线性常微分方程的目标集是原点,然而本文考虑的控制系统的目标集是包含原点的闭球.本文共包括五章:第一章为绪论,主要阐述本文的研究背景和研究内容.首先回顾了控制学科的起源和发展,其次介绍了时间最优控制问题和范数最优控制问题,并回顾了它们之间等价性定理的研究和应用现状.第二章为预备知识,首先介绍了R空间中的一类线性常微分方程的时间最优控制问题和范数最优控制问题,该问题考虑控制系统的目标集为包含原点的闭球,控制约束集为矩形型控制约束集,其次给出了基本假设、基本符号的定义和引理.第三章,证明了一类线性常微分方程的时间最优控制问题和范数最优控制问题的等价性定理,并且给出了最优时间函数和最优范数函数是连续的且为严格单调递减的函数.第四章,得到了最优时间和时间最优控制的充分必要条件.这里的证明技巧是构造了适当的泛函使得其极小点可以刻画范数最优控制问题的最优控制,再结合等价性定理得到了本章的主要结论.第五章,给出一种计算最优时间和时间最优控制的数值方法,并通过一些例子说明这种方法的有效性.