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关键词： 无穷多点   存在性   Leray-Schauder原理  

摘要： 本文运用Lerary-Schauder原理讨论了如下二阶常微分无穷多点边值问题u″(t)=f(t,u(t),u′(t))+e(t),t∈(0,1),u′(0)=0,u(1)=sun from i=1 to ∞ aiu(ξi)解的存在性.

关键词： 非线性周期问题   存在性   唯一性   同伦方法  

摘要： 本文，我们研究非线性二阶微分方程x″+f(t，x，x′)=02π-周期解的存在唯一性．在如下假设下(H) f：R×R×R→R是关于t以2π为周期的连续函数，并且关于x，x′是C的，且满足这里N为非负整数，α=(?)(f)，β=(?)(f)，γ=(?)|f′|，利用同伦方法，我们得到上述周期问题2π-周期解的存在唯一性．

关键词： 分数阶导数   分数阶方程组   高阶近似法  

摘要： 近年来,分数阶微积分在许多科学技术领域都发挥重要的作用。特别在生物,工程,物理,金融,水文,分数阶控制,聚合体流变学,黏弹性分数阶导数等领域[1,2,3,4],与整数阶模型相比,分数阶模型的显著优点在于它有着深厚的物理背景。但是,由于缺乏比较恰当的数学方法,对分数阶计算的理论分析和数值方法的研究还是比较困难的课题,因此,开展分数阶微分方程数值方法的研究具有重要的理论意义和实用价值。 本文考虑了分数阶常微分方程组的高阶近似法及其应用。第一章,介绍了分数阶微积分的一些预备知识,并给出分数阶微积分的一些基本定义和性质。第二章,从一般的分数阶非线性微分方程组出发,利用Rieman-Liouville分数阶导数的高阶近似,建立了分数阶微分方程组的高阶差分格式,来解分数阶非线性常微分方程组。第三章,证明了该方法的收敛性和稳定性。第四章,给出数值例子,证实了分数阶高阶近似法是解分数阶非线性常微分方程组的有效方法。

关键词： 格林函数   非平凡解   多点边值问题   不动点指数   拓扑度  

摘要： 本论文主要利用不动点指数理论和拓扑度理论在非线性可变号的情形下讨论了两类二阶常微分方程多点边值问题非平凡解的存在性，得到了一些新的结果。全文共分三章。 第一章简述了研究问题的背景和进展以及本文的主要结果，并给出了本文用到的一些基本定义和定理。 第二章主要运用拓扑度理论和一些分析技巧讨论一类奇异三点边值问题非平凡解的存在性．首先给出了该问题相应的格林函数，讨论了其性质，并处理了奇异性产生的困难，然后在非线性项f可变号的情形下，分别建立了非平凡解、正解或负解的存在性准则。 第三章研究了一类二阶非线性常微分方程四点边值问题单个及多个非平凡解的存在性。所用的主要工具是不动点指数理论和拓扑度理论．

关键词： 多体系统动力学   动态优化设计   灵敏度分析   增广Lagrange乘子法   极大熵法   直接微分法   伴随变量法   混合法   非线性代数方程   常微分方程   微分/代数方程  

摘要： 基于多体系统的设计灵敏度分析和动态优化设计是当前计算机辅助工程的重要内容,前者不仅能够提供系统状态变量、设计目标函数对设计参数的依赖关系,也是联系传统的多体系统动力学分析与系统最优化设计的桥梁。因此,对基于多体系统的设计灵敏度分析和动态优化设计的研究不仅是对传统的多体系统运动学、动力学研究和传统最优化设计研究的丰富和发展,也为基于多体系统的计算机辅助工程提供有效的分析工具。 多体系统运动学、动力学数学模型往往为一组高维、强非线性耦合的代数方程、常微分方程或微分/代数混合方程组,随着设计参数的增加,相应状态灵敏度方程组的维数和方程的复杂程度急剧增加。本文基于通用多体模型,在定义一般起始时间和终止时间条件及设计目标函数的基础上,系统研究了多体系统灵敏度分析与动态最优化设计的理论与方法。 在设计灵敏度分析中,本文分别基于多体系统运动学非线性代数方程模型和动力学常微分方程模型、微分/代数方程模型和带积分形式的通用目标函数推导出系统的一阶、二阶灵敏度分析公式。其中一阶灵敏度分析给出通用的直接微分公式、伴随变量公式并对其进行分析和比较;二阶灵敏度分析首次系统给出各模型的直接微分公式、伴随变量公式,以及在此基础上使用一阶灵敏度分析的直接微分方法和伴随变量方法得到的二阶灵敏度分析混合公式,并对三种方法进行分析和比较。对于每一种多体模型,本文均使用数值算例进行验证和比较,其数值计算结果与理论分析结果相符。 在多体系统动态优化设计中,本文采用具有较快收敛性和较好稳定性的增广Lagrange乘子方法将约束优化问题转化为无约束优化问题进行处理。结合多体系统动态优化设计的特点,首次给出基于多体系统一阶灵敏度分析和二阶灵敏度分析的增广Lagrange乘子法系统的算法设计。对于迭代过程中的无约束优化问题,分别给出基于一阶灵敏度分析的多体系统动态优化设计最速下降法、共轭梯度法以及变尺度法的算法设计和基于二阶灵敏度分析的多体系统动态优化设计改进的Newton法、Greenstadt特征值法、Gill-Murray法以及具有全局收敛性的信赖域法的算法设计,并对这些方法进行分析和比较。对于非光滑约束优化问题,本文采用极大熵方法将其转化为光滑约束优化问题,然后利用增广Lagrange乘子法进行优化设计。最后分别使用曲柄—滑块系统运动学非线性方程模型、五自由度汽车系统动力学常微分方程模型、简单弹射装置动力学微分/代数方程模型进行验证和比较,数值算例优化结果与分析结果相符。

