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关键词： Legendre曲线   广义包络   常微分方程   广义渐开线   广义渐屈线   标架曲线标架曲面   法曲线   平行曲线   奇点  

摘要： 本文主要研究了欧氏空间中含有奇点的曲线与曲面的微分几何.在欧氏平面上,一个单参数曲线族的包络是与这族曲线中的每条曲线在交点处都“相切”的曲线.如果将“相切”的关系变为“成固定角度”的关系,那么我们称这样的曲线为曲线族的广义包络.广义包络理论在微分几何、微分方程、几何光学、物理学以及工程学等诸多领域均有着重要的应用.但是,以往对于广义包络的研究只针对于正则情形.对于奇异曲线,一方面,由于曲线在奇点处切方向的不确定性,使得我们无法在奇点处确定曲线之间的角度关系,因而无法定义奇异曲线族的广义包络.另一方面,作为研究曲线微分几何性质的经典工具“Frenet-Serret型活动标架”也无法利用传统的方法在奇点处建立.因此,以往对于正则情形下的广义包络的研究结果和研究方法无法推广到奇异情形.在本文中,我们利用光滑映射的奇点理论,建立了单位切丛与单位球丛上的单参数Legendre曲线族的广义包络理论,解决了以往无法对于奇异曲线族的广义包络进行研究的问题.同时,我们考虑了广义包络理论在微分几何以及几何光学中的应用.进一步,我们将广义包络理论的思想应用于研究三维欧氏空间中的奇异几何对象,引入了单参数标架曲面族的法曲线的概念并考虑了法曲线的应用.本文的主要研究结果如下:第一.在奇点理论的视角下,我们建立了单参数Legendre曲线族的广义包络理论,并且利用广义包络理论揭示了广义包络与常微分方程之间的关系.第二.我们给出了球面Legendre曲线与平面Legendre曲线之间的关系.进一步,我们给出了两者对应的广义包络之间的关系.第三.作为广义包络理论的应用,我们引入了球面Legendre曲线的渐开线的概念,并且给出了它的奇点分类.进一步,我们引入了广义渐开线与广义渐屈线的概念,并且讨论了两者之间的对偶关系.第四.作为广义包络在高维空间中的推广,我们引入了欧氏空间中单参数标架曲面族的法曲线的概念.作为法曲线的应用,我们给出了标架曲线的平行曲线的判定定理以及几何解释.我们还引入了标架曲线的渐开线的概念,并且讨论了渐开线、渐屈线以及平行曲线之间的关系.

关键词： 方程学习   稀疏回归   常微分方程   时滞常微分方程   偏微分方程   人工神经网络  

摘要： 随着科技技术的快速发展,大量的数据可以很容易的被人们收集和存储.如何从数据中推断可以反映系统变化规律的动力学模型是学者们在机器学习领域研究的一个热点问题.北美和加拿大的云杉蚜虫的周期性爆发生长对当地的生态和经济造成了严重危害,研究能反映云杉蚜虫的动态信息的微分方程模型对保护生态和减少经济损失是具有重要意义的. 本文首先从1945年-1972年间加拿大新不伦瑞克格林河地区云杉蚜虫真实数据出发,对该数据进行smooth函数预处理,结合云杉蚜虫以25年左右为周期的周期爆发行为,以及蚜虫的爆发经常受季节,温度,食物,捕食动态,蚜虫的发育时滞等多因素的影响,建立具有一定生物意义的候选项,进一步采用序列阈值最小二乘(SINDy),序列阈值岭回归(STRidge),最小绝对收缩与选择算子(LASSO)三种稀疏回归方法学习构建具有周期性的常微分方程模型和具有时滞项的微分方程模型,最后把得到的模型与云杉蚜虫实际数据进行比较,发现我们学习的模型能较好地吻合实际数据并能预测云杉蚜虫的周期爆发行为.本工作对探索云杉蚜虫的动力学行为提供了有益的指导. 以上工作中关于蚜虫的常微分方程模型和具有时滞项的微分方程模型反映的是蚜虫关于时间的演化情况,而蚜虫还在空间上呈现出扩散效应.为了得到蚜虫的时空数据,我们根据文献资料,先给出关于云杉蚜虫的隐式反应扩散模型,根据模型生成具有生物统计意义的噪声数据,利用人工神经网络,多项式样条插值分别对具有生物统计意义数据进行降噪,根据隐式反应扩散方程的通用形式建立候选项,再采用序列阈值岭回归(STRidge),最小绝对收缩与选择算子(LASSO)两种稀疏回归算法学习关于云杉蚜虫的隐式反应扩散模型,发现只有在人工神经网络和序列阈值岭回归(STRidge)组合方法下才可以推断出此模型.本工作为基于时空数据的云杉蚜虫反应扩散方程的学习提供了有效的方法.

