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关键词： 耦合系统   稳定性   边界控制   Backstepping  

摘要： 本文研究了一类常微分方程组和偏微分方程组的耦合系统的边界控制问题.该系统包含了反应、对流、扩散等项,边界有热量交换且符合傅里叶定律.在工业生产中,该耦合系统表示生物发酵和化学反应等问题.因此,对该系统的研究具有应用价值.对于系统内部含有热源的耦合线性反应扩散系统,本文引入Backstepping变换,将原系统转换为选定的指数稳定的目标系统.Backstepping变换的向量值核函数满足一个耦合的ODE-PDE方程组.为得到变换的核函数,首先将核方程转换成一个积分方程,然后通过一些数学计算方法,将此方程组解耦,再利用数学归纳法和逐次逼近法,将向量值核函数方程求解出来,从而求得到控制律的具体解析式.通过建立Backstepping逆变换,利用逆变换的有界性,证明了在该控制律下,闭环系统的指数稳定性.与已有结果相比,本文的研究的系统系统内部含有热源,且系统边界有热量交换,系统应用更加广泛,更加接近于工业实际情况,具有一定的实际意义.

关键词： 常微分方程   数值解   通用   可重构   FPGA  

摘要： 常微分方程的初值问题广泛应用于各领域的事物变化规律和运动现象的描述中。随着对客观世界认知深度和广度的增加,实际工程应用中的微分方程结构日趋复杂化,软件实现方案已经无法满足部分应用对计算量、计算速度和精度有非常严苛的约束。因此研究微分方程的数值解计算问题的硬件设计与实现有着非常重要的实用价值和应用前景。目前,在微分方程初值问题数值解实现技术的前沿研究领域,国内外学者对多倾向于在现场可编程门阵列（Field Programmable Gate Array,FPGA）芯片上,实现经典四阶龙格-库塔算法等数值解算法的求解电路,完成特定算法下的专用微分方程求解。综合考虑微分方程求解实现对通用性、灵活性、高效性的需求,本文设计了一种可重构的微分方程通用解算器。通过将可重构技术引入解算器结构设计中,确保解算器具备针对不同复杂度的微分方程和求解算法能够定制计算路径的能力。所设计的解算器支持对不同复杂度、阶数、变量等条件的微分方程计算结构的在线重构,具备了良好的通用性;同时,可根据应用需求对数值解算法进行选择,可在线调整输入变量初值、变化系数值,具有良好的求解算法,实现灵活性;支持对初始求解条件存在差异的大批量微分方程并发求解,充分发挥了硬件计算资源并行性,体现了极高系统资源利用率。本文在FPGA平台上完成了所设计微分方程同样解算器硬件实现与验证工作,通过几种微分方程实例测试了解算器的通用性、灵活性和高效性。使用不同的数值解法对不同微分方程求解,根据结果数据准确性证明解算器的通用性;使用不同的数值解法对同一微分方程求解,根据不同条件结果准确性、计算执行时间差异证明解算器的灵活性;对不同初值条件下的大批量确定微分方程求解,根据软硬件求解时间加速比证明解算器的高效性。

关键词： 随机梯度下降   拟双曲动量   常微分方程   收敛性  

摘要： 最优化问题是计算数学中最为重要的研究方向之一。而在深度学习领域,优化算法的选择也是一个模型的重中之重。即使在数据集和模型架构完全相同的情况下,采用不同的优化算法,也很可能导致截然不同的训练效果。随机梯度下降算法（SGD）在神经网络模型训练中是一种很常见的优化算法,然而,SGD算法的高方差振荡使得网络很难稳定收敛。拟双曲动量算法（QHM）是基于动量的SGD的一种简单的变换,其更新可以看作动量项与SGD更新的加权平均,该算法对于减小方差具有很好的效果。然而,目前仅在强凸条件下对QHM算法收敛性进行了分析。但在实际应用中,目标函数往往非凸,因此QHM算法在非凸情况下的收敛性分析就有了其理论价值和现实意义。将离散随机系统近似为确定的连续随机系统是ODE方法的思想,本文将基于ODE方法,在目标函数可微且非凸的条件下,给出离散随机优化算法SGD和QHM的收敛性分析。我们首先引入了 SGD算法的一个连续时间版本,其形式为一个常微分方程。其次,我们证明了该常微分方程解的存在性和唯一性,以及该解收敛到目标函数的临界点。接下来,确定了由SGD迭代得到的插值过程弱收敛到相应常微分方程的解。最后,得到了 SGD迭代到目标函数临界点的长期收敛性。对于QHM算法,我们经过同样的步骤进行收敛性分析。与SGD算法相同,引入了 QHM算法的连续时间版本,得到了更加复杂的常微分方程。我们确定了该方程解的存在性、唯一性以及到目标函数临界点的收敛性。在确定了 QHM迭代相应的插值过程弱收敛到其常微分方程解的基础上,得到了 QHM迭代到目标函数临界点的收敛性。

ISBN: (纸本)9787551727693

关键词： 自治常微分方程   欧拉法   长时间收敛性和误差估计  

摘要： 利用向前和向后欧拉法研究了自治常微分方程趋于其渐进稳定的双曲平衡点的解的逼近,得到了向前和向后欧拉法的解在无界时间区间[0,∞)上的最优误差估计。几个数值试验验证了理论分析的正确性。

关键词： 常微分方程   案例分析   教学  

摘要： 常微分方程是数学专业核心基础课程之一,针对传统常微分方程教学中存在的问题,尝试将有实际社会、生活背景的几个案例,包括传染病传播问题、星星之火可以燎原的论断、糖尿病检测问题,融入到一阶微分方程及线性微分方程组的教学中,从而可以提高学生学以致用的能力和学习兴趣,以达到更好的教学效果。

关键词： Maple软件   常微分方程   通用求解器  

摘要： 本文以课程《常微分方程》教学为背景,使用软件Maple 17探讨一阶常微分方程的初等解法,介绍符号计算系统发展前沿在《常微分方程》方面的应用状况。建议将计算机求解常微分方程纳入数学专业课程教学内容。

关键词： 非线性   分数阶微分方程组   Euler法   收敛性   稳定性  

摘要： 提出一种求解分数阶微分方程组的Euler方法。该方法基于Caputo导数的性质,将分数阶微分方程组转化为Volterra积分方程组,然后用Euler法求解Volterra积分方程组,并对方法的收敛性和稳定性做了证明。最后,给出数值例子,验证方法的有效性。

关键词： 约当标准型   过渡矩阵   基解矩阵   齐次线性常微分方程组  

摘要： 研究了齐次线性常微分方程组基于过渡矩阵的求解方法.文章首先讨论了将一个矩阵A化为约当标准型J的过渡矩阵P的代数性质,给出了过渡矩阵P的列向量与矩阵A的特征向量以及广义特征向量之间的关系,在此基础上给出过渡矩阵P的具体求法,并研究了齐次常系数微分方程组基解矩阵的列向量与过渡矩阵P的列向量之间的关系,同时给出了基解矩阵的具体构造方法.最后给出数值例子说明本文方法的有效性.

关键词： 常微分方程   教学目标   教学内容   教学方法   课程考核  

摘要： 该文结合信息化背景下数学类各专业的特点,基于中南民族大学教学实际,从教学目标、教学内容、教学方法和课程考核等方面阐述“常微分方程”课程在教学中应注意的问题,以期为今后的教学工作提供参考。