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关键词： 初等模型   供油和喷油   SPSS   微分方程模型  

摘要： 燃油机是目前世界上应用领域极为广泛的一种热力机械。为了控制燃油机高压油管中的压力对燃油机的供油和喷油规律进行研究。为保持管内油压160MPa不变,首先运用SPSS软件对收集到的压力和弹性模量的数据进行回归分析,建立燃油压力、密度和弹性模量的微分方程模型,进而求出160MPa时燃油的密度然后建立供油量的初等模型,使之与喷油量相同,进而解出供油单向阀开启时长为0.7ms。为将高压油管内的压力尽量稳定在100MPa左右,用SPSS对针阀运动的数据进行分析来一个周期内喷油嘴工作的时间。然后运用瞬时燃油速率公式求出工作时间的喷油量,进而建立瞬时供油的微分方程模型,求出喷油泵凸轮的角速度为400rad/s。

关键词： 常微分方程   刚性系统   量子化状态系统   数值积分   仿真  

摘要： 量子化状态系统(Quantized State System,QSS)在求解一般常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)系统时,比传统基于时间离散的积分方法更具优势,但QSS方法不适合求解刚性ODE系统,为此提出一种基于量子化状态系统的步进校正优化算法(Step-correction Optimization Algorithm Based on QSS,SCOA based-on QSS),它结合QSS方法及隐式算法中梯形积分法的思想,以有效提高刚性ODE系统的求解精度和效率。通过对3个典型刚性ODE算例的仿真求解,结果表明,SCOA based-on QSS算法总体上比其他算法更具优势,同时在适当减小量子大小时能显著提高仿真精度。

关键词： 线性常微分方程   全局误差估计   残差   优化求解  

摘要： 线性常微分方程初值问题求解在许多应用中起着重要作用.目前,已存在很多的数值方法和求解器用于计算离散网格点上的近似解,但很少有对全局误差(global error)进行估计和优化的方法.本文首先通过将离散数值解插值成为可微函数用来定义方程的残差;再给出残差与近似解的关系定理并推导出全局误差的上界;然后以最小化残差的二范数为目标将方程求解问题转化为优化求解问题;最后通过分析导出矩阵的结构,提出利用共轭梯度法对其进行求解.之后将该方法应用于滤波电路和汽车悬架系统等实际问题.实验分析表明,本文估计方法对线性常微分方程的初值问题的全局误差具有比较好的估计效果,优化求解方法能够在不增加网格点的情形下求解出线性常微分方程在插值解空间中的全局最优解.

关键词： 四阶微分方程   周期解   不动点定理   Fourier分析   锥   不动点指数理论  

摘要： 本文运用全连续算子的Leray-Schauder不动点定理、Schauder不动点定理、Banach压缩映射原理、上下解方法、锥上的不动点指数理论讨论四阶常微分方程u(4)(t)=f(t,u(t),u'(t),u"(t),u'"(t)t ∈R周期解的存在性和唯一性.其中f:R×R4→R连续.本文的主要结果有:1.在非线性项f满足一次增长的条件下,运用全连续算子的Leray-Schauder不动点定理,获得了四阶常微分方程周期解的存在性和唯一性.2.在两参数非共振条件下,运用Schauder不动点定理,Banach压缩映射原理及Fourier分析法,获得了四阶非线性微分方程周期解的存在性与唯一性,推广和改进了已有的结果.3.借助Nagumo条件,运用截断函数技巧与上下解方法,获得四阶非线性微分方程周期解的存在性.4.在非线性项f满足一些易验证的不等式条件下,允许非线性项f超线性或次线性增长,通过选取一个适当的锥,运用锥映射的不动点指数理论,获得了四阶非线性微分方程正周期解的存在性,对已有文献的结果进行了推广与改进.

关键词： 参数反演   常微分方程   Gauss-Newton法   Levenberg-Marquardt法   最佳摄动量算法   变分伴随方法   数值实验  

摘要： 常微分方程反问题广泛存在于物理科学、生物科学、化学科学、工程和其它许多领域,有关它的求解一直是理论和应用研究的热点.本文以常微分方程领域存在的反问题为主要研究背景,以优化理论的思想方法为研究基础,从普遍意义出发,对常微分方程的一类反问题进行系统的分析研究.重点研究常微分方程反问题的数值求解方法,给出了改进的Gauss-Newton法和Levenberg-Marquardt法、最佳摄动量算法、变分伴随方法三种可行且有效的数值方法.主要研究内容如下:(1)将两种典型的迭代方法Gauss-Newton法和Levenberg-M arquardt法分别与灵敏度方程相结合,利用灵敏度的计算,更准确得到迭代方程和法方程,从而得到改进的Gauss-Newton 法和 Levenberg-Marquardt 法.(2)利用算子识别摄动法、正则化理论和线性化技术,建立了求解常微分方程参数反演的最佳摄动量算法.将其应用于多个实际问题的数学模型中,并与其它方法进行了分析比较.(3)基于伴随算子理论、拉格朗日乘子法,推导了与常微分方程相对应的伴随方程和泛函梯度,结合最优化方法中的Broyden族算法,给出了常微分方程参数及未知函数反演的变分伴随方法.(4)对本文提出的各种算法,编制了数值计算程序,通过对具体实例进行数值模拟计算,验证了本文提出的方法的可行性及有效性.

