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关键词： 上、下解   反序   单调迭代方法   Green函数   Leray-Schauder度   Nagumo条件   Carathéodory条件  

摘要： 本文主要利用上下解方法研究了几类常微分方程的边值问题,得到了许多有意义的结论. 第一章简要介绍了常微分边值问题上下解方法的一些发展现状.为方便阅读,在第二章给出了所要用到的定义、定理等基础知识.在第三章中,利用反序上下解方法讨论了二阶两点边值问题 解的存在性和唯一性的充分条件.给出了求最小解和最大解的迭代序列,在满足解的唯一性的条件下给出了求解的迭代序列及误差估计式.第四章沿用了与第三章类似地方法讨论了二阶三点边值问题解的存在性和唯一性的充分条件,其中0 <η< 1,δ> 0. 第五章,利用上下解方法和Leray-Schauder度理论讨论了二阶两点边值问题 三个解的存在性.通过求其Green函数将所要研究的边值问题的解的问题转化为求其相应算子的不动点.最后利用Leray-Schauder度理论证明了该算子的三个不动点的存在性. 第六章讨论了二阶多点边值问题 三个解的存在性.其中f满足Carathéodory条件,且通过求其Green函数将所要研究的边值问题的解的问题转化为求其相应算子的不动点.若f满足Carathéodory条件和至多线性增长条件,则利用Lebesgue控制收敛定理证明了此算子的全连续性,最后应用Leray-Schauder度理论证明了算子的三个不动点的存在性. 在最后一章应用和第五章类似地方法讨论了三阶三点边值问题的三个解的存在性,其中0 <δ< 1,0 <η< b. 本文举了一些例子,将所得的研究结果应用于某些具体边值问题,给出了这一类边值问题解的存在性的判断方法,具有较强的实际应用背景.

关键词： Runge-Kutta方法   阶条件   树根理论   零稳定   绝对稳定区域   A-方法  

摘要： 常微分方程广泛出现于物理、生物、医学、工程、控制理论等许多科学与工程领域,其数学表述归结为常微分方程定解问题。很多偏微分方程问题通过离散空间变量后也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此,研究常微分方程的数值解法具有重要的科学意义。经过长时间的发展,常微分方程定解问题的数值解法是已日趋成熟和完善,数值分析工作者构造了许多有实用价值的方法。本文主要是构造一种新的数值方法,并对其进行理论分析与研究。 在本文的最开始,我们简要介绍Runge-Kutta方法(包括单步Runge-Kutta方法和两步Runge-Kutta方法)的背景,回顾Runge-Kutta方法在解常微分方程初值问题中的阶条件以及稳定性等理论的发展历程。 在第二章,我们首先介绍单步和两步Runge-Kutta方法阶条件。随后引入了一类三步Runge-Kutta方法,研究了方法的零稳定性。重点按Albrecht的A--方法推导新构造的三步Runge-Kutta方法的阶条件。 在第三章,我们针对该类三步Runge-Kutta方法,利用第二章推导出的阶条件,构造该类一簇3阶三步Runge-Kutta方法,用计算机搜索寻找到具有较大稳定区间的方法,画出其稳定区域,并与三步显式Adams方法进行比较。 最后一章,我们对新方法进行数值实验,并验证前面的理论分析结果。