关键词： 稳定性   常微分方程   线性   非线性   矩阵的Lozinskii测度  

摘要： 用常微分方程去描述一个实际系统的变化过程时,由于微分方程往往是在一定的精度下去近似地刻画系统的变化,同时在初始值和参数的测量中也会有误差,且一个实际系统在变化过程中还会受到外界环境的各种干扰,这些因素都会影响系统的变化.在有限时间内初值和参数的扰动对系统变化的影响可以用解对初始值和参数的连续依赖性解决,而时间趋于无穷时初值的扰动对解性态的影响是本文要研究的内容. 实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要从方程本身来判断零解的稳定性.本文在查阅大量资料之后,在武冬、向红军等前人研究的基础上,把Lozinskii测度在常微分方程系统稳定性中的应用作以归纳.首先,介绍稳定性和Lozinskii测度的定义及其重要性质.然后分别从线性和非线性两方面给出常微分方程系统稳定性准则.

关键词： 高效数值算法   BDF方法   EBDF方法   阶条件   绝对稳定区域  

摘要： 刚性微分方程常出现于控制系统、电子网络、生物学、物理、化学动力学以及航天工业设计与连续系统仿真领域中,刚性微分方程与普通微分方程的一个明显差异是它不适宜于用显式方法求解,这就需要用具有较大稳定区域的隐式方法来求解刚性问题。近三十年来,刚性问题算法理论已引起众多学者的广泛关注。其中的重要问题之一是高效数值算法的构造。 本文首先介绍了刚性问题的特性,回顾了适用于刚性问题求解的一些重要算法,包括著名的向后微分公式(BDF)和广义向后微分公式(EBDF),以及简单介绍了近三十年来有关求解刚性问题的构造方法。在此基础上,我们引入了一类新的算法,它是EBDF方法的一般化。通过对局部截断误差分析,我们推导了新方法的阶条件,构造了一族含有两个自由参数的k步k + 1阶方法。 随后,在方法满足零稳定性条件的前提下,通过对两自由参数的选取,寻求具有尽可能大的绝对稳定区域的方法。我们运用计算机搜索的办法,对k = 4,5,6,7,8逐个进行了研究,画出了其对应的绝对稳定区域,并与EBDF方法的绝对稳定区域进行了比较。结果表明所获新方法比EBDF方法具有更大的绝对稳定区域。 最后,我们分别对一维和二维刚性微分方程进行数值试验,验证所获理论分析结果。

关键词： 伸缩坐标法   多重尺度法   重正化群方法   Duffing方程  

摘要： 本文考虑如下常微分方程初值问题：dy/dt+Ay=εF(y)，y(0)=y0，其中ε>0是小参数，A是复矩阵且是可对角化的，F是关于y的向量值多项式函数．我们结合伸缩坐标法和多重尺度法，得到该初值问题一致有效的一阶渐近展开式，并以Duffing方程为例，与通过重正化群法得到的结果进行了比较． 本文由三部分组成．第一章为引言，简要介绍了伸缩坐标法、多重尺度法和重正化群方法等经典的摄动方法．在第二章第一节中利用正则方法给出所考虑初值问题的一阶形式展开，并利用A的特征根，分离出可能产生长期项的项；第二节中介绍了如何利用重正化群方法消除长期项，并得到一致有效渐近展开式；第三节中我们结合多重尺度法和伸缩坐标法，消除一阶展开式中的长期项，并得到一致有效渐近展开式．本文第三章中以Duffing方程为例，对所得结果与已有的结果进行了比较．

关键词： 随机常微分方程   均方稳定性   Milstein方法   Runge-Kutta方法   有根树   随机B级数   刚性方程   随机Taylor级数  

摘要： 本文主要分两大部分：第一部分(第二章和第三章)，我们研究了一类逼近It(?)随机常微分方程初值问题解的分步方法；第二部分也即第四章我们考虑了逼近Stratonovich随机常微分方程初值问题解的随机Runge-Kutta方法．在第二章，我们研究了一类基于Euler方法和Milstein方法的显式分步方法，分析了它们在精度和稳定性上的提高，并分别证明了它们的收敛性．在第三章，针对刚性It(?)随机系统，我们提出了分步向后Milstein方法和分步向后平衡Milstein方法，证明了它们的收敛性，得到了更稳定的结果．在第四章，通过引入更高的确定阶条件和刚性精度，我们构造了一个具有高精度的显式随机Runge-Kutta方法，两个稳定的半隐式随机Runge-Kutta方法和一个稳定的隐式随机Runge-Kutta方法，其中显式方法和第一个半隐式方法适用于非刚性Stratonovich随机微分方程，两个半隐式方法和隐式方法则适用于刚性Stratonovich随机微分方程．

关键词： Kurzweil方程   Φ-有界变差解   连续依赖性   Φ-变差稳定性   脉冲微分系统  

摘要： 本文借助Φ-有界变差函数理论,讨论了Kurzweil广义常微分方程Φ-有界变差解对参数的连续依赖性,首次提出了Φ-变差稳定性概念,并且讨论了Kurzweil广义常微分方程Φ-有界变差解的Φ-变差稳定性,建立了Φ-有界变差解的Φ-变差稳定性、渐进Φ-变差稳定性的Ljapunov型定理.这些结果是对文献[27]中Kurzweil方程有界变差解相应结果的本质推广.最后讨论了Kurzweil广义常微分方程与固定时刻一阶脉冲微分系统之间的关系,并建立了这类脉冲微分系统Φ-有界变差解的局部存在性和唯一性定理.