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关键词： 常微分方程   可积条件   通积分   黎卡提微分方程   第一类阿佩尔方程  

摘要： 给出方程y''=n∑I=0Pi(x)yi可积的一种充分条件和满足条件时通积分的求法,得到了第一类Appel方程的一个便于应用的新的可积性判别法及相应的通积分表达式.

关键词： 破产概率   随机保费   积分-微分方程   常微分方程   指数分布   投资收益  

摘要： 保险有着分摊风险,稳定社会的作用。偿付能力则是确保保险公司正常运营的重要指标,如何衡量偿付能力,使公司在一个稳定的环境下发展是各界研究的一个重要课题,精算学中破产概率问题的研究在偿付能力监管方面有着重要意义,在保险实务中也有着广泛的应用。作为对古典破产概率模型的推广,本文研究带随机保费和干扰的相关风险模型显得更加具有现实意义。 本文考虑的是带随机保费和干扰项的风险模型。本文第一章主要介绍了古典概率模型的相关知识。在第二章第一节介绍了与模型相关的一些知识;第二节作为对古典破产概率模型的推广,用鞅的方法得出了一个与古典破产概率模型相似的结论;第三节运用Cai Jun & Xu Chengming[1]中对模型的处理方法对破产时刻折现做了相关推导,得出积分-微分方程,并在特殊情况下运用经典微分方程的方法得到破产概率的一些性质。在第三章中,运用Cai Jun & Xu Chengming[1]中带干扰项的风险模型的处理方法,类似的将破产分为理赔引起的和干扰引起的两种情况,推导出积分-微分方程。在理赔量和保费量分别服从指数分布时给出了相关推导,得出了具体的三次微分方程。根据YangHailiang对Cai Jun & Xu Chengming[1]的讨论中引入部分投资的想法,本文第三章第二节也做了相关的研究。运用HJB方程对基本模型在部分投资的情况下进行了探讨,推导出积分-微分方程。 本文引入的风险模型对投资环境下的研究在某种程度上讲有着一定的广泛性,其他学者的部分研究成果可以做为本文的特殊情形。希望本文在金融市场逐步打开,保险公司进入混业经营,允许资产投资的大环境下对保险公司的科学经营起到一定的借鉴作用。

关键词： 微分方程   边值问题   正解   脉冲   锥  

摘要： 非线性分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象而受到了越来越多的数学工作者的关注．其中，非线性问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一． 本文利用锥理论，不动点理论等研究了几类非线性微分方程的正解的存在性．全文共分四章． 第一章是本文的绪论部分，简要介绍了非线性泛函分析的起源与发展和本文的主要工作． 第二章研究了下列一阶脉冲周期边值问题：其中0=t12<…m=N，λ∈R\{θ}，N>0，I∈C（R，R），f：[0，N]×R→R在（t，x）∈[0，N]\{t1…，tm)×R上是连续的，f（tk-，x）和f（tk+，x）均存在且有f（tk-，x）=f（tk，x）．记x（tk+）(x（tk-）)为x（t）在t=tk点的右（左）极限，则△x|t=tk=x（tk+）-x（tk-）． 我们通过一个算子B：y→max{y，z0}（其中z0是一个非负函数）来定义映锥到锥的算子，从而利用不动点指数相关理论，得到了一系列正解的存在性结果． 第三章在第二章的基础上继续研究一阶脉冲周期边值问题，得到了多解的存在性结果． 第四章考虑如下四阶奇异半正边值问题：其中f：（0，1）×[0，+∞)×[0，+∞)→[0，+∞)连续，并且在t=0，1处均具有奇性，q：（0，1）→（-∞，+∞）是Lebesgue可积的，并且可以在[0，1]中具有有限多个奇异点． 本章利用锥理论，不动点指数理论和单调算子的有关结论，研究了一类四阶奇异半正边值问题，我们得到了其C2[0，1]∩C4（0，1）正解存在性结果．