关键词： 常微分方程   传染病模型   稳定性理论   环境差异   隔离措施  

摘要： 古往今来,传染病始终威胁着人类的生命和社会的发展。近几年,新型冠状肺炎病毒的肆虐给全世界带来了巨大的灾难。如何正确预测传染病的传播规律、合理控制传染病的爆发规模和速度显得尤为重要。传染病动力学是通过建立数学模型并进行分析传染病的传播规律的一种研究方法。因此,对于传染病动力学的深入研究具有十分重要的现实意义。本文建立了一类考虑环境差异相互影响的SIQR(Susceptible-Infectious-Quarantine-Recovered)传染病模型,并针对封闭空间和开放空间分别进行了分析和讨论。首先,在封闭空间中,不同的环境因素会对传染病的传播起到干预影响。本文构建了一类具有环境差异的SIQR封闭传染病模型。基于校园这一特殊的封闭环境,将人群分为卫生条件好群体和卫生条件差群体,计算了模型的平衡点和基本再生数。同时,以长沙某高校出血性结膜炎作为仿真算例,讨论了不同参数对传播状况的影响。研究结果发现,隔离措施可以有效降低最大感染人数和最终规模,选取适当的隔离措施,使隔离率达到一定阈值,感染规模就可以控制在较低范围,加大隔离力度可以大幅度缩短传染病的持续时间。其次,在开放空间中,考虑到人群数量的动态变化,建立了一类具有环境差异的SIQR开放传染病模型,计算了模型的平衡点和基本再生数,证明了模型平衡点的稳定性。通过数值模拟描绘出平衡点稳定性图像,从而验证了理论分析的正确性。同时,以巴西早期新冠肺炎疫情作为仿真算例,讨论了该模型中各个不同参数变化对传播状况的影响。研究结果发现,传染率越大,传染病传播的速度和规模也将增大,但随着治愈率的增大,传播的风险就将随之减小。通过改变环境影响因素,对传染病的抑制起到了积极作用。当隔离级别达到一定程度时,系统的感染爆发规模可以得到有效控制,但是继续提高隔离率会不断增加控制成本,对于疫情的控制效果却不再明显。本文分析了一类具有环境差异的SIQR传染病模型,研究表明,在研究传染病传播动力学问题的时候考虑环境差异的因素是非常有价值的。在实际传染病传播的过程中,本研究可以为制定防控策略提供参考。

