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关键词： 非线性   变换理论   解析解   可积条件  

摘要： 自然界中涉及的问题大多数都是非线性的,而对非线性系统现有的近似解析理论无法准确解释其复杂现象的本质,因此非线性系统的精确解具有非常重要的研究意义.本文概述了利用变换理论求解非线性常微分方程解析解的研究进展.首先,综述了任意参数的非线性常微分方程的变换过程及其解析解.其次,评述了参数满足可积条件的非线性常微分方程的变换过程及其对应的解析解.最后,给出了开展非线性系统精确解析解研究的若干建议.

关键词： Runge-Kutta法   LS-SVM   线性常微分方程   初值问题  

摘要： 针对线性常微分方程的初值问题,提出一种将Runge-Kutta法与最小二乘支持向量机(LS-SVM)相结合的RK-LS-SVM方法求近似解。首先通过4阶Runge-Kutta法求出微分方程的数值解,然后将此数值解转化为LSSVM回归模型的约束条件,进而求解优化问题,所得闭式近似解连续可微,精度较高。数值算例验证了RK-LSSVM方法的有效性和可行性。

关键词： 四阶微分方程   正解   边值问题   不动点定理  

摘要： 研究了一类四阶常微分方程三点边值问题正解的存在性与稳定性。首先,给出了相应格林函数的性质和估计。其次,结合这些估计,利用Krasnosel'skii与Leggett-Williams不动点定理,讨论带有势函数的四阶三点边值问题正解的存在性,并考虑了扰动项在不同取值范围内对1个解、2个解和3个解存在性的影响。此外,还系统地分析了方程解在特定扰动下的Ulam-Hyers稳定性。最后,通过实例数值模拟,进一步验证了所提出结果的合理性和实际应用价值,充分展示了理论分析在实际问题中的重要性和有效性。

关键词： 常微分方程   核心课程   分类教学   分层教学   团队教学  

摘要： 常微分方程课程是数学类专业基础课中的一门核心课程,也是数学分析、高等代数和解析几何的后继课程。在学生构建专业的数学理论体系过程中具有非常重要的作用。该文基于河南大学数学与统计学院分设的四个专业各自的不同特点,从课程教学目标、教学方法与学生学习能力提升等方面提出关于常微分方程课程分类、分层等教学模式改革,充分发挥教学团队的优势,借助在线教学平台,最大可能实现以学生为主体的教学模式,构建新的评价体系,在合适的节点融入思政元素,加强课程思政引领。力争通过改革实现更加适应当今教育理念和更加符合学生时代特征的教学模式。

关键词： 常微分方程组   消元法   基解矩阵法   素质教育  

摘要： 素质教育课堂教学是大学本科院校推动心理育人最直接、最主要的手段。在消元法与基解矩阵法求解常微分方程组通解的教学过程中,针对大学数学本科生的四种学习特点,进行素质教育探究,得出大学生素质教育的必要性,以期为普通本科院校课堂教学的学生素质教育指明了新的方向。

关键词： 病毒疗法   溶瘤病毒   免疫疗法   癌症建模   常微分方程  

摘要： 建立了一个包含肿瘤细胞、免疫细胞和溶瘤病毒的数学模型。不考虑治疗,验证了模型的有效性,找到了模型3个符合生物学意义的平衡点,对模型进行了参数敏感性分析。模型中引入了2种治疗方法,分别为细胞免疫治疗和溶瘤病毒治疗(oncolytic virus therapy,OVT)。病毒治疗需要周期性给药,成本较高且有一定危害。免疫治疗可以有效地消除小肿瘤,但对于大肿瘤杀伤作用不明显。本文假设病毒治疗改为单次注射,同时在不同时间使用免疫治疗,并模拟和讨论了不同治疗方案下的肿瘤细胞生长趋势。数值模拟证明了2种治疗单一使用都无法完全消除肿瘤,而联合治疗方法可以完全消除肿瘤,同时证明了合适的注射时间可以达到更好的效果。

关键词： 常微分方程数值解法   教学改革   计算机辅助教学   问题导向学习  

摘要： 针对数值分析课程中的常微分方程数值解法,本文提出了一种结合计算机辅助工具和问题导向学习(PBL)的教学改革方案,以Lotka-Volterra捕食–被捕食模型为例,通过四阶龙格–库塔法求解常微分方程,强化学生的理论理解与应用能力。目标是通过该教学探索,提高了学生的数值计算能力和问题解决能力。For the numerical analysis course focusing on numerical methods for solving ordinary differential equations (ODEs), this paper proposes a teaching reform plan that integrates computer-assisted tools with problem-based learning (PBL). Using the Lotka-Volterra predator-prey model as an example, the fourth-order Runge-Kutta method is employed to solve ordinary differential equations, aiming to enhance students’ theoretical understanding and practical application skills. The goal of this teaching approach is to improve students’ numerical computation capabilities and problem-solving abilities.

关键词： 医用高等数学   生物数学建模   常微分方程  

摘要： 在医学与科技迅速发展的背景下,数学在医学中的应用日益广泛。医用高等数学作为医学生的基础课程,传统教学更多地侧重于理论知识的传授。将生物数学建模思想融入教学中,通过在函数与极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程、概率论与数理统计等内容中引入数学模型,如人口增长、肿瘤生长、血药浓度、传染病模型、捕食者-食饵模型等,增强了数学的应用性和生动性。此方法不仅能提高学生的学习兴趣和创新思维,还为其未来医学研究和临床实践奠定基础。

关键词： 常微分方程   偏微分方程   MATLAB   可视化   数值解  

摘要： 在教育教学改革一再深入的背景下,人们开始探索“数学+计算机”的教学模式。该文在剖析微分方程现存教学模式弊端的基础上,提出微分方程可视化教学的几点建议。基于数学软件MATLAB,介绍4个微分方程可视化的具体案例,并在其后附上相应的程序及注释,以期能帮助有需要的人们更快地进入MATLAB编程的大门。

关键词： 常微分方程   教学改革   数学软件   思政教育  

摘要： “常微分方程”作为数学与应用数学、信息与计算科学等专业的核心课程之一,其主要任务是深入研究仅涉及单一自变量的微分方程的性质、解法及其在各个领域的应用。目前,许多高校在常微分方程的教学中偏重于理论讲授,而往往忽视了将实际应用和思政元素融入课程的重要性。本文旨在从常微分方程课程的本质要求出发,结合信息化教学的发展趋势,以及利用教学软件实现翻转课堂的现代教育理念,探讨在“常微分方程”课程教学中进行改革的具体措施,包括课时安排的优化、考核方式的多元化以及课程实用性的增强,并深入挖掘其中的思政教育资源,以期在教学改革中实现知识传授与价值观教育的有机结合。As one of the core courses in mathematics and applied mathematics, information and computational science, the main task of “Ordinary Differential Equations” is to conduct in-depth research on the properties, solutions, and applications of differential equations involving only a single independent variable in various fields. At present, many universities focus more on theoretical lectures in the teaching of ordinary differential equations, often neglecting the importance of integrating practical applications and ideological and political elements into the curriculum. This article aims to explore specific measures for reform in the teaching of ordinary differential equations, starting from the essential requirements of the course, combined with the development trend of information technology teaching, and the modern educational concept of using teaching software to implement flipped classrooms. These measures include optimizing class scheduling, diversifying assessment methods, and enhancing the practicality of the course. The article also delves into the ideological and political education resources within the course, with the aim of achieving an organic combination of knowledge transmission and values education in teaching reform.