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关键词： 常微分方程数值解法   教学改革   计算机辅助教学   问题导向学习  

摘要： 针对数值分析课程中的常微分方程数值解法,本文提出了一种结合计算机辅助工具和问题导向学习(PBL)的教学改革方案,以Lotka-Volterra捕食–被捕食模型为例,通过四阶龙格–库塔法求解常微分方程,强化学生的理论理解与应用能力。目标是通过该教学探索,提高了学生的数值计算能力和问题解决能力。For the numerical analysis course focusing on numerical methods for solving ordinary differential equations (ODEs), this paper proposes a teaching reform plan that integrates computer-assisted tools with problem-based learning (PBL). Using the Lotka-Volterra predator-prey model as an example, the fourth-order Runge-Kutta method is employed to solve ordinary differential equations, aiming to enhance students’ theoretical understanding and practical application skills. The goal of this teaching approach is to improve students’ numerical computation capabilities and problem-solving abilities.

关键词： 医用高等数学   生物数学建模   常微分方程  

摘要： 在医学与科技迅速发展的背景下,数学在医学中的应用日益广泛。医用高等数学作为医学生的基础课程,传统教学更多地侧重于理论知识的传授。将生物数学建模思想融入教学中,通过在函数与极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程、概率论与数理统计等内容中引入数学模型,如人口增长、肿瘤生长、血药浓度、传染病模型、捕食者-食饵模型等,增强了数学的应用性和生动性。此方法不仅能提高学生的学习兴趣和创新思维,还为其未来医学研究和临床实践奠定基础。

关键词： 常微分方程   教学改革   数学软件   思政教育  

摘要： “常微分方程”作为数学与应用数学、信息与计算科学等专业的核心课程之一,其主要任务是深入研究仅涉及单一自变量的微分方程的性质、解法及其在各个领域的应用。目前,许多高校在常微分方程的教学中偏重于理论讲授,而往往忽视了将实际应用和思政元素融入课程的重要性。本文旨在从常微分方程课程的本质要求出发,结合信息化教学的发展趋势,以及利用教学软件实现翻转课堂的现代教育理念,探讨在“常微分方程”课程教学中进行改革的具体措施,包括课时安排的优化、考核方式的多元化以及课程实用性的增强,并深入挖掘其中的思政教育资源,以期在教学改革中实现知识传授与价值观教育的有机结合。As one of the core courses in mathematics and applied mathematics, information and computational science, the main task of “Ordinary Differential Equations” is to conduct in-depth research on the properties, solutions, and applications of differential equations involving only a single independent variable in various fields. At present, many universities focus more on theoretical lectures in the teaching of ordinary differential equations, often neglecting the importance of integrating practical applications and ideological and political elements into the curriculum. This article aims to explore specific measures for reform in the teaching of ordinary differential equations, starting from the essential requirements of the course, combined with the development trend of information technology teaching, and the modern educational concept of using teaching software to implement flipped classrooms. These measures include optimizing class scheduling, diversifying assessment methods, and enhancing the practicality of the course. The article also delves into the ideological and political education resources within the course, with the aim of achieving an organic combination of knowledge transmission and values education in teaching reform.

关键词： 拉普拉斯变换   立德树人   科研精神   理论联系实际   实施方案   思政   社会意识   哲学思想  

摘要： 以拉普拉斯变换为例,从定义、人物介绍和理论联系实际三个角度出发,以哲学思想、科研精神以及社会意识等方面对常微分方程课程的思政元素做了探究,阐述了具体的实施方案,以期达到立德树人的目的,为常微分方程课程思政的挖掘提供有益的参考。

关键词： 常微分方程   偏微分方程   MATLAB   可视化   数值解  

摘要： 在教育教学改革一再深入的背景下,人们开始探索“数学+计算机”的教学模式。该文在剖析微分方程现存教学模式弊端的基础上,提出微分方程可视化教学的几点建议。基于数学软件MATLAB,介绍4个微分方程可视化的具体案例,并在其后附上相应的程序及注释,以期能帮助有需要的人们更快地进入MATLAB编程的大门。

关键词： 软测量   常微分方程网络   门控循环单元   鲁棒估计  

摘要： 在流程工业中,关键参数的实时监测对确保工艺稳定和产品质量至关重要,但诸多工艺参数难以直接测量,传统测量方法存在局限性。为解决该问题,软测量技术因其经济高效、实时响应等优势,已被广泛应用于工业过程的过程检测与控制中。然而,流程工业中的数据通常为非理想数据,存在时滞、强非线性、冗余变量和异常值等问题,此类问题在建模过程中会导致模型性能下降和训练不稳定。针对上述挑战,本研究设计了一种基于鲁棒估计方法与梯度裁剪技术的优化策略,提出了一种基于常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)网络的门控循环单元(Gate recurrent unit,GRU)鲁棒软测量模型(ODE-GRU)优化算法,以提高模型在复杂工业环境中的适应性和预测精度。主要研究内容如下: (1)针对复杂工业数据中的时滞性、冗余性和异常值等问题,提出了一种基于非负绞杀(Nonnegative garrote,NNG)算法和鲁棒估计方法的软测量模型(NNG-HE-ODE-GRU)。首先,利用ODE-GRU模型在捕捉长期依赖关系的能力处理连续工业数据中的时滞问题。其次,为了应对数据中的异常值,设计了一种将Huber损失函数与弹性网络正则化相结合的新型损失函数。随后,在ODE-GRU模型中嵌入非负绞杀算法对输入权重系数进行压缩,从而实现了对输入变量的有效选择。最后通过两个具有冗余变量和时延特性的数值仿真案例验证所提算法的可靠性。 (2)针对复杂工业数据中存在不同程度异常值导致的建模过程训练不稳定、收敛性差问题,提出一种基于动态指数梯度裁剪(Dynamic exponential gradient clipping,DEGC)和改进鲁棒估计的ODE-GRU软测量模型(DEGC-IHE-ODE-GRU)。首先,在模型训练过程中引入动态梯度裁剪与权重裁剪技术,限制梯度在合理范围内,以确保模型收敛性并提升训练效果和预测精度。其次,对于Huber损失设置可调节上限阈值,并结合弹性网络正则化以有效处理数据中的异常值和冗余信息。最后数值仿真案例和公开数据集的验证结果表明,所提出的优化策略应用到算法具有更好的预测效果和泛化性能。 (3)深入研究某燃煤电厂双塔脱硫工艺的基本原理与工艺流程,并针对工业数据中存在的异常值、时延性和冗余性问题,将所提两种算法应用于脱硫排放烟气SO?浓度的预测建模。实验结果表明两种算法均优于其他软测量方法,其中DEGC-IHE-ODE-GRU模型因具备更强的异常值处理能力,表现出更优的预测效果。此外,通过置换变量重要性分析,结果表明实验选出关键变量与工艺机理一致,进一步验证了模型的可解释性,为脱硫过程的监测与优化提供了技术支撑。

