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关键词： 拉普拉斯变换   常微分方程   积分方程   广义积分  

摘要： 阐述了拉普拉斯变换的基本原理,讨论了它在解常微分方程(组)初值问题、解积分方程以及广义积分计算这3个方面的应用.

关键词： 焦点量   极限环   周期系数   Melnikov函数   常微分方程   定性理论  

摘要： 本篇博士论文旨在研究中心焦点问题及相关问题.多项式微分系统极限环个数问题，即Hilbert第十六问题的后半部分，是常微分方程定性理论研究中最困难的核心问题.微分动力系统在原点附近极限环个数的研究，主要难点归结为中心焦点问题.这一问题和多项式微分系统的稳定性研究有着密切的关系.\n 在中心焦点判定方面：对于普遍形式的解析系统，论文利用后继函数法给出焦点量递推公式；同时改进了形式级数法，以计算和约化焦点量或鞍点量.论文还基于吴文俊特征列法，提出了中心条件推导的间接性方法，为发现新的中心条件提供了有效的手段.作为算例，推导了三次系统和五次系统时间可逆的充要条件，还推导了一类三次系统解析可逆的系数条件.对于一类Z2等变退化三次系统，给出双中心共存的充要条件，并且从两个对称五阶细焦点附近构造出10个小振幅极限环.\n 当中心邻域闭轨的周期函数为常数时，系统具有等时中心.等时中心不但与极限环分支有着密切的联系，而且在日常生活和技术领域都有重要的应用.为此，论文研究了两类可逆三次系统等时中心条件；给出了一类时间可逆四次系统的等时中心充要条件；研究了时间可逆系统的等时中心充要条件，并且给出了一个等时中心或细焦点的充分条件.\n 论文还运用定性分析方法、代数方程判别系统理论和结式方法，研究了一类具有星状结点的四次系统的拓扑结构和代数分类.\n 一直以来，高阶退化分支是弱化Hilbert第十六问题研究中的薄弱环节，而Melnikov函数决定同宿环或异宿环经小扰动破裂后分界线的相互位置，是处理弱化Hilbert第十六问题有效手段.为了研究Hamilton系统的高阶退化扰动，有必要计算高阶Melnikov函数.\n 为此，论文最后讨论了Bogdanov-Taken系统的一类三次扰动dx/dt=y+∈f1(x，y)，dy/dt=-x+x2十∈f2(x，y)，这里f1(x，y)=a0x+a1y+b0x2+b1xy+b2y2，f2(x，y)=c0x+c1y+d0x2+d1xy+d2y2+e0x3+e1x2y+e2xy2+e3y3，∈为小参数.通过计算各阶Melnikov函数得到：Melnikov函数阶数的上确界为6，即系统可积的充要条件是前六阶Melnikov函数恒为零.

关键词： 常微分方程   通解   特征方程   特征根  

摘要： 文献[1]给出了二阶常系数线性齐次常微分方程的通解形式,但未回答除了通解形式的解是否还有其它形式的解,本文指出通解包含了所有的解,并给出一个只需要高等数学知识的证明.

关键词： 常微分方程   精确解   Chaffe-Infante方程   波动方程  

摘要： 考虑非线性常微分方程,利用分析的方法得到其精确解,并给出了它在n维非线性Chaffe-Infante方程和非线性波动方程中的应用.

关键词： SARS   常微分方程   奇点   相图  

摘要： 建立了一类描述SARS流行病的常微分方程模型,利用常微分方程动力系统的理论,研究了我们所建立的模型,给出了该系统的奇点及奇点的类型,并作出了相图.我们得到的一个主要结论是:在SARS的控制中,政府行为是最重要的因素.

关键词： 边值问题   Leray-Sehauder原理   Caratheodory条件   不动点  

摘要： 设f:[0,1]×R2→R满足Caratheodory条件,a,b∈L1[0,1],a(.)≥0,b(t)≥0满足0≤∫01a(t)dt<1,0≤∫01b(t)dt<1,运用Leray-Schauder原理考虑了边值问题x″(t)=f(t,x(t),x′(t))+e(t),t∈[0,1],x′(0)=∫01b(t)x′(t)dt,x(1)=∫01a(t)x(t)dt解的存在性.

关键词： 状态空间   Cantor集   浑沌   物种   生长动态系统   常微分方程   稳定理论  

摘要： 从生长动态系统出发,讨论函数F(x)=rx(1-x)的非线性不断加强时,动态系统产生的浑沌.

关键词： 二阶非线性常微分方程   柯西问题   长时间行为  

摘要： 讨论二阶非线性常微分方程:-x+″f(t,x,x′)x+′g(x)=h(t)解的整体行为,在适当的条件下此柯西问题的解具有二分性质.

关键词： 微分方程   常微分方程   概率论   随机神经网络  

摘要： 随着科学技术的飞速发展，随机因素对系统的影响日益受到人们的重视。而作为概率论与常微分方程相结合发展而成的随机微分方程这一边缘学科，自伊藤于1961年首次发表“论随机微分方程”一文来，得到了广大理论科学工作者和实际应用科技人员的重视。随机微分方程的稳定性理论，在确定性微分方程稳定性理论与随机过程理论的基础上发展特别迅猛，而且应用也越来越广泛。它主要应用于系统科学，工程控制，生态学等各方面。在这些新兴的科学技术中，大量出现了随机微分方程的问题。例如在随机干扰下的控制问题，通讯技术中的滤波问题，声纳探测潜艇的问题，生物数学模型的建立问题，都依赖于随机微分方程的研究和解决。\n 稳定性的重要意义可想而知，小至一个具体的控制系统，大至一个社会系统，金融系统，生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下进行的。承受这种干扰之后，能否保持运行或工作状态，而不至于失控或摇摆不定，至关重要。所以随机微分方程的稳定性问题有重要的理论意义和广泛的应用背景。\n 本文主要分成三章。第一章引言，主要对本文的主要内容及知识结构做一个简单的介绍。第二章主要介绍随机微分方程的发展及随机微分方程稳定性的一些基本概念，利用局部鞅收敛定理和It 公式研究具有可变时滞随机微分方程的指数稳定性，得到了与时滞无关的几乎必然指数稳定性的充分判据。第三章介绍随机神经网络稳定性分析的研究现状，并运用我们的主要结果给出具有变时滞的随机神经网络指数稳定的充分条件。

关键词： 微分矩法   非驻定常微分方程   稳定性  

摘要： 用微分矩法研究了一类三阶非线性常微分方程零解的稳定性,并获得了一类三阶非线性驻定系统零解全局渐近稳定的充分条件.