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关键词： 研究兴趣   常微分方程   实例分析   数学模型  

摘要： 《常微分方程》是数学及其相关专业的核心课程,它是理论和应用之间的桥梁。在国家倡导研究型教学的背景下,怎样激发学生的研究兴趣是一个值得讨论的课题。作者在《常微分方程》的教学中对怎样激发学生研究兴趣进行了一些尝试,从几个实例谈点研究型教学的体会,仅供参考。

关键词： 刚体运动   牛顿第二定律   常微分方程   牛顿-欧拉运动方程  

摘要： 针对"同心协力"拓展项目中队员的协同控制问题,建立了在理想条件下的最优策略模型,以及在非精确控制条件下的鼓面倾斜模型,讨论了稳定性要求对最优策略的影响,给出当球跳动方向偏离竖直方向后,鼓的控制方法及效果.最后对2019年"高教社杯"全国大学生数学建模竞赛B题的参赛论文予以简要评述.

关键词： 变系数常微分方程   幂级数   Lyaponov方法   渐近性分析  

摘要： 讨论实际问题中一类二阶变系数线性齐次常微分方程的数学模型,利用幂级数待定系数法得到了一般情况下的幂级数解的形式.在特殊条件下,对相应系统做变换,并利用变量分离法得到具有初等函数形式的解析解,并分析了在此情况下解的渐近性.最后,利用Lyaponov方法进行渐近性分析,得到了在一定条件下的收敛性结果,这个渐近性收敛结果在实际应用中是存在的,与某种特殊条件下的解收敛性相一致,从而说明了该数学模型在应用上有一定实际意义.

关键词： 常微分方程   p-Laplace算子   不动点定理   两个正解   参数   脉冲微分方程  

摘要： 本文研究了一类含p-Laplace算子与参数的多点脉冲微分方程,并利用两个不同的全连续算子的不动点定理和Banach空间中的锥理论得到了该方程解对参数的依赖性与解的存在性,以及两个正解的存在性.

关键词： 三阶常微分方程   正周期解   锥   不动点指数  

摘要： 用锥上的不动点指数理论,考虑一般三阶常微分方程Lu(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t))(t∈ℝ)正2π-周期解的存在性,其中:Lu(t)=u‴(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)是三阶常微分算子;f:ℝ×[0,∞)×ℝ2→[0,∞)连续,f(t,x,y,z)关于t以2π为周期.在非线性项f满足一些易验证的不等式条件下,允许f(t,x,y,z)关于x,y,z满足超线性或次线性增长,得到了该方程正2π-周期解的存在性结果.

关键词： 分数阶常微分方程   分数阶导数   高阶数值逼近格式  

摘要： 对于分数阶常微分方程,我们通过直接离散的方法构造了一个高阶数值逼近格式。该数值方法是对分数阶导数直接进行离散。在每个小区间上,利用二次拉格朗日插值来进行逼近,从而获得分数阶导数逼近的高阶数值格式。该数值格式的收敛阶为3-α阶,其中0<α<1是分数阶导数的阶数。一系列的数值试验验证了理论预测的正确性。

关键词： 存在区间   周期解   Poincaré映射   Riccati方程  

摘要： 讨论解的存在区间,说明周期函数如何是周期解以及它和Poincaré映射的关系.对周期的Riccati方程研究了周期解的个数,是文[8]中的定理1的一个补充,同时也研究了周期捕获的人口方程解的存在区间和周期解问题.

关键词： 常微分方程   网络教学   计算软件  

摘要： 文章立足于"以学为本"和全程性考核的教学理念,结合常微分方程的教学特点,对《常微分方程》课程教学模式进行了改革与实践。应用网络教学平台和计算软件模拟,突出课前预习、小组报告、分组讨论、专题论述等学习过程,侧重培养学生的动手能力和初步的科研意识。实践表明,这种新的教学模式增强了师生互动、生生互动,激发了学生的学习兴趣,增强了学生的动手、思考能力,提高了学生"学以致用"的能力。

关键词： 完全四阶边值问题   不动点定理   Nagumo型条件   下解   上解   极大值原理   正解  

摘要： 本篇论文主要运用全连续算子的不动点定理,上下解方法讨论两端简单支撑的完全四阶边值问题(?)解的存在性、唯一性以及正解的存在性,其中f:[0,1]× R4 →R为连续函数.本篇论文的主要工作如下:一.通过选取一个凸闭集,在非线性项包含了一次增长的条件下,运用全连续算子的Schauder不动点定理获得了完全四阶边值问题解的存在性与唯一性.二.在允许非线性项满足一边超线性增长条件和Nagumo型增长条件下,利用全连续算子的Leray-Schauder不动点定理给出了完全四阶边值问题解的存在性和唯一性.三.在引入Nagumo型增长条件的情形下利用上下解方法和一个特殊的截断技巧得到了完全四阶边值问题解的存在性.四.在第三节的基础上通过建立一个新的四阶边值问题的极大值原理研究了完全四阶边值问题正解的存在性.