关键词： 刚性常微分方程   TASE算子   显式二步龙格库塔方法   绝对稳定性  

摘要： 刚性微分方程在化学反应动力学、控制系统和生物学模型等领域有广泛应用.传统的显式数值方法在求解刚性问题时往往面临稳定性不足的挑战,而隐式方法虽然稳定,但计算成本较高.因此,本论文提出了一种结合时间精确高稳定显式(TASE)算子的显式二步龙格库塔(TSRK)方法,旨在提高显式方法的稳定性和计算效率. 本论文研究了求解刚性常微分方程的时间精确高稳定显式二步龙格库塔(TASE-TSRK)方法,主要贡献在于: 第三章,给出了TASE-TSRK方法的数值格式,通过理论分析该方法的相容性、零稳定性和收敛性,证明了当TASE算子和显式TSRK方法均为p阶时,TASE-TSRK方法也具有p阶精度.还证明了当TASE-TSRK方法同时满足p阶相容和零稳定时,该方法是p阶收敛的. 第四章,分析了2至4阶收敛的TASE-TSRK方法的绝对稳定性,证明并给出了二阶方法达到A稳定的充要条件.对于三阶和四阶方法,虽然不能完全达到A稳定,但通过选择合适的自由参数,可以实现几乎A稳定. 第五章,通过多个线性和非线性刚性常微分方程的初值问题,验证了2至4阶TASE-TSRK方法的收敛阶和有效性.实验结果表明各阶方法的收敛阶与理论结果一致.此外,还探讨了TASE-TSRK方法在求解二维非线性刚性常微分方程组中的应用,进一步验证了其有效性和稳定性. 综上所述,本论文提出的TASE-TSRK方法在求解刚性常微分方程时表现出良好的稳定性和计算效率,为处理刚性问题提供了一种有效的数值工具.未来的研究可以进一步探索该方法在更广泛的刚性问题中的应用,以及优化TASE算子的参数选择以提高方法的稳定性和精度.

关键词： 神经常微分方程网络   连续吸引子   序列预测   神经网络   矩阵分解  

摘要： 在人工神经网络领域,序列预测一直是热门的研究方向。目前已有研究证明神经常微分方程网络（Neural Ordinary Differential Equation Network）在序列预测任务中能够发挥着独特的作用。它能突破传统神经网络局限,可直接对连续时间序列建模,同时能自适应分配计算资源,减少计算压力。 本文将神经常微分方程网络进行欧拉离散化,使其能更加符合深度学习计算背景,同时通过引入脑动力学中的连续吸引子机制,加强了这种离散网络的鲁棒性和可解释性。具体而言,结合了矩阵分解理论讨论了两类离散神经常微分方程的网络的连续吸引子存在定理,基于矩阵的奇异值分解,给出了只需限制奇异值而不是特征值情况下的连续吸引子表达式,然后考虑了非线性情况下的离散神经常微分网络,加入了Re LU函数,通过P&Z集的划分,限制矩阵（AAT）P的特征值大小以及外部输入的正交性,给出了非线性情况下的连续吸引子存在性定理,并且都通过Matlab仿真验证了所给理论的正确性。 此外基于所给出的定理设计了两种网络架构,一种是RNN-CDODE（具有连续吸引子的离散神经常微分循环网络）,另外一种是CAN-DODE（具有连续吸引子的离散神经常微分前馈网络）,它们分别由循环神经网络加上自动编码器与全连接网络改造而成。相比于原始的网络架构,这两种网络会将前向传播过程中的序列信息存储在网络的连续吸引子当中,这意味着随着网络的每一次训练,其输出会逐渐向给定的连续吸引子逼近。传统的序列预测网络在面对复杂数据时,往往因模型结构局限,难以清晰呈现数据内在逻辑,且在应对噪声、异常值等干扰因素时稳定性欠佳,而本文涉及的两类网络模型,借助其创新性的连续吸引子理论,能够更加直观地揭示序列数据的生成原理。 在实验部分,分别采用了生成式的两类旋转MNIST序列数据与太平洋海表面温度数据测试了RNN-CDODE与CAN-DODE的性能。结果表明,在保持超参数等初始条件一致的情况下,相对于一些序列预测网络架构,这种耦合了连续吸引子的微分网络结构能具有更好的预测效果,同时还拥有更强的抗干扰性与稳定性。