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关键词： 可积性   不变测度法   Lagutinskii-Levelt过程   相容向量场方法  

摘要： 微分方程的可积性问题一直是微分方程研究领域的一个重要课题。一般说来,一个常微分方程动力系统称为是可积的,如果它有足够多的首次积分使得它的所有解都可以由这些首次积分函数表示。因此如何构造系统的首次积分就成为研究可积性问题的关键。但遗憾的是,迄今为止对一般常微分方程动力系统,还没有一个能构造出其首次积分的确定有效的方法,即使是对多项式系统寻找最简单的多项式形式的积分。 本文我们考虑多项式系统的可积性,将介绍三种寻找多项式系统的多项式首次积分或有理首次积分的方法:不变测度法,Lagutinskii-Levelt过程和相容向量的方法,并应用这些方法于一些具体的系统,如Lorenz系统、齐次Lotka-Volterra系统、齐次May-Leonard系统、Halphen系统和Ohyama系统等。

关键词： 微分方程   边值问题   奇性边值问题   正解   存在性   不动点  

摘要： 本文主要对最近十多年来有关非线性二阶常微分方程边值问题的研究状况进行综述。全文共分四章,主要内容如下: 第一章为引言部分,介绍有关非线性边值问题产生的背景以及边值问题研究的方法和意义,概述非线性二阶边值问题研究的情况及进展。 第二章为基本概念和相关定理,列出在研究微分方程边值问题中所涉及的有关概念和重要定理,为本文第三章讨论之所需。 第三章讨论微分方程边值问题,通过回顾几类重要的两点边值问题的研究,介绍二阶微分方程两点边值问题最近十多年的研究情况和研究成果,包括半线性非奇异、奇异两点边值问题的研究、拟线性两点边值问题研究等。 第四章对微分方程两点边值问题的研究进行简要评价并提出进一步研究的问题。

关键词： 非线性发展方程   齐次平衡原则   F-展开法   投影Riccati方程组   精确解  

摘要： 本文介绍了二个辅助常微分方程及其精确解,借助于这两个辅助常微分方程,讨论了一组非线性发展方程的精确求解问题。首先利用齐次平衡原则,借助于扩展F—展开法和投影Riccati方程组求解第一个辅助常微分方程——二阶三次常微分方程,得到其分别用Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数表示的精确解,并应用此辅助微分方程导出了mKdV方程、Klein—Gordon方程,Zakharov方程组等等非线性发展方程(组)的精确解。其次,利用F—展开法的思想和第二个辅助常微分方程——一阶四次常微分方程的正精确解,求得含有任意次正幂项广义BBM方程、含有任意次正幂项非线性Schr(?)dinger方程的精确解,包括钟状孤波解、扭状孤波解以及三角函数表示的周期解。

关键词： Obrechkoff作方法   四步方法   单步方法   P稳定   A稳定  

摘要： 由于常微分方程本身的重要性以及在不同领域的广泛应用，贯穿整个20世纪，常微分方程的数值求解研究得到了巨大的发展。特别是，随着计算机性能的快速提高，一些著名数学软件的不断深化发展，更多的新思想得以实现，更多的复杂方法涌现出来，常微分方程数值求解以及数值方法发展研究的领域有不断深化扩大的趋势。 计算机的数值计算功能对物理学中常微分方程研究的用途不仅仅是可以得到数值结果，更为重要的是，它为物理学家提供了“计算机模拟实验”这个新的研究手段。有了计算机数值计算这个强有力的工具，我们将目光投向物理领域中一些较为复杂的常微分方程（非线性Duffing方程，周期性振荡方程以及刚性方程）的数值求解与相应数值方法的研究。 在物理领域中，常常可以遇到一些应用很是广泛的常微分方程，例如薛定锷方程、非线性Duffing方程、天体轨道方程以及刚性方程等。这些方程多为一阶或二阶的常微分方程，形式简单，却很少能得到解析解。即使数值求解也往往存在着求解精度不高或因方程本身性质特殊造成数值方法求解结果不尽理想。在这些问题中具有代表性的有两类问题：周期性振荡问题与刚性问题。 在本论文中，我们主要集中于这两类问题相应的数值方法研究做出探讨。 对于周期性振荡问题，我们主要关注二阶常微分方程 y″（x）+ω2y（x）=f（x，y），y′（0）=y′0，y（0）=y0 这类方程的近似解析解中常包含cos（ωx）、sin（ωx）或eiωx等周期性函数。鉴于其周期振荡性质，往往造成数值方法求解困难，结果出现不稳定，甚至发散。 我们研究发现对于具有周期振荡性质的问题必须有匹配的数值方法，即数值方法也需具有周期振荡性质。否则即使原本精度很高的方法，如果与所求解问题的性质不匹配，数值求解的结果也往往是不理想，甚至得到发散的结果。反之，如果数值方法与问题匹配但精度不够，同样也不能得到满意的结果。 为此，我们从两方面出发研究针对周期性振荡问题的数值方法。