关键词： 配对交易策略   几何布朗运动   止损线   动态规划原理   HJB方程   平滑延展方法   连续监测库存模型   库存—价格匹配策略   马尔科夫链   物流—仓储问题   正倒向随机微分方程   单调条件   统一框架方法   线性变换方法   非退化矩阵   常微分方程   两点边值问题   正则解耦域  

摘要： 本篇论文主要研究了两类随机控制问题:一个是几何布朗运动驱动的最优股票配对交易策略,另一个是马尔科夫链驱动的最优库存—价格模型。另外,我们还研究了线性正倒向随机微分方程组(FBSDEs)和一类常微分方程组(ODEs)解的适定性问题,针对适定性难以确定的情形,我们引入非退化矩阵进行变换,利用变换后方程组解适定所需满足的条件,反推出变换矩阵应符合的形式,进而得到原始方程组解的适定性。配对交易又称做成对交易,最初是由华尔街著名投行Morgan Stanley中的Tartaglia量化交易组在上个世纪八十年代提出的股票交易策略。配对交易策略的主要思想是构建一个由两种风险资产组成的投资组合,并以一个固定预设比例卖空其中一种风险资产并同时买入另一种风险资产。配对交易策略在投资组合价值本质偏离其均值时进行建仓,并期望投资组合价值在一段时间后回复至其均值附近。当回复过程发生后,反向操作两种风险资产,从而平仓盈利。对比其他传统交易策略,配对交易策略能够在股票市场整体下行时依然盈利,这使得配对交易策略成为丰富投资组合以及防范市场风险的重要交易策略。研究实际问题时,很多系统在随机干扰下表现出长期在某几种状态之中转换的特性,针对此特性,在数学上,我们将其刻画为马尔科夫链驱动的随机控制问题。不同于传统的扩散模型,马尔科夫链主要具有以下两个方面的优势。首先,从模型的角度来看,由马尔科夫链驱动可以更好的体现模型具有长期趋势但随机波动并不频繁的特征;另一方面,马尔科夫链驱动的模型在处理衍生品定价和投资组合优化等问题中,已取得许多进展和应用。马尔科夫链驱动模型使得目标过程几乎处处可微,根据动态规划原理,其对应于一阶Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程,相比于传统扩散模型,更有利于得到解析解。而且,马尔科夫链与传统扩散模型并不是矛盾对立的,可以通过改变马尔科夫链驱动模型的跳跃速率和幅度来近似得到几何布朗运动模型。本篇论文在前人研究基础之上,进一步深入研究,并将研究所得理论结果应用解决部分实际问题。全文主要分为以下六个部分,主要内容和具体结构如下:论文第一章,主要就本论文所涉及问题的研究背景展开深入介绍,并详细阐述之后每一章节的主要学术贡献。论文第二章,主要研究了可止损的最优股票配对交易策略,及其在金融市场中的应用。不同于均值—回复模型驱动的配对交易策略,我们假设股票价格服从几何布朗运动,将两支股票价格之比作为确定何时买卖配对组合的依据,建立阈值形式的可投资区域。针对股票交易中可能出现的收购、破产等不确定因素,为有效控制风险,我们预设一个止损线,凡触及此限制的所有交易将立即平仓止损。为解决此问题,我们首先利用动态规划原理,推导值函数满足的HJB方程和变分不等式,借助平滑延展方法得到解析解。在固定的止损水平下,给出阈值形式的最优配对交易策略,分析配对策略对模型参数的依赖性,最终展示两个应用股票历史价格和本章结果进行投资的金融实例。论文第三章,受实际生产中商品库存与价格之间的供求关系启发,针对商品需求受价格长期影响且变化缓慢的特点,我们将商品需求建模为马尔科夫链驱动的连续监测库存模型,研究最优库存—价格匹配策略。库存—价格匹配策略旨在根据库存水平调整商品价格以最大化收益函数,不同于传统扩散模型的研究方法,我们引入一个有限状态转移的马尔科夫链进行研究,通过动态规划原理,得到HJB方程。为解决该问题,首先建立阈值形式的最优定价策略,得到最优商品价格与库存的关系。进而,针对马尔科夫链不同状态对应的最优价格阈值,应用平滑延展方法,依次解决不同子区间上一系列代数方程,从而得到最优库存—价格匹配策略对应的解析解。最后,分析阈值关于模型参数的依赖性,将得到的理论结果应用于物流—仓储问题中。论文第四章,主要研究了线性完全耦合正倒向随机微分方程(FBSDEs)解的适定性问题,针对线性FBSDEs,给出易于应用的适定性判别方法。首先将经典单调条件推广至线性FBSDEs,在统一框架法的启发下,我们证明了单调条件实际可被看做是统一框架法的一种特殊情况,通过不满足单调条件的例子,应用统一框架法得到其适定性。随后,针对既不满足单调条件又不满足统一框架法的情形,我们引入线性变换方法,借助变换矩阵的非退化性以及变换后FBSDEs的适定性,给出变换矩阵应符合的判别条件,从而反推出原FBSDEs解存在唯一,最后将得到的理论结果应用于实例中。论文第五章,受统一框架法中正则解耦域的启发,推广正则解耦域方法,解决一类常微分方程(ODEs)两点边值问题的适定性。首先,针对系数为常数的ODEs,给出其解耦域正则性条件,得到易于应用的适定性判别方法,并且证明了经典单调条件可被视为推广正则解耦域方法的特殊情况。对于函数系数的ODEs,借助函数的有界性,推广解耦域正则应满足的上下界方程,进而得到解