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关键词： 格林函数   高阶常微分方程   两点边值问题  

摘要： 文章利用格林函数导出一族高阶常微分方程边值问题解的存在性定理.特别是利用广义格林函数证明了高阶齐次方程存在非平凡解的情况下对应的高阶非齐次边值问题存在一解的充要条件。

关键词： 奇异非线性三点边值问题   两个正解   锥上不动点定理  

摘要： 讨论一类奇异非线性二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性问题,首先得出与所研究奇异边值问题等价的积分算子方程,其次是在C[0,1]空间上构造锥并且证明算子在所构造的锥上是全连续算子,最后运用锥拉伸和压缩不动点定理,在次线性条件下,解决了这类奇异非线性二阶常微分方程三点边值问题正解的存在性问题,并获得了该类问题至少存在两个C[0,1]正解的充分条件.

关键词： 奇异常微分方程   周期边值问题   正解   存在性   多解性  

摘要： 考察二阶常微分方程u(″t)+k2u(t)=f(t,u(t))正周期解的存在性和多解性,其中非线性项f(t,u)可以在t=0,t=2π及u=0处奇异.通过构造适当的控制函数并利用锥上的不动点定理证明了这个常微分方程n个正周期解的存在性,其中n是任意自然数.

关键词： 常微分方程组   周期解   临界点  

摘要： 研究一类常微分方程组周期解的存在性．在▽F(t,u(t))是线性的条件下,通过使用最小作用原理获得了一个周期解的存在性定理．

关键词： 局部截断误差   紧支撑   样条小波  

摘要： 应用三次紧支撑样条小波插值函数得到了求一类常微分方程组数值解的隐式公式,并求得到其局部截断误差为O(5).在此基础上给出1个显式校正求解公式,并讨论得到其局部截断误差为O(4).

