关键词：
常微分方程
Runge-Kutta方法
数值解法
摘要：
这篇学位论文由拟两步Runge—Kutta方法和一般多步Runge—Kutta方法两章组成．\n 第一章讨论了拟两步Runge—Kutta方法的一般形式、阶条件的推导、零稳定性和绝对稳定区域以及变步长格式的Noedsieck表示和误差估计。在第一节是中我们给出了拟两步Runge—Kutta方法的一般形式，这个工作首先是由Cong N．H．等在文献[13]—[15]中奠基的；第二节借助于Butcher提出的阶条件的代数准则推导了拟两步Runge—Kutta方法的阶条件，此节推导阶条件的方法与Cong N．H．直接用Taylor展开式大不相同；第三节分析了拟两步Runge—Kutta方法的零稳定性和绝对稳定性；第四节讨论变步长格式的拟两步Runge—Kutta方法的Nordsieck表示形式，这种形式使得变步长的拟两步Runge—Kutta方法计算误差估计有了可能，这一节的想法得益于***和***在文[12]中所作的工作．\n 第二章主要提出了一般多步Runge—Kutta方法的形式，推导了其一般阶条件，讨论了它的绝对稳定区域，并对由阶条件导出的三个特殊方法计算了其误差精度和绘制了各自的绝对稳定区域。其中第一节首先给出了一般多步Runge—Kutta方法的形式，这种一般形式是传统的两步Runge—Kutta方法的最一般意义的推广；第二节给出了下一节中推导阶条件所必需的基本知识，主要引用了Butcher的经典著作[4]中的部分结果；第三节运用推导阶条件的B—级数理论给出了一般多步Runge—Kutta方法阶条件的推导过程和结果，这种阶条件的推导方式类似于***和***在文[9]中推导两步Runge—Kutta方法时所采用的方法，其优点是推导过程虽然运用了经典的有根树理论和B—级数理论，却更加接近于Taylor展开式的自然形式，使得最终阶条件方程组的获得无须依赖于具体有根树的形状；第四节分析了一般多步Runge—Kutta方法的绝对稳定性并给出了绝对稳定性区域的计算方法，这里的结果是将一般多步方法绝对稳定性区域定义运用到一般多步Runge—Kutta方法而得到的；第五节通过Mathematica编程求解第三节得到的阶条件方程组给出了三个数值方法的特殊例子；第六节是数值试验，绘制了上一节给出的三个特殊方法的后两个在求解三个试验方程时计算误差的Log—Log图，并且用边界轨迹法绘制了每个方法的绝对稳定性区域。
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