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关键词： 高阶常微分方程   仿射周期解   单调迭代技术   最大值原理  

摘要： 本文主要研究高阶常微分方程仿射周期解的存在性和唯一性问题.仿射周期问题是近些年来人们关注的动力系统中的一类新的课题,在数学方面具有重要的理论价值,在刚体动力学、台风动力学、螺旋波、Bloch波等方面也具有重要的实际应用价值.全文总计五章.第一章主要介绍关于仿射周期解的历史背景和研究现状,以及关于解方程的一些问题.第二章主要介绍并证明一类用于求解非线性方程的单调迭代技术.第三章是本文的主要创新点,证明了一类适用于在仿射周期边值条件约束下的高阶常微分算子的最大值原理.第四章运用第三章建立的最大值原理和第二章介绍的单调迭代技术建立了一类高阶常微分方程仿射周期解的存在性.第五章对本文作了简要的总结,以及未来的展望.文末主要包括本文的参考文献、作者简介、硕士在读期间发表的学术论文以及致谢.

关键词： 耦合系统   稳定性   边界控制   Backstepping  

摘要： 本文研究了一类常微分方程组和偏微分方程组的耦合系统的边界控制问题.该系统包含了反应、对流、扩散等项,边界有热量交换且符合傅里叶定律.在工业生产中,该耦合系统表示生物发酵和化学反应等问题.因此,对该系统的研究具有应用价值.对于系统内部含有热源的耦合线性反应扩散系统,本文引入Backstepping变换,将原系统转换为选定的指数稳定的目标系统.Backstepping变换的向量值核函数满足一个耦合的ODE-PDE方程组.为得到变换的核函数,首先将核方程转换成一个积分方程,然后通过一些数学计算方法,将此方程组解耦,再利用数学归纳法和逐次逼近法,将向量值核函数方程求解出来,从而求得到控制律的具体解析式.通过建立Backstepping逆变换,利用逆变换的有界性,证明了在该控制律下,闭环系统的指数稳定性.与已有结果相比,本文的研究的系统系统内部含有热源,且系统边界有热量交换,系统应用更加广泛,更加接近于工业实际情况,具有一定的实际意义.

关键词： 常微分方程   数值解   通用   可重构   FPGA  

摘要： 常微分方程的初值问题广泛应用于各领域的事物变化规律和运动现象的描述中。随着对客观世界认知深度和广度的增加,实际工程应用中的微分方程结构日趋复杂化,软件实现方案已经无法满足部分应用对计算量、计算速度和精度有非常严苛的约束。因此研究微分方程的数值解计算问题的硬件设计与实现有着非常重要的实用价值和应用前景。目前,在微分方程初值问题数值解实现技术的前沿研究领域,国内外学者对多倾向于在现场可编程门阵列(Field Programmable Gate Array,FPGA)芯片上,实现经典四阶龙格-库塔算法等数值解算法的求解电路,完成特定算法下的专用微分方程求解。综合考虑微分方程求解实现对通用性、灵活性、高效性的需求,本文设计了一种可重构的微分方程通用解算器。通过将可重构技术引入解算器结构设计中,确保解算器具备针对不同复杂度的微分方程和求解算法能够定制计算路径的能力。所设计的解算器支持对不同复杂度、阶数、变量等条件的微分方程计算结构的在线重构,具备了良好的通用性;同时,可根据应用需求对数值解算法进行选择,可在线调整输入变量初值、变化系数值,具有良好的求解算法,实现灵活性;支持对初始求解条件存在差异的大批量微分方程并发求解,充分发挥了硬件计算资源并行性,体现了极高系统资源利用率。本文在FPGA平台上完成了所设计微分方程同样解算器硬件实现与验证工作,通过几种微分方程实例测试了解算器的通用性、灵活性和高效性。使用不同的数值解法对不同微分方程求解,根据结果数据准确性证明解算器的通用性;使用不同的数值解法对同一微分方程求解,根据不同条件结果准确性、计算执行时间差异证明解算器的灵活性;对不同初值条件下的大批量确定微分方程求解,根据软硬件求解时间加速比证明解算器的高效性。