关键词： 常微分方程   方程数值   周期初值  

摘要： 常微分方程在探索物理世界的过程中处于核心地位。然而大多数微分方程的解不能够析解求出，故最为实际的方法是求数值解。至今已经出现许多非常有效的数值方法，包括Runge—Kutta(-Nystr(o)m)以及线性多步法。常微分方程数值方法分为两大类：非刚性问题及刚性问题。然而，大多数已有的数值方法是针对一般的常微分方程初值问题设计的，也就是说它们可以用于求解一般的微分方程。但是在现实世界当中所出现的微分方程往往是具有一定特殊结构的。因此，根据方程本身的特殊结构去分析和构造针对这些特殊结构的微分方程的数值方法是非常有意义的。正如著名数值分析家Lambert教授所说“对于方程本身的特殊结构，我们在构造相应的数值方法时应加以利用”。这里我们将考虑一类特殊而应用上十分重要的微分方程问题：振荡微分方程或周期初值问题。这类方程往往出现在经典力学、天文学、分子动力学、电子学、声学等方面。目前已有许多有效的数值方法可以用来处理振荡微分方程问题。求解这类问题的数值方法可分为两类。其中一类是变系数的，即利用指数拟合技术。指数拟合方法适用于当方程解的主频率能够获得好的估计的情形，此时方法的的系数依赖于频率与积分步长的乘积[65，67，68，69，73]。指数拟合方法的一个主要性质是当频率趋于零时，它可以退化到原来的经典方法。目前，指数拟合已经积累了丰富的研究成果(例如，[38，41，42，59，65，66，67，68，69，70])。另一类是常系数的，即方法的系数不依赖于频率和步长。它的构造原则是尽可能提高方法的相延迟阶和耗散阶。这类方法的显著特点是适合于求解任何一种振荡问题，它们不依赖于主频率的估计。这篇博士论文包含指数拟合方法的一般的理论，构造方法以及实际应用。\n 第一章考虑关于扰动振子变步长的数值积分方法。Gonzαlez构造了解扰动振子的四阶自适应Runge—Kutta-Nystr(o)m方法，之后Franco改进了这个结果，导出了解这类方程的阶条件，并给出了一类自适应Runge—Kuttn-Nystr(o)m定步长方法和变步长方法。然而所有变步长方法都只能用来求解特殊的微分方程(右端的函数不显含y1)。借助于Franco给出的阶条件我们针对一般问题导出了一个变步长的显式自适应Runge—Kutta-Nystr(o)m方法，这个方法不仅能够用来处理一般的扰动问题而且也能够用来计算特殊的扰动方程。这个新方法的代数阶为四和三。本章给出的几个经典的数值例子说明新方法明显优于已有的数值方法。\n 第二章研究了解振荡微分方程的指数拟合的Numerov型方法。基于Franco提出的经典的两步Numerov型方法，利用指数拟合技术我们得到了新的指数拟合Numerov型方法。我们分析了这个新方法的稳定性、相延迟性以及耗散性质，并给出了它的绝对稳定性区域。本章提供的对比数值试验表明了新方法不仅优于同价的经典的数值方法而且也优于比它高阶的经典的数值方法。\n 第三章研究了解薛定谔方程的Numerov方法以及多导数方法。Wang对经典的Numerov方法利用指数拟合精确积分sin(ωt)和cos(ωt)的线性组合，得到了P—稳定的Numerov方法。我们要求这个方法能够精确积分｛sin(ωt)，cos(ωt)，xsin(ωt)，x cos(ωt))的线性组合。我们证明了基于这个原则所构造的数值方法也是P—稳定的。此外，Wang构造了多导数的指数拟合单步方法，并证明了这个方法是P—稳定的。我们给出了更高阶的指数拟合单步方法，并且证明了新方法是P—稳定的。本章给出的数值试验表明了所构造的新方法在精度和有效性上都优于Wang给出的方法。\n 第四章考虑了解振荡微分方程的Runge—Kutta法以及变步长的嵌入方法。Franco提出了自适应Runge—Kutta法，并给出了方法的阶条件。我们构造了基于FSAL技术(即第n步上内级的最后一个计算值和第n+1步上内级的第一个计算值相同)的高阶嵌入方法并分析了该方法的稳定性，给出了稳定区域并作了数值试验。\n 第五章是关于解振荡哈密尔顿方程的显式辛Runge—Kutta-Nystr(o)m方法的研究。基于Van de Vyver新近提出的构造辛的Runge—Kutta-Nystr(o)m方法以考虑尽可能提高该方法的相延迟阶[93]为原则，我们研究四级辛Runge—Kutta-Nystr(o)m方法。首先我们构造了代数阶为四相延迟阶为六的显式辛方法，该方法在精度上如所期望的比原来三阶的辛方法要好。但是由于方法的内级为四，故在总体计算效率上没有预期的那么理想。这就提示我们对于周期初值问题，在方法的构造上需要更多地考虑提高方法的相延迟阶。因此我们研究了在牺牲代数阶的前提下尽量提高方法的相延迟阶。我们拟构造的

关键词： 常微分方程   奇异性   解和正解   存在性  

摘要： 考察了一类含有一阶导数的二阶拟线性方程的解和正解,其中允许非线性项是奇异的。通过构造适当的Banach空间并利用相应的积分方程建立了两个局部存在定理。这些定理表明解和正解的存在性取决于非线性项的主要部分在某个集合上的“高度”。

关键词： 边值问题   同伦不变性定理   微分方程  

摘要： 在假设一类常微分方程边值问题中的非线性项有界的条件下,运用同伦映射不变性定理,得出了解的存在性结论。当非线性项为零时,边值条件将保证对应问题零解的唯一性,所以,边值条件是特殊的,但非唯一的形式。所采用的方法也适用于某些高阶常微分方程边值问题的解的存在性的研究。

关键词： 边值问题   Leray—Schauder原理   Caratheodory条件   不动点  

摘要： 设h:[0,1]×R3→R满足Caratheodory条件,运用Leray-Schauder原理考虑边值问题x■=h(t,x(t),x′(t),x″(t)),t∈[0,1],x(0)=x′(0)=x(1)=0解的存在性.

关键词： 教学改革   常微方程   数学实验  

摘要： 根据高职高专教学特点,结合我校实际情况,笔者认为推动“常微分方程”课程教学改革,就要转变教学观念,构造新的教材体系,改造旧有的教学模式,促进教学手段的创新。