关键词： 分数阶计算   分离变量法   配置方法  

摘要： 分数阶微分方程是含有分数阶导数的一类方程。近二十几年,人们渐渐意识到这类方程的重要性。现在大量的应用科学领域已牵涉到分数阶微分方程。但是,由于缺乏较恰当的数学方法,对分数阶计算的理论分析和数值解法的研究还是比较困难的课题。 本文,在Caputo分数阶导数定义下,我们考虑多阶的分数阶常微分方程和一维分数阶扩散-波动方程。第一章,先给出有关分数阶导数的一些预备知识。第二章,我们用配置样条方法求多阶的分数阶常微分方程的数值解。Blank【16】最先将配置方法应用于分数阶微分方程。Rawashdeh【17】用配置方法近似求解分数阶积分微分方程。他们考虑的分数阶导数都是Riemann-Liouville定义。由于在Riemann-Liouville分数阶导数定义下,常数的导数不为零,因此,他们提出的数值方法不能用于含有整数阶导数的微分方程。但是,我们采用Caputo分数阶导数定义就解决了这一问题。此数值方法也适用于求解一般的分数阶微分方程。第三章,我们考虑用分离变量方法求分数阶扩散-波动方程的解析解。Daftardar-Dejji和Jafari【28】用分离变量方法仅仅求得分数阶扩散-波动方程在第一类和第二类边界条件下的解析解,并且,他们考虑的非齐次方程的自由项也仅与时间变量有关。本文中,我们考虑的非齐次分数阶扩散-波动方程的自由项是同时与时间变量和空间变量都有关,并且,得出了此类方程在各类齐次/非齐次混合边值问题下的解析解。第四章,考虑分数阶扩散方程的数值解。将第二章的配置方法和第三章的分离变量方法相结合,求得分数阶扩散方程的数值解。在每一章节中,都给出了数值例子,证实了所提出的方法的有效性。

关键词： 《常微分方程》   教材   建议  

摘要： 在讲授《常微分方程》(王高雄教授等著《常微分方程》(第三版))时,我们发现该教材存在一些问题,为今后教与学的方便,本文及时指出并提出处理建议。

关键词： 常微方程-研究  

摘要： 本书以大学常微分方程课程为基础，对其重要概念、定理、典型的解题方法与技巧等作了深入研究，论述严谨，有较强的科学性与实用性。

关键词： 遗传算法   最优化问题   常微分方程   偏微分方程   构造函数  

摘要： 遗传算法提供了一种求解非线性、多模型、多目标等复杂系统优化问题的通用框架,它不依赖于问题的具体领域,已经广泛应用于函数优化、组合优化、自动控制、机器学习等科技领域。自然科学和工程技术中的许多问题被归结为微分方程这一数学形式,而微分方程通常难以解析求解。本文提出了利用最小二乘原理将微分方程的求解问题转化为求函数最小值的最优化问题,然后利用遗传算法进行进化计算求解常微分和偏微分方程,仿真实验验证了该方法的可行性。 本论文首先分析了课题的研究背景及意义,总结了国内外的研究现状,指出了现阶段求解微分方程的几种方法,并在此基础上进一步确立了利用遗传算法来求解微分方程作为本论文的主要研究内容。 其次,阐述了遗传算法的基本实现机理,并对遗传算法的特点及应用进行了比较详细的叙述,同时简要介绍了MATLAB遗传算法工具箱。再次,在详细论述了遗传算法理论的基础上,研究了遗传算法在求解微分方程中的应用。分别介绍了常微分方程及偏微分方程求解问题转化为最优化问题的基本过程,针对常微分方程和偏微分方程分别提出了方程解析解的构造方法,利用遗传算法进行进化计算,并通过实例说明了遗传算法中各个参数的设置方法,最终求得方程的近似最优解。最后通过具体实例分析了该方法的求解过程,对结果进行了相应的误差分析,验证了该方法的可行性。 最后对本课题的研究进行了总结和进一步展望。

关键词： 常微分方程-研究生-入学考试-自学参考资料  

关键词： IP业务流量预测   遗传规划   常微分方程   适应度  

摘要： 为了解决IP业务流量的建模与预测自动化问题,该文针对传统GP模型在流量行为分析对预测精度和外推性能方面存在的不足,提出了在原有模型基础上引入常微分方程进行GP(遗传规划)演化,从而提高了模型的动态描述能力,改善了模型的复杂度,更能贴切反映业务流量的变化规律。

关键词： 分支   极限环   同宿轨线  

摘要： 用Excel2003绘制了常微分方程Hopf分支,Poincare分支,多重闭轨的分支以及同宿轨线的分支结构图。

关键词： 边值问题   正解   不动点   锥  

摘要： 利用锥上不动点定理,研究了一类二阶非线性常微分方程组在Sturm-Liouville边值条件下正解的存在性,分别得到了至少一个正解和两个正解存在的充分条件,并给出了证明.