关键词： 马尔可夫链蒙特卡洛   非线性常微分方程   参数推断   标准化流  

摘要： 常微分方程(Ordinary Differential Equations,ODE)是当代数学中极为重要的一个分支,适用于描述动态变化现象,在经济学、物理学、工程学和系统生物学等许多科学领域中常用于对动态系统建立数学模型,用以解释实际问题或者预测复杂现象。常微分方程参数推断则是根据常微分方程模型和已观测到的数据轨迹,反过来推断模型中参数值的流程,由于ODE系统的非线性、多态性以及数据中的噪声引起了严重的可识别性问题,常用的最优化方法在这些情况下表现仍然不够理想。马尔可夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MCMC)是一个通过采样来估算未知参数后验分布的常用工具,本文研究了马尔可夫链蒙特卡洛方法,并将其运用到非线性常微分方程的参数推断问题上,本文的主要工作依次分为以下两个方面:(1)本文针对经典马尔可夫链蒙特卡洛方法需要手动设置采样算法转移核、采样速度缓慢、采样结果自相关性高的缺陷,提出一种具有自适应转移核的混合马尔可夫链蒙特卡洛算法(2SAMMC),并使用二阶段接受方法进行算法加速。随后还提出了一种适用于常微分方程参数推断的似然估计定义,能有效提高马尔可夫链的收敛速度。最后通过猎食者-猎物(Lotka–Volterra)模型进行对比试验,证明了2SAMMC相较于传统MCMC方法,具有采样速度更快,收敛速度更快的优点;还通过传染病(Susceptible-Exposed-Infectious-Removed,SEIR)模型的消融实验证明了混合策略、自适应转移核、二阶段接受方法和改进后的似然估计对算法性能的提升。(2)本文针对经典马尔可夫链蒙特卡洛方法无法在多模态目标分布上进行有效采样的缺陷,提出了一种使用Real NVP模型来强化马尔可夫链蒙特卡洛方法的新型采样方法NFMC,并提出了使用快慢参数切割对Real NVP模型进行改进,提高算法速度。NFMC在算法采样过程中,将经典MCMC采样方法的局部移动和来自生成模型的随机移动相结合,从而提高采样算法的遍历性和有效性,从而实现对多模态目标分布的有效采样。最后我们使用NFMC方法在保温箱模型进行对比试验,验证了NFMC方法的可行性和高效性;使用双模态洛伦兹模型进行消融实验,验证了快慢参数切割方法对算法采样速度的提升。

关键词： 免疫   微生物群   分节丝状菌   T辅助性17细胞   数学模型   常微分方程  

摘要： CD4+T细胞(Th17细胞)被认为是CD4+T辅助(Th)细胞的独特谱系,在宿主防御、组织炎症和自身免疫中起重要作用。Th17细胞的鉴定打破了先前在感染和自身免疫中持有的Th1/Th2范式的概念。Th17细胞在健康免疫系统的功能中发挥关键作用,并保护宿主免受细菌和真菌感染,尤其是在粘膜表面,但也被认为在自身免疫、哮喘、癌症和过敏反应中具有致病作用。分节丝状菌是促进CD4+ Th17细胞分化的特异性诱导剂,同时,Th17诱导上皮细胞产生抗菌肽,可以限制SFB的粘附和定植,维持局部免疫平衡。肠道内微生物群和宿主免疫系统细胞的共生关系促进了体内平衡,确保维持微生物群落和平衡。饮食、年龄、抗生素等引起的菌群失调会改变SFB的丰度。研究表明SFB丰度随年龄发生变化,断奶时先增加后减少,但到成年期SFB丰度仍然很低;丰富饮食能够控制SFB的丰度;抗生素能够消灭肠道细菌以改变菌群丰度。现有的研究中,Th17分化机制较为完善,但是关于SFB对于Th17细胞分化的相关模型定量研究尚不充分。本文建立了一个多尺度、多细胞模型来展示细胞和蛋白网络机制来表征SFB如何特异性刺激Th17免疫作用,并强调鞭毛蛋白作为SFB抗原的重要作用。在现有的模型中,在菌群失调的背景下,通过改变SFB的丰度来探讨对Th17分化和对抗菌肽杀伤效率的影响,结果分为三个方面:SFB促进了Th17的分化,诱导了IL-17A和IL-22的表达,从而产生抗菌肽限制了SFB的增殖;在一定范围内,SFB丰度越高,可以诱导更多数量的Th17,但是同时又降低了IL-17A和IL-22的表达,进而导致抗菌肽杀伤细菌的能力下降,这加剧了菌群失调;与对照组相比,添加抗生素后,SFB受到抑制,鞭毛蛋白的分泌量较低,DC成熟的时间较晚,数量峰值较低,Th17细胞出现的时间较晚,IL-17A与IL-22的浓度总量在前期增长缓慢,导致抗菌肽表达较低。本研究有利于为研究Th17细胞以抗原依赖性方式在感染和炎症性疾病中发挥致病或保护作用的机理。

