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关键词： 常微分方程   周期边值问题   临界点理论   极大极小方法   山路定理   临界群   Morse理论   多解  

摘要： 本文中，我们应用Morse理论研究一类二阶常微分方程周期边值问题的多解的存在性。 考虑周期边值问题其中f：[0，2π]×R→R是连续可微函数，满足由于线性特征值问题的特征值是m2，m=0，1，2，3…，且m2的特征值重数是2（m≥1时）所以（1.1）表明问题（P）在无穷远处在两个连续的特征值之间共振。设f（t，0）=0，则问题（P）有一个平凡解。本文讨论在此情形下问题（P）的非平凡的2π-周期解的存在性。 引入Sobolev空间H是一个Hilbert空间，它的内积和范数定义为 〈x，y〉=integral from n=0 to 2π(（?）(?)+xy)dt，‖x‖2=〈x，x〉x，y∈H定义泛函 J（x）=1/2 integral from n-0 to 2π |（?）|2dt-integral from n=0 to 2π F（t，x）dt，x∈H （1.2）其中F（t，x）=integral from n=0 to x f（t．s）ds。由于，f ∈C1，故J ∈C2（H，R），且其导数为： 〈J′（x），y〉=integral from n=0 to 2π （?）(?)dt-integral from n=0 to 2π f（t，x）y dt，（?）x，y ∈H

关键词： 半线性微分方程   半线性脉冲微分方程   振动性   非振动性  

摘要： 本文讨论了二阶半线性微分方程和二阶半线性脉冲微分方程解的振动性与非振动性。全文共分为三章。第一章，简单地介绍了前人对二阶微分方程研究所取得的成果。第二章，基于己有的线性微分和差分方程的结果，我们研究了二阶半线性微分方程的振动性，建立了方程振动的充分条件，对前人的结果进行改进和推广。第三章，研究了二阶半线性脉冲微分方程解的振动性与非振动性，把二阶线性脉冲微分方程的结果推广并改进到二阶半线性脉冲微分方程，得到二阶半线性脉冲微分方程解振动与非振动的充分条件，所用的方法与二阶线性方程的不同。

关键词： 正解   锥映射不动点定理   不动点指数   Green函数   第一特征值  

摘要： 本文主要利用锥上不动点指数定理,解决非线性二阶常微分方程边值问题的正解的存在性问题,并给出了边值问题正解存在的条件,改进了次线性和超线性条件下正解存在的结论。 第一章,绪论,介绍了本文研究的背景和近期成果,以及本文主要研究的问题。 第二章,相关基础知识,主要介绍本文将要用到的数学基本概念和定理,包括本文中关键的两个不动点指数定理,给出了我们要用到的线性二阶常微分方程边值问题对应的具体的Green函数,最后介绍了常微分方程的特征值问题。 第三章,非线性二阶常微分方程的正解,主要利用锥上的不动点指数定理,证明了非线性二阶常微分方程边值问题正解的存在性,给出存在正解的条件,改进了以前文献中的条件,使结果中含有方程的第一特征值。同时,得到了变换后二阶常微分方程线性算子的一些性质。最后,作为特殊情况,得到了已有的次线性与超线性条件。

关键词： 常微分方程组   边值问题   积分方程   不动点   Green函数  

摘要： 本文研究了一类二阶常微分方程组Sturm-Liouville边值问题问题解的存在性。 全文包括三大部分:第一章介绍了基本的背景、研究进程及目前的研究进展、文章主要采用的方法和预备知识;第二章研究了如下形式的二阶常微分方程组Sturm-Liouville边值问题: （?）其中f∈C（[0,1]×R+×R+,R+）,g∈C（[0,1]×R+,R+）,且f（x,0,0）≡0,g（x,0）≡0通过把该方程组转化为积分方程并且利用拓扑方法和锥理论证明了边值问题正解的存在性。 第三章讨论了如下形式的非线性二阶常微分方程组Sturm-Liouville边值问题:（?）其中Lu=(p（x）u′)″+q（x）u,Lv=(p（x）v′)′+q（x）α1～2+α2～2>0,β1～2+β2～2>0,p（x）∈C([0,1],（0,+∞）),q（x）∈C([0,1],（-∞,0）)f∈C（[0,1]×R×R,R）,g∈C（[0,1]×R×R,R）,R=（-∞,+∞）令E=C[0,1],‖u‖=max|u（x）|,则（E,‖·‖）为实Banach空间。同样通过把该方程组向积分方程组等价转换的方法以及格林函数的运用给出了解的表达形式。

ISBN: (纸本)7040192802

关键词： 变系数二阶线性常微分方程   常系数化   特殊函数方程化   Maple  

摘要： 二阶线性常微分方程d2y/dx2 + P （ x ） dy/dx+ Q （ x ） y= 0在科学技术中有着广泛的应用。特别是在物理学中,二阶线性常微分方程及其本征值问题是求解数学物理方程的重要基础,很多物理问题都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。然而变系数二阶线性常微分方程的求解十分困难,至今还没有一个普遍有效的办法,通常采用的级数解法只能得到某点邻域内的局域解,而且是无穷级数解或近似解,不便于作理论上分析。因此,变系数二阶线性常微分方程的求解问题吸引了大量数学和物理工作者的兴趣。 在二阶线性常微分方程理论中,常系数方程总是可解的,特殊函数方程的性质已经有了深入的研究,因此可以将它们看成“可解方程”,然而在处理实际问题时,我们往往遇到的是陌生的变系数方程,求解比较困难。 本文通过对微分方程和特殊函数理论的研究,提出新的方法将一类变系数二阶线性常微分方程转化为已知的特殊的可解方程,建立起这类方程之间的转换关系。同时,从本质上阐述将变系数方程常系数化的方法,进而提出变系数二阶线性常微分方程求解的基本思想和步骤。最后,通过数学软件Maple将复杂的求解步骤编写为Maple程序,利用Maple强大的符号运算能力简化方程转换过程中繁杂的计算,使变系数二阶线性常微分方程的求解简单化程序化,同时有利于我们对微分方程的进一步学习、研究和应用。

关键词： 常微分方程   数学思想  

摘要： 本文对常微分方程中的数学思想进行了探讨,认为其可归为模型化、抽象化、化归、逼近、数形结合几方面。

关键词： 数值解法   算法   Euler法  

摘要： 主要讨论常微分的解法,并设计了这些解法在计算机中实现的算法及应用的条件、误差分析和解的稳定性。

关键词： 四阶常微分方程   边值问题   上下解方法  

摘要： 通过建立比较定理,利用半序与上下解方法,在Banach空间研究了源弹性梁的一类四阶常微分方程两点边值问题的最大解与最小解的存在性.

关键词： 加权隐格式   相容性   稳定性   收敛性  

摘要： 对常微分方程初值问题提出一种新的数值解法,并且研究其误差估计、相容性、稳定性、收敛性,最后进行数值试验.