关键词： 常微分方程   传染病模型   敏感性分析   最优控制   成本效益分析  

摘要： 传染病威胁着全世界人民的生活和生计。数学模型的发展有助于疾病传播途径的理解和控制手段的评估。本文主要预防/根除COVID-19、细菌性脑膜炎和Q热的传播,建立新的仓室动力学模型,并给出最优控制策略,以补充现有模型的不足。在传染性疾病控制过程中经济评估至关重要,决策者需要有关控制干预措施有效性的信息,以评估干预措施的成本效益。2019年底爆发的COVID-19,已促使各国政府和卫生部门采取严厉的措施来遏制COVID-19的传播。另外,细菌性脑膜炎是撒哈拉以南非洲地区主要传染病之一,而Q热是由伯氏柯氏杆菌(***)引起的细菌性传染病,在环境中具有极强的传染性和持久性。本文主要针对这三种传染病,建立系列传播动力学模型,分别研究传染动力学行为及有关的优化控制策略。论文的主要工作包括:(1)针对COVID-19在加纳和世界其他地区流行,建立了人与人以及人和环境之间传播的动力学模型。计算了没有控制的基本再生数R0,利用李雅普诺夫函数研究了模型的全局稳定性。我们使用最小二乘法和Python语言,拟合了加纳的传播,不带控件的平均基本再生数约为2.68。基于敏感性分析给出了最佳策略,通过数值模拟,验证了分析结果。给出了非药物干预的六种控制的优化成本效益的策略。(2)建立了一种含移民易感性和当地易感性的确定性COVID-19模型,证明了当基本再生数R0小于1时,无病平衡点全局稳定,当R0>1,地方病平衡点全局稳定。发现疾病的传播对个人的防护和卫生高度敏感。(3)建立了含易感者、无症状感染者、隔离者,以及重症感染者、恢复者、死亡者和自我保护的COVID-19传播模型。利用加纳和埃及的真实数据,拟合了模型的参数,进行了敏感性分析。发现实施长时间严格的卫生防护措施,可以防止加纳和埃及出现多个峰。敏感性分析表明:通过加强接触追踪、隔离、戴口罩等,仍然是减少感染的最有效措施。(4)建立了一种包含非线性恢复率的细菌性脑膜炎的数学模型。我们使用拉丁超立方体采样来测试了基本再生数R0。使用灵敏度热图和参数灵敏度谱来测试了所有状态变量和参数的灵敏度,使用最佳控制理论研究了抗生素和医院病床数对传播的影响。为控制有限资源环境中疾病的传播供了理论依据。(5)建立了一个牛Q热传播的动力学模型,利用矩阵理论和Lyapunov函数,证明了平衡点的局部和全局渐近稳定性。研究了疫苗接种、环境消毒和病牛淘汰优化的有效性,为动物防疫提供理论指导,以减少动物传染性疾病的爆发,降低控制成本。(6)最后,我们研究了具有周期传染率,以及不同恢复率、治疗率的Q热传染病传播动力学模型。计算了不同情况下的控制再生数,使用李雅普诺夫函数,研究了非季节模型的全局渐近稳定性;对于季节性模型,证明了正周期解的存在性。研究了时间依赖的治疗、消毒和出生的优化控制,计算了平均成本效益和增量成本效益,为牲畜Q热病干预控制提供理论支撑。

