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关键词： 贯通培养   中国科学院院士   香港浸会大学   常微分方程   浩瀚无垠   创新人才   方程式  

摘要： 北京师范大学—香港浸会大学联合国际学院(UIC)一节普通的“常微分方程课”上,汤涛拿起笔背过身,白板上的方程式便从容流畅地舒展开来。在这优雅的形式之下,不仅流淌着他对数学的痴迷和热爱,还端持着一颗执着于教育的本心。在与汤涛的交谈中,他一直强调兴趣对创新人才贯通培养的重要性。任何一门学科都有其魅力令人在知识的浩瀚无垠中徜徉一生。但困难的是:在兴趣使然的主动和重复机械的被动之间,我们要如何保留原初的新鲜与好奇?

关键词： 常微分方程   边值问题   共振   double-order Hilfer分数阶导数   Mawhin的重合度理论  

摘要： 为了拓展分数阶微分方程边值问题的基本理论,研究了共振情形下double-order Hilfer分数阶微分方程在Riemann-Stieltjes积分边界条件下解的存在性。首先,构造2个合适的Banach空间;然后,在Banach空间中定义恰当的算子并使用Mawhin重合度理论,获得double-order Hilfer分数阶共振边值问题解的存在性;最后,通过例子验证结果的正确性。结果表明,在合适的Banach空间中,double-order Hilfer分数阶共振边值问题的解具有存在性。采用Mawhin重合度理论方法研究double-order Hilfer分数阶共振边值问题解的存在性,扩展了微分算子阶数的取值范围,丰富了分数阶微分方程的可解性理论,为微分方程在空气动力学、经济学、控制理论等领域的应用提供了理论参考。

关键词： 高温超导   交流损耗   H方程   常微分方程组  

摘要： 为了精确计算高温超导材料交流损耗及其电流分布,提出了基于麦克斯韦方程组H方程的有限元模型,通过空间离散化将积分转化为矩阵乘法,将得到的常微分方程组(ordinary differential equations, ODE)通过对时间的数值积分得到电流密度,用于计算YBCO高温超导线材、带材、块材的交流损耗。对于不同结构形状提出不同的计算模型,最后对其临界状态模型的解析解和H方程的有限元解进行比较分析,结果表明,通过常微分方程有效实现不同高温超导材料的交流损耗计算,可为超导类电机优化设计提供理论依据。

关键词： 随机微分方程   深度学习法   米尔斯坦法   欧拉法  

摘要： 随机微分方程是在确定性微分方程中加入非确定性的随机项从而产生的新方程。它在描述客观现象中起着举足轻重的作用。因此,研究随机微分方程解的形式和性态显得尤为重要。然而,一般情况下,随机微分方程的解析解无法求出。因此,寻找随机微分方程的数值解就显得尤为重要。本文在欧拉法的思想上,成功构造了深度学习训练的样本集,并采用每一轮预测的斜率与初始条件实现了损失函数的构造,成功将深度学习方法应用于求解常微分方程,并获得了优于欧拉法精度的深度学习结果;在此基础上,使用小区间样本集斜率的平均值代替欧拉法中小区间初始点斜率,结合米尔斯坦法的思想,构造出了深度学习方法的迭代格式,并成功将其应用于求解一个具体的随机微分方程(Black-Scholes方程)。数值结果表明:所构造的深度学习方法比常规的欧拉法和米尔斯坦法精度更高。

关键词： 图像去雾   常微分方程   蛙跳法   边缘增强   神经网络  

摘要： 为设计合理有效的神经网络框架,提高去雾算法的精度,保留完整的边缘细节,提出了常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)启发的多级特征逐步细化及边缘增强的去雾算法。利用多级特征提取子网络,从输入雾图中提取出包含细节信息的低级特征和包含语义信息的高级特征,用于后续去雾结果的逐步细化。受残差网络框架与ODE求解策略关联性启发,依据两步两阶的蛙跳方法Leapfrog设计出Leapfrog模块,并串联多个Leapfrog模块,模拟ODE离散的逼近求解过程,构造逐步细化的去雾子网络。此子网络中,每个Leapfrog模块在交替输入的低级/高级特征的互补信息引导下,不断细化前一个Leapfrog模块估计的去雾结果。受二阶微分算子实施边缘增强的启发,边缘增强子网络利用预训练的UNet估计最后一个Leapfrog模块的去雾图像边缘,并叠加到此去雾图像上得到增强边缘,保留细节的最终去雾结果。实验表明,在真实图像及合成图像上,本算法均能取得较好的去雾效果,且在视觉评价和客观评价方面优于已有的去雾算法,与EAAN相比去雾精度提高了5%,运行时间仅有0.032 s,能有效用于图像去雾的工程实践中。

关键词： 数学建模   疾病控制   常微分方程  

摘要： 数学建模是用数学语言描述实际现象的过程,应用数学方法来解决现实生活中的各种实际问题时,建立数学模型是这个过程关键的一个步骤,但同时也是比较难做到的一步。而数学模型一般是将现实中的事物进行适当的数学简化,从而在某种层面上来逼近现实中的事物的抽象形式而存在。一般来说,数学模型按照建立模型的数学方法分类可以分为初等模型、几何模型、微分方程模型、数学规划模型等,而本文主要介绍微分方程中的几种经典疾病模型,如SI、SIS、SIR以及SARS传播模型,以及它们在疾病传播领域中的应用。

关键词： 常微分方程   变量替换   求解  

摘要： 本文以一阶、二阶常微分方程为载体,对求解中变量替换的应用进行了分析、归纳,从而将常微分方程求解中的变量替换方法进行了拓展。

关键词： 对偶方程组   基解矩阵  

摘要： 本文通过理论分析及相关例子探讨线性微分方程与其对偶方程组之间的关系.

关键词： 师范认证   双语教学   数学思维  

摘要： 师范认证对本科人才培养提出更高的要求,需要以学生为中心,切实提高教学质量,因而任课教师在平时的教学中更应注重教育教学创新。《常微分方程》作为数学与应用数学教师教育专业的一门核心专业课程,起着承上启下的作用。开设这门双语课程,旨在培养学生专业能力的同时更注重学生的国际化视野和学生数学思维的拓展。如何对学生进行引疑拓思,培养学生的综合素养,是摆在任课教师面前的一个非常重要的任务。在教学中教师需注重前沿知识探索,渗透数学思维,不断进行教学改革的尝试,持续优化教学设计、改进授课模式、优化考核方法,激发学生双语学习的积极性和专业志趣,达到培养优秀师范生的目的。

关键词： 常微分方程   数值解   Picard序列   龙贝格方法   MATLAB  

摘要： 常微分方程是解决实际问题的重要工具,生活中有很多具体问题的本质依赖于微分方程.然而理论研究中存在太多常微分方程无法求出解析解,这时利用数值方法求出其高精度解就显得格外重要[1].Picard迭代序列便是常微分方程定性理论中一类非常重要的迭代序列,以下将利用这种序列,结合龙贝格数值积分法对一类常微分方程进行数值求解,并用MATLAB进行传统方法的求解精度比对,从而凸显这种求解方法的重要地位.