关键词： 常微分方程   课程思政   案例教学  

摘要： 探索常微分方程教学过程中进行课程思政建设的方法，以“变量分离方程”的教学为切入点，进行课堂教学设计，将思想政治教育资源因素有机融入，落实立德树人的根本任务。同时挖掘常微分方程这门课中的思政元素，以期为该课程的课程思政建设提供一些参考。

关键词： 锂电池   健康状态   剩余使用寿命   常微分方程神经网络   元学习剪枝  

摘要： 健康状态(State of Health,SOH)和剩余使用寿命(Remaining Useful Life,RUL)是反映锂电池故障几率和安全程度的重要参数,SOH的精准估计和RUL的实时监测对于提升锂电池整体性能以及优化锂电池更换策略具有重要的意义。针对传统深度神经网络模型在电动汽车等移动设备的应用场景下对神经网络模型轻量化的问题,本文提出了一种基于常微分方程神经网络的锂电池健康状态估计算法,通过该算法可以在计算资源有限的应用场景下具有良好的估计表现。通过元学习剪枝算法,进一步减少网络参数量和浮点运算量并提升模型的估计性能。本文的主要工作如下:1.创建了改进常微分方程神经网络用于锂电池健康状态估计和剩余使用寿命预测。针对常微分方程神经网络只能做一对一数据的时间序列预测的问题,在常微分方程神经网络的基础上增加了增广层扩大了模型的可预测空间;相较于传统深度神经网络,改进后的常微分方程神经网络可以在锂电池健康状态估计和剩余使用寿命预测任务中以更少的计算资源获得很高的准确率。2.提出了使用元学习剪枝对改进常微分方程神经网络进行网络结构优化和剪枝。针对锂电池健康状态估计的实际应用场景计算资源有限的情况,研究神经网络网络结构优化机制,以常微分方程神经网络网络结构为对象,针对锂电池健康状态估计和剩余使用寿命预测任务,使用元学习剪枝方法寻找满足需求的最精简网络。经过元学习剪枝优化后的改进常微分方程神经网络SOH估计模型在NASA公开数据集上最低RMSE为0.0068,RUL预测模型在NASA公开数据集上最低RMSE为0.0166。

关键词： 奇异摄动   渐近解   稳定性   内部转移层   Robin边界条件   常微分方程   不连续   边值问题  

摘要： 近年来,对不连续微分方程的研究已经有了长足的进步,因为它们在科学和工程技术各领域有着广泛的应用。但是,对不连续微分方程的研究还缺少有效的方法,其理论体系还远不够完备。随着计算机科学的发展,对不连续微分方程的研究主要是求其数值解,但其中也存在不少问题,特别是右端不连续的微分方程具有奇性,刚性很大,很难有效把握所研究对象的本质,所以开展对不连续微分方程的研究既可以进一步丰富和发展微分方程理论,又可以促进一些相关数学分支的发展。本文主要是运用奇摄动理论中的渐近方法,特别是空间对照结构理论,对这类右端不连续的微分方程构造一致有效的光滑渐近解,便于在实际问题中进行有效的分析。同时还对一类反应扩散方程稳态解进行了稳定性研究,其主要内容如下:第一章着重介绍了奇摄动理论和方法中的一些基本概念,并对不连续奇摄动边值问题进行了简单的回顾。第二章主要研究了一类分段光滑奇异摄动拟线性方程Robin边值问题。运用边界层函法和光滑缝接法构造了具有内部层解的形式渐近展开式,确定了解的内部层的位置,同时,用缝接法证明了这类边值问题光滑解的存在性和余项估计,最后给出了一个例子用来验证构造方法的有效性。第三章主要研究了一类分段光滑奇摄动半线性方程Dirichlet边值问题转移点的临界情形。不但利用边界层函数法构造了这类边值问题形式渐近解,而且用缝接法证明了具有内部层的解的存在性和给出了解的余项估计。特别地,确定了这类问题转移点位置的零次近似。第四章主要讨论了一类不连续反应扩散方程稳态解的稳定性。作者运用SturmLiouville特征值方法,构造特征值和特征函数的渐近展开式,并证明其次主特征值小于零,从而得到稳态解的稳定性。