关键词： 三阶常微分方程   特征值   正解   多解性   Krasnosel'skii不动点定理  

摘要： 内容摘要:本文研究了常微分方程在下列边界条件之下正解的存在性,其中λ>0,a（t）是定义在（0,1）上的非负连续函数,在t=0或t=1时具有奇异性,F是定义在[0,1]×[0,∞)上的连续函数.此处问题（BVP）(E-G)（i=1,…,7）的正解ui*（t）是指满足ui*（t）>0,0i）(i=1,…,7).本文主要依据Krasnosel'skii锥拉伸与锥压缩型不动点定理.通过变换函数F满足的条件,并选定相应的参数λ的取值范围,在文中第三部分证明了四个定理,保证了方程（E）在边界条件（Gi）(i=1,…,7)下至少存在一个正解.本文第四部分阐述了方程多个正解的存在性,其中定理4.1、定理4.2证明了方程至少存在两个正解;定理4.3、定理4.4证明了方程无穷多个正解的存在性.本文的结果推广了Sun[1]、Yao[5]中相应的结果.

关键词： 常微分方程   教学   比较研究  

摘要： 由于培养目标及生源情况的不同,对数学专业的本科生与专科生的教学内容与教学方法就应有所不同。常微分方程所需的基础知识较多,必须根据学生的不同情况来教学,最大程度地培养学生的解题能力和思维能力。

关键词： 定性理论   高阶Duffing方程   周期解   非线性边值问题   牛顿连续性方法   同伦方法   p-Laplace算子   Leray-Schauder度   Robin边值条件  

摘要： 本文主要分两大部分：第一部分(第二章和第三章)，我们研究了高阶Duffing方程周期解的存在性和惟一性；第二部分也即第四章我们考虑了带有p-Laplace算子的非线性边值问题． 在第二章，我们采用了牛顿迭代法求解高阶Duffing方程，并对牛顿迭代公式进行了改进，从而使它相对于传统的牛顿迭代公式而言，具有较快的收敛性质．在第三章，通过同伦原理，我们针对高阶Duffing方程的周期解问题给出了一个构造性证明.在第四章，对于p-Laplace算子的非线性边值问题，我们证明了一个连续性定理，并且作为对这个定理的实际应用，将其用于解决方程的上下解问题中．

关键词： 数学建模   微分方程模型   初值问题   数值解法   稳定性  

摘要： 微分方程初值问题模型是数学建模竞赛中常见的一类数学模型。对于一些简单而典型的微分方程模型,譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的,并有理论上的结果可资利用。但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型,通常很难,甚至根本无法求出其解析解,而只能求其近似解。因此,研究其数值方法,以便快速求得数值解有其重大意义。针对于此,本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法问题进行了综述研究。主要讨论了针对多种常微分方程模型中数值解法精度比较而言的,某些常用的数值解法:即欧拉法,向后欧拉法,θ—法,改进欧拉法,龙格库塔方法,阿达姆斯外插公式与内插公式等。并通过追溯数值解法的历史,利用数值解法的事例,总结了各类数值解法的优、缺点,为在数学建模及数学建模竞赛中寻求满足各种精度要求的合理算法提供借鉴。文章最后,结合常见的较为典型的运用微分方程模型数值解法的实例,诸如耐用消费新产品的销售规律模型、司机饮酒驾车防避模型的数值解法等,探讨了上述数值算法在实际建模问题中的应用。