关键词： 随机梯度下降   拟双曲动量   常微分方程   收敛性  

摘要： 最优化问题是计算数学中最为重要的研究方向之一。而在深度学习领域,优化算法的选择也是一个模型的重中之重。即使在数据集和模型架构完全相同的情况下,采用不同的优化算法,也很可能导致截然不同的训练效果。随机梯度下降算法（SGD）在神经网络模型训练中是一种很常见的优化算法,然而,SGD算法的高方差振荡使得网络很难稳定收敛。拟双曲动量算法（QHM）是基于动量的SGD的一种简单的变换,其更新可以看作动量项与SGD更新的加权平均,该算法对于减小方差具有很好的效果。然而,目前仅在强凸条件下对QHM算法收敛性进行了分析。但在实际应用中,目标函数往往非凸,因此QHM算法在非凸情况下的收敛性分析就有了其理论价值和现实意义。将离散随机系统近似为确定的连续随机系统是ODE方法的思想,本文将基于ODE方法,在目标函数可微且非凸的条件下,给出离散随机优化算法SGD和QHM的收敛性分析。我们首先引入了 SGD算法的一个连续时间版本,其形式为一个常微分方程。其次,我们证明了该常微分方程解的存在性和唯一性,以及该解收敛到目标函数的临界点。接下来,确定了由SGD迭代得到的插值过程弱收敛到相应常微分方程的解。最后,得到了 SGD迭代到目标函数临界点的长期收敛性。对于QHM算法,我们经过同样的步骤进行收敛性分析。与SGD算法相同,引入了 QHM算法的连续时间版本,得到了更加复杂的常微分方程。我们确定了该方程解的存在性、唯一性以及到目标函数临界点的收敛性。在确定了 QHM迭代相应的插值过程弱收敛到其常微分方程解的基础上,得到了 QHM迭代到目标函数临界点的收敛性。

关键词： 时空法   多项式特解法   基函数   常微分方程   Burgers方程  

摘要： 自2000年以后国内的无网格方法研究达到高峰,在过去的二十年里,发展了各种无网格方法用于求解微分算子.无网格方法的最大特点就是在求解一些不连续的界面和奇异性问题以及高震荡问题等等不规则区域的微分算子上有很大的优势,在热力学、电磁学、流体力学、声学以及固体力学上都有较好的应用.在各式各样的无网格方法中,文章提到的特解法是基于径向基函数配点法的无网格方法. 本文对一维常微分算子及发展微分算子提出一种基于解析多项式特解(MPPS)的求解方法,通过使用这些特解公式,将微分方程的解显式表达为多项式特解的线性组合来求解复杂的微分方程,如可以使用这些公式来求解右端具有不连续驱动项的微分系统.文中给出一系列数值例子,数值模拟结果精度很高,而且误差非常稳定.这些结果表明,对于高阶多项式基函数,我们提出的方法具有很高的精度,相应的误差也是非常稳定的.并且将多调和样条用作基函数,因此在求解过程中不需要形状参数. 本文主要研究了时空特解法求解各类微分方程问题.主要工作如下: (1)大致介绍了时空特解法的理论基础以及相关知识的概念,提及微分方程的研究现状以及我们目前正在做的工作. (2)对一维常微分算子及发展微分算子提出一种基于解析多项式特解(MPPS)的求解方法,通过使用这些特解公式,将微分方程的解显式表达为多项式特解的线性组合来求解复杂的微分方程,如可以使用这些公式来求解右端具有不连续驱动项的微分系统.并且给出一系列数值例子,数值模拟结果精度很高,而且误差非常稳定. (3)B urgers方程是流体力学中的一类基本非线性偏微分方程.由于B urgers方程中包含的激波项导致难以找到其高精度数值解.我们首先用时空特解法求解三维Burgers方程的数值解,分别求解了不同雷诺数下和不同时间变量下的三维Burgers方程.结果表明,时空多项式特解方法的最大优点是高精度和稳定性.又在此基础上,用时空多项式基函数法求解上述不同条件下的三维Burgers方程与时空特解法求解结果形成对比,有趣的是随着雷诺数的增加,时空多项式特解法出现了一些新颖的现象.

关键词： 自治常微分方程   欧拉法   长时间收敛性和误差估计  

摘要： 利用向前和向后欧拉法研究了自治常微分方程趋于其渐进稳定的双曲平衡点的解的逼近,得到了向前和向后欧拉法的解在无界时间区间[0,∞)上的最优误差估计。几个数值试验验证了理论分析的正确性。

关键词： 常微分方程   案例分析   教学  

摘要： 常微分方程是数学专业核心基础课程之一,针对传统常微分方程教学中存在的问题,尝试将有实际社会、生活背景的几个案例,包括传染病传播问题、星星之火可以燎原的论断、糖尿病检测问题,融入到一阶微分方程及线性微分方程组的教学中,从而可以提高学生学以致用的能力和学习兴趣,以达到更好的教学效果。

关键词： Maple软件   常微分方程   通用求解器  

摘要： 本文以课程《常微分方程》教学为背景,使用软件Maple 17探讨一阶常微分方程的初等解法,介绍符号计算系统发展前沿在《常微分方程》方面的应用状况。建议将计算机求解常微分方程纳入数学专业课程教学内容。

关键词： 非线性   分数阶微分方程组   Euler法   收敛性   稳定性  

摘要： 提出一种求解分数阶微分方程组的Euler方法。该方法基于Caputo导数的性质,将分数阶微分方程组转化为Volterra积分方程组,然后用Euler法求解Volterra积分方程组,并对方法的收敛性和稳定性做了证明。最后,给出数值例子,验证方法的有效性。

关键词： 数学建模   常微分方程   应用  

摘要： 常微分方程在众多领域中都有广泛的应用,往往能够有效地解决一些问题,使得比较复杂的问题能够简单化。数学建模思想极其重要,能够在常微分方程求解中发挥有效的作用,同时也具有十分深远的意义。本文将对数学建模在常微分方程中的应用进行分析。