关键词： 初值问题   边值问题   Banach空间   全局结构   奇异   常微分方程组   正解   无穷区间   极限增算子  

摘要： 随着科学技术的发展，在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等领域出现了各种各样的非线性问题。由于其广泛的应用背景和深刻的数学意义，这些非线性问题引起了许多学者的密切关注。目前，非线性泛函分析已经成为现代数学中的一个重要分支。它为解决各种各样的非线性问题提供了一个富有成效的理论工具。利用非线性泛函分析研究问题的主要方法有：拓扑度理论、临界点理论、半序方法以及分析方法等。关于非线性泛函分析及其应用，国内外有许多优秀的专著(见[1，5，6])。 许多非线性问题可以通过转化为相应的方程获得研究，例如可以转化为：微分方程、积分方程、积分-微分方程、差分方程及算子方程等其它类型的各种方程。奇异常微分方程的研究起源于各种应用学科，例如，核物理、气体动力学、牛顿流体力学、边界层理论、非线性光学等。在普通空间中，奇异微分方程的正解以及多个正解的存在性获得了充分的研究，出现了一大批优秀的成果。近十年来，抽象空间中的常微分方程理论已经发展成为现代数学中的一个新的重要的分支(见[4，11，12])。到目前为止，只有少数文献在抽象空间中研究奇异微分方程。脉冲微分方程理论是近年来发展起来的另一个重要的研究分支([8，71])，其相应的理论尚需进一步的完善。本文的目的之一就是研究抽象空间中同时具有奇异性和脉冲的微分-积分方程解的存在性。 增算子不动点理论以及建立在其基础之的上下解方法是研究各种非线性问题时经常使用的基本方法之一。我们在使用传统的上下解方法时通常要求相应的非线性算子是增算子。无疑，当非线性算子在不具有增性条件时，如何使用上下解方法无论在理论上还是应用上都具有重要的意义。文[77]中，作者提出了极限增算子的概念，利用上下解方法在非线性算子满足一定的条件时，获得了算子方程解的存在性结果。本文的另一目的就是进一步研究极限增算子方程解的存在性。 本文中，我们利用拓扑度理论和有关非紧性测度的理论，在相对广泛的条件下，研究了抽象空间中几类微分方程正解及多解的存在性。特别的，我们还考虑了一类m-点边值问题正解的全局结构。本文的最后给出了极限增算子方程解的一些存在性结果。 本文共分四章。 第一章，我们讨论了几类奇异微分方程正解及多个正解的存在性。§1．2，考察了Banach空间中一阶奇异混合型脉冲积分-微分方程正解的存在性。首先构造了一个特殊的非空闭凸集，然后利用M(?)nch不动点定理获得了本节主要结果。在§1．3中，我们利用不动点指数理论，在Banach空间中针对一类奇异二阶Neumann边值问题的多个正解的存在性进行了讨论。§1．4．我们首先在乘积空间中构造了一个特殊的非空闭凸集，然后利用著名的Shauder不动点定理得到了一类奇异微分方程组边值问题的正解存在性结果。我们指