关键词： 高阶边值问题   正解   降阶法   非负矩阵   先验估计   凹函数   Jensen不等式   不动点指数  

摘要： 近年来,应用数学,物理,力学等多个应用学科普遍存在边值问题.随着实际问题的需要和非线性泛函分析理论的完善,在最近几十年来不断涌现出新的有关非线性边值问题的理论成果,进一步为其他领域的非线性常微分方程边值问题的研究指明了方向,其中高阶非线性常微分方程边值问题与导弹飞行的稳定性研究,桥梁工程等实际问题建立的数学模型有着密切的关联.因此,探索非线性常微分方程边值问题的解的存在性和多重性成为了人们研究的重要课题之一.本文主要运用非线性泛函分析方法,讨论了几类高阶非线性常微分方程边值问题的正解的存在性以及多重性,我们的主要结果改进或推广了已有文献的结果.全文一共包括四章,主要内容如下:在第1章中,首先回顾了非线性边值问题的历史背景及意义,然后对近几年来非线性常微分边值问题的国内外研究现状进行了分析,最后对本文工作做了简要介绍.在第2章中,研究含所有低阶导数的29)阶非线性常微分方程边值问题正解的存在性,多重性与唯一性.本章运用降阶的思想,把高维方程边值问题转化为低维方程边值问题,在建立的积分恒等式和积分不等式获得正解的先验估计的基础上,借助不动点指数理论获得了该边值问题的主要结果.本章的亮点有两个方面:一是降阶法的引入,二是推广了有关Lidstone问题文献的结果.在第3章中,研究含所有低阶导数的高阶非线性常微分方程组边值问题正解的存在性,多个正解的存在性.该边值问题研究的新颖之处是:在降阶的基础上,构造了两个辅助线性函数对非线性项的增长行为进行了刻画,然后结合凹函数性质和矩阵理论知识做先验估计,在此基础上,运用不动点指数理论证明了以上边值问题正解的存在性.此外,本章所得结果推广并完善了第1章的结果和相关文献的方法.在第4章中,研究高阶非线性奇异常微分方程组边值问题正解的存在性和多重正解的存在性,有关这方面的研究文献并不少见,本章所用的思想方法与相关文献不同.本章主要采取复合算子,巧妙地将两个积分算子方程联系在一起,然后利用凹函数性质以及Jensen不等式和非负矩阵获得先验估计,在此基础上,由不动点指数理论建立了该问题的主要结果.另外,该奇异边值问题可以是同阶数的也可以是不同阶数的.

关键词： 完全高阶边值问题   不动点定理   单调迭代   上下解方法   不动点指数理论   锥  

摘要： 本文运用Leray-Schauder不动点定理、单调迭代技巧、上下解方法、锥上的不动点指数理论,讨论完全高阶常微分方程边值问题解的存在性、唯一性及正解的存在性,其中f:[0,1]×Rn→R连续.本文主要工作如下:1.在非线性项.f一次增长的情形下,运用全连续算子的Leray-Schauder不动点定理,获得了完全高阶常微分方程边值问题解的存在性与唯一性.2.通过建立相应高阶线性边值问题的极大值原理,在单调性条件下,运用上下解的单调迭代方法,获得了完全高阶常微分方程边值问题解的存在性.3.通过选取一个特殊的锥,运用锥上的不动点指数理论,分别在超线性与次线性增长的情形下,获得了完全高阶常微分方程边值问题正解的存在性.对超线性增长的情形,我们是在非线性项f(t,x0,x1,…,xn-1)关于xn-1满足Nagumo型增长条件下获得的.4.在不需要Nagumo条件的情形下,运用新的截断函数技巧与上下解方法,获得了完全高阶边值问题解的存在性.在不等式条件下,运用上下解方法获得了完全高阶常微分方程边值问题正解的存在性.

关键词： 二阶常微分方程   初值问题   Legendre-Gauss-Radau谱配置法   波动方程   谱精度  

摘要： 二阶非线性常微分方程初值问题作为一类重要的数学模型,来源于天体力学、量子力学、电子学和生态学等学科,它在科学和工程计算的众多领域具有非常广泛的应用.此外,通常的二阶波动方程经过适当的空间半离散后也会导致二阶常微分方程初值系统.因此,对二阶常微分方程初值问题的数值方法展开研究具有重要的理论价值和实际意义.本文将主要考虑二阶非线性常微分方程初值问题的Legendre谱配置法及其在波动方程中的应用,具体如下:一方面,我们首先针对一类二阶非线性常微分方程初值问题,基于Legendre-Gauss-Radau点提出了一种单区间谱配置格式,利用Legendre展开设计了相应的快速高效迭代算法,并在此基础上设计了多区间谱配置格式.其次,我们严格证明了单区间谱配置法在各种范数意义下的误差估计.最后,我们通过一系列数值算例展示了Legendre谱配置法的高精度.特别地,数值结果表明,多区间Legendre谱配置法能够高效处理振荡解、奇性解和长时间计算问题.另一方面,我们考虑了一类二阶非线性发展型方程,将上述Legendre谱配置法应用于时间方向的离散,与空间方向的Legendre-Gauss-Lobatto谱配置法有机结合起来,从而构造了时空双高精度的谱配置全离散逼近.我们以两类典型的非线性波动方程,即Sine-Gorden方程和Klein-Gorden方程为例,数值结果表明该方法在时间和空间方向均具有高精度,且长时间计算稳定.

关键词： 常微分方程   数学模型   生活实际  

摘要： 现如今很多日常生活中的问题都可以转化为数学问题来解决,而数学模型的建立是联系实际问题和数学工具的重要桥梁,它让数学工具得以运用于实际生活问题中。数学建模就是将现实生活中的现象转化为理论模型,然后利用理论研究成果进行后期预测。常微分方程是模拟一些实际问题发展规律的重要数学工具之一。主要讨论了多年来建立常微分方程数学模型的数学模型竞赛问题及其原型,以及常微分方程数学模型在现实生活中的应用,并分析了SIR模型在大学生恋爱模型中的相关应用。