关键词： 常微分方程   Double-LAD模型   误差界   交替极小算法  

摘要： 常微分方程(ODE)被广泛用于描述众多科学领域中的复杂动力系统。在大数据背景下,构建准确的高维常微分方程来描述问题是一个重要的研究内容。而在微分方程的研究中,估计表征ODE系统的参数是一项基础而重要内容。由于高维数据中总存在离群点或重尾误差等情况,我们提出了一种基于矩阵的高维ODE参数估计的稳健优化模型。考虑到ODE系统解的不稳定性,我们通过相似变换将估计原方程中的参数问题转化为估计其特征值和特征向量,然后分别利用最小一乘(LAD)方法和l1-penalized LAD方法估计,记为Double-LAD模型。文章中我们提到,也可以用最小二乘(LS)模型对原参数的特征向量的估计,建立LS-LAD模型。然后,我们给出两个估计量的误差上界,证明随着测量数据的增加,估计值将收敛至真实值,并且特征值的估计误差以大于1-2p-4κ(C22-1)+1的概率是O(?)的,从统计角度保证模型的稳健性、可行性。同时,我们在理论上说明l1-penalized中惩罚参数的选择标准。此外,我们设计了基于次梯度方法的交替极小算法求解Double-LAD模型。最后,我们在测量误差分别为高斯分布和t分布的情形下,对比不同维数下,Double-LAD方法、LS-LAD方法以及ST-SLS方法的估计结果,说明本文提出的Double-LAD模型是更加稳健和准确的。

关键词： 反应扩散方程   ODE-PDE耦合系统   间接控制   backstepping方法   Lyapunov函数   稳定性  

摘要： 耦合效果是级联系统产生的连锁反应,又称为联动效应,耦合发生在生活的各方面,从社会关系到神经学领域到工业领域等,都有利弊产生。耦合系统因为自身的复杂性、多样性、时变性,使得系统比未进行耦合的系统更加的繁琐与复杂,但是解决这样的耦合系统对现实极具实际意义。耦合系统是形形色色的,可以研究热方程子系统与波方程子系统,也可以研究热方程子系统与板方程子系统等,而常微分方程与热方程的耦合却是长久以来持续具有热度的研究前沿内容。本文研究的是常微分方程组与偏微分方程组的级联间接控制系统,其中控制器是存在于常微分方程组的。对这类方程,本文研究两个方向,即无扩散矩阵系数的系统与具有扩散矩阵系数的系统两个方向,两种系统的处理思路大致相同,是利用backstepping方法通过反演变换将原系统转变为需要的目标系统,计算过程中可以得到控制器,控制器是由核函数进行表示的,接下来可以通过矩阵计算与坐标变换得到核函数的具体解,然后根据反向推导出逆变换的形式,从而可证得积分变换的可逆性,最后通过已知的控制器与目标系统以及Lyapunov函数,来证明形成闭环的原系统具有稳定性。与已有的结果相比,本文是将单个常微分方程与单个偏微分方程耦合系统,改进为n个ODE-PDE方程组合成为耦合系统,耦合性更强且更切合现实问题,同时在此基础上增加了扩散系数矩阵,让系统更具有广泛性。