关键词： 边值问题   试射法   二分法   EXCEL  

摘要： 本文主要分为两个部分，首先证明了非线性常微分方程初值问题 (?)在满足 (1) f及αf／αy，αf／αy′在区域Ω={(x，y，y′)|a≤x≤b，-∞＜y，y′＜∞)内连续 (2) αf(x，y，y′)／αy＞O，(?)(x，y，y′)∈Ω (3) 存在常数M，使得O＜αf(x，y，y′)／αy′≤M，(?)(x，y，y′)∈Ω时是关于m严格单调增加的，并且在此基础上，有效地运用二分法对于满足上述条件的非线性常微分方程边值问题 (?)进行求解。 在论文的第二部分，介绍了在EXCEL界面下对微分方程的求解方法。

关键词： 常微分方程   间断有限元法   超收敛   动量守恒  

摘要： 常微分方程（组）的初值问题广泛出现在科学技术和经济等领域中,它的数值求解已有很多好算法,比如差分法和有限元法。近年特别关注的间断有限元法不仅精度高,且对解的光滑性要求较低。 本文讨论一类间断有限元法。1981年***等数值计算发现,对偶次k=0,2,4,…次间断元的节点通量Uj*=（Uj-+Uj+）/2有最高阶超收敛精度O(h2k+2),但是没有证明。本文特别研究此问题.在单元上构造了新的局部化的离散Green函数,证明了间断有限元解的丰满阶最大模估计.利用单元上的Legendre正交展开构造了一个比较函数,再利用对偶论证和某些新技巧,首次证明了最佳阶超收敛估计 |u（xj）-Uj*|≤Ch2k+2‖u‖k+2,k=0,2,4,…这是目前所知的所有间断有限元法中最高阶的超收敛结果.本文用数值实验证实了这个最高阶.本文还证明此种间断有限元对非线性Hamilton系统,总是保持动量守恒的.这是数值计算中保持动量守恒的第一个结果.

关键词： 高振荡常微分方程   整体截断误差   局部截断误差   梯形方法   Magnus展开   Filon方法   Gauss方法  

摘要： 本文以特殊的线性振荡方程y″+g(t)y=0(其中(?) g(t)=+∞)为例讨论了高振荡常微分方程数值解问题。 高振荡微分方程是指其解含有高振荡函数的一类微分方程，它在分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面有着广泛的应用。对于高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。例如，对于形如y″+g(t)y=0的线性高振荡方程，用经典的方法，如Runge-Kutta法、线性多步法等方法在处理该类问题时均会产生较大的误差。近来，Iserles利用Magnus展开方法详细研究了该类方程数值解法问题，给出了计算结果较好的数值算法。 在这篇论文中，我们首先介绍一些基本概念和基本知识，为后面的内容做准备工作。然后用梯形方法对线性振荡方程y″+g(t)y=0数值求解，理论分析及数值实验均显示，用梯形方法求解会产生较大的误差。我们就梯形格式作了几种修改，误差分析及数值结果均显示，修改后格式的数值解都要优于梯形格式的数值解。 我们还系统地介绍了Magnus展开方法及修正的Magnus展开方法，从修正的Magnus展开方法出发，我们考虑利用Cayley变换构造线性高振荡微分方程的数值解法。这样构造的解法涉及到高振荡函数的积分，我们采用Filon方法计算，数值结果显示，该数值解法具有好的长时间数值跟踪能力。另外，我们也利用数值实验比较了用Gauss方法及Filon方法计算高振荡函数积分所给出的数值解法，实验显示，Filon方法相应的数值解法优于Gaoss方法所相应的数值解法。

关键词： 变分方程   嵌入定理   针状变分   变分不等式  

摘要： 在这篇文章中,我们考虑控制出现在最高阶系数上二阶常微分方程系统最优控制满足的必要条件,得到了最优控制满足的变分不等式。 本文首先讨论了系统的解的存在与唯一性,接着讨论了解的连续相依性。然后利用针状变分求出系统的变分方程,从而得到了最优控制满足的变分不等式。本文讨论的问题是类似文献[1]的最优控制问题在空间维数n=1时情形。

关键词： 常微分方程   财经院校   课程教学建设  

摘要： 针对财经院校数学专业《常微分方程》的课程教学现状,从教材与教学内容建设、教学方法与教学手段建设等方面阐述该课程的建设,突出经济特色,强调应用意识,总结一些可行性方案,推动该课程教学更好地发展。