关键词： 微分方程   边值问题   正解   半正   无穷区间   锥  

摘要： 非线性泛函分析作为现代数学的一个重要分支，因其能很好的解释自然界中各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的广泛关注．其中，非线性边值由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有着广泛而重要的应用，是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一． 本文的目的是在半序理论的基础上，利用非线性泛函分析方法研究Banach空间中奇异半正微分方程边值问题正解的存在性及无穷区间上常微分方程边值问题正解的存在性．经过深入的研究我们得到了一些新成果，其中一篇已在《高校应用数学学报》发表，另一篇已被《应用泛函分析学报》录用． 根据内容本文分为以下四章： 第一章是本文的绪论部分．主要介绍了本文的研究课题． 第二章我们对具有深刻应用背景的奇异半正问题进行研究．第一节研究了一类二阶导数项系数β<π2的四阶奇异半正边值问题，采用不动点指数定理结合平移变换，得到了其C2[0，1]∩C4（0，1）正解存在的一个判定方法，并进一步改进和推广了有关文献的结果．第二节考虑下列边值问题正解的存在性其中不要求f（t，u）非负，通过将边值问题化为积分方程组，并利用锥上的不动点指数定理，得到了该边值问题正解存在的一个定理． 第三章则对无穷边值问题的正解进行研究．并得到了一些新的结果．并给出了解决这类问题的一种新方法．第一节通过构造特殊的锥，利用不动点指数定理，同时考虑无穷区间的情况，同样获得判定奇异Sturm-liouville边值问题CP1[0，+∞)正解的存在的一种方法．第二节考虑了一类奇异无穷区间边值问题的正解，其中f∈C（[0，+∞）×[0，+∞)×（-∞，0），[0，+∞))，f可在t=0，pu'=0处奇异，同时考虑无穷区间的情况，这是以往文章所没有涉及到的．为了克服上述弱化f条件所带来的困难，我们利用非线性备择性定理来证明本文中的主要结果．

关键词： 初值问题   线性多步法   稳定性   刚性问题  

摘要： 本文在前人对常微分方程初值问题的线性多步法公式状况研究的基础上,进行了进一步的探索研究。在前人提出线性多步法基本公式的概念及已推导出求解常微分方程初值问题的2-3步法全部基本公式的基础上,本文推导了4步法全部基本公式,并对其进行了筛选,选择出收敛公式。并研究了这些公式的误差和稳定性。同时,尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式。本文工作如下: 首先,在前人定义了线性多步法公式的基本概念的基础上,推导出求解常微分方程初值问题的4步法全部基本公式。 然后,运用Matlab数值计算,应用线性多步法公式收敛条件,搜索出4步法全部基本公式中具有收敛性的公式,得到这些公式的分数形式的系数、误差主项系数、阶及绝对稳定区域,绘出其绝对稳定区域的图形,并进行误差及稳定域的研究。 最后尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式——用加权平均方法构造线性多步法公式。同时,给出了构造原理及判断构造公式优劣的标准。在本文中给出了两个构造新的线性多步法公式的数值试验,并对构造生成的新公式的收敛性、稳定性、阶、截断误差主项系数等性质进行分析。经试验证明,这种方法具有可行性,某些所得新公式在求解刚性问题中具有较好实用性。 本文的研究对常微分方程初值问题数值方法及刚性问题的理论和应用研究具有较大意义,在前人的研究基础上,作了进一步的补充和扩展。

关键词： 不可压缩超弹性材料   预存微孔   球壳   有限变形   稳定性  

摘要： 本文基于非线性弹性力学的有限变形理论,将不可压缩超弹性材料组成的球形结构(如实心球体、初始状态含有微孔的球体、球壳)内部的空穴生成和增长问题归结为一类非线性常微分方程的边值问题,并对其进行了比较系统的研究,得到了一些新的理论结果和数值计算结果.主要的工作和结论如下: 1.研究了由各向同性不可压缩的超弹性材料组成的实心球体在给定的表面径向拉伸死载荷作用下的空穴分岔问题.得到了描述球体内部空穴生成和增长的空穴分岔方程.特别地,对于各向同性的Rivlin- Saunders材料,给出了此类材料中有空穴现象出现的条件.证明了空穴分岔方程的非平凡解在分岔点附近可以局部向左或向右分岔,这与其它各向同性不可压缩的超弹性材料中的空穴生成和增长现象有明显的不同.最后,利用最小势能原理分析了空穴分岔方程解的稳定性和实际稳定的平衡状态. 2.研究了在给定的表面拉伸死载荷作用下,由横观各向同性不可压缩的neo-Hookean材料组成的球体内部预存微孔的增长问题.利用材料的不可压缩条件和边界条件,得到了描述拉伸死载荷与微孔增长量之间的平衡关系的方程,并结合数值例图详细讨论了材料参数和结构参数对微孔增长的影响. 3.研究了由横观各向同性不可压缩的Ogden材料组成的球壳在其内、外表面分别受到突加恒定载荷作用下的径向有限变形问题.讨论了材料参数和结构参数对球壳内表面半径增长的影响,同时给出了相应的数值模拟.