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关键词： 高阶常微分方程   反周期解   存在性   唯一性   不动点理论  

摘要： 本文研究高阶常微分方程反周期解的存在性和唯一性.全文共分三章,第一章是绪论,第二章、第三章为论文主体部分. 在第二章,我们把问题转化求算子的不动点问题,然后利用拓扑度理论,证明算子不动点的存在性,从而得到奇数阶高阶常微分方程反周期解的存在性和唯一性.在第三章,我们沿用上一章的基本思路,利用Schauder不动点定理,证明了偶数阶高阶常微分方程反周期解的存在性和唯一性.并且我们还将结果推广至高阶方程组.

关键词： 二阶常微分方程组   有限元法   单元能量投影法   超收敛   自适应求解  

摘要： 自适应求解功能是成功的数值计算方法争相追求的现代目标。自适应分析由程序自动划分网格和控制解的精度,无需人为参与,又有可靠的精度保证,是现代有限元法最新研究的重要方面。本文对有限元线法导出的二阶线性自伴型常微分方程组边值问题(简称线法方程组),建立了基于单元能量投影(EEP)法的自适应有限元求解策略,初步形成了基于EEP法的线法方程组求解器,提高了EEP超收敛算法的通用性和实用性,也为二维结构完整的EEP自适应求解打下了基础。全文的主要工作如下: 1.对线法方程组表示的模型问题,建立了精确单元理论及近似单元的两种EEP超收敛公式——简约格式和凝聚格式。其中简约格式具有强超收敛性,而凝聚格式则可使位移和导数的超收敛解各分量均能达到h2 m阶的最佳超收敛结果,且随着网格加密,凝聚格式超收敛解的精度和有限元结点值相当。该法是EEP超收敛算法在二阶常微分方程组问题上的成功推广,具有和单个常微分方程问题一致的良好性态。 2.基于保值保形的EEP法两种格式的超收敛解,和网格划分的均差法,本文提出了线法二阶方程组的自适应分析策略。其中单步法是基础的网格划分方法,其误差估计和网格划分标准单一,所得网格精简,便于标准化实施。多步法采用灵活的网格划分方式,即对简约格式为自适应分片多项式插值,对凝聚格式为拟有限元插值,一次划分多个单元,网格生成效率高,但对初始超收敛解的保值性和保形性有较高要求。 3.将基于EEP法的二阶方程组自适应分析用于线法程序的方程组求解,对不同的线法网格划分进行有限元求解的探讨,初步形成了基于EEP法的有限元自适应常微分方程组求解器,在Poisson方程、弹性力学平面问题和中厚板弯曲问题上取得了成功。本文方法在精度控制与可靠性上好于常微分方程求解器COLSYS。其中基于简约格式的自适应分析效率高,网格划分精简,但误差估计偏于不安全。而基于凝聚格式的自适应求解误差估计更可靠,更能保证各结线分量的解严格逐点满足最大模误差限,但有时会造成网格冗余。

关键词： 常微分方程   周期解   构造性证明   存在唯一性   同伦延拓法  

摘要： 本文主要研究常微分方程周期解的构造性证明。 周期运动是自然界和人类活动领域中的常见现象,周期问题的研究一直是常微分方程定性理论的中心课题,作为应用的一个重要方面,常微分方程周期解的求解问题也备受关注。在本文中,我们用初值问题方法构造性的证明了几类方程周期解和特殊半周期解的存在唯一性,并利用同伦延拓法给出了计算实例,因此也提供了一种大范围求解这几类方程周期解和特殊半周期解的方法。 李维国通过引入极坐标的方法给出了Newton方程和Duffing方程周期解存在唯一性的构造性证明,这种方法的优点是适用的方程的类型较广,难点是中间过程技巧性强,不易构造;我们针对几类特殊方程的特殊性给出了一种直观而且简洁的证明方法,但是这种方法对方程类型要求的较为苛刻,适用的范围窄。 本文分为四部分,第一章绪论,介绍了常微分方程周期解以及同伦延拓法求周期解的研究现状,并简单介绍了构造性证明的一些情况;第二章讨论了李给出的Newton方程和Duffing方程周期解存在唯一性的构造性证明;第三章用不同于李的方法构造性的证明了三类特殊常微分方程周期解的存在唯一性,并给出了计算实例。第四章用同样的方法讨论了一类特殊半周期解的构造性证明。

关键词： 上下解   拟上下解   初值问题   周期边值   单调迭代方法  

摘要： 本文结合上下解方法,在文献中拟上下解方法的基础上,应用其研究了两类常微分方程. 本文首先介绍了所讨论问题的的背景以及一般的研究方法,给出了一些重要的概念和定理.之后介绍了一阶常微分方程初值问题的上下解方法和上下解存在定理.并利用上下解方法讨论了该方程解的存在性和唯一性. 本文的主要工作是,给出了一阶常微分方程初值问题和一阶常微分方程周期边值问题的拟上下解概念,得到拟上下解存在定理、拟上下解的关系以及最大最小拟解的单调迭代原理,并应用拟上下解方法讨论了上述两类微分方程的解.

关键词： 积分边值问题   拓扑度   脉冲微分方程   不动点定理  

摘要： 近年来,各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关注.非线性分析的地位日益重要,非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一.常用的研究非线性问题的方法大都要求问题本身具有连续性和紧性.很多情况下,要得到问题的正解,还必须对非线性项进行非负的限制.但是,目前在应用中出现的大量非线性问题是缺乏紧性或连续性,并且非线性项很多情况下不能满足非负的要求. 本文利用锥理论,不动点指数等方法讨论了一类带有积分边界条件的微分方程解的存在性.得到了一些新的结果.全文共分三章. 第一章是本文的绪论部分,简要介绍了非线性泛函分析的发展及问题提出的实际背景. 第二章中,主要考虑一类二阶奇异常微分方程积分边值问题,在与对应的线性算子的第一特征值有关的某些条件下非平凡解的存在性.特别地,f不必要求是非负的.利用拓扑度理论给出了非平凡解的存在性,并给出了例子作为主要结果的应用. 第三章我们主要利用Lerary-Schauder型非线性二择一定理及锥中的Krasnoselskii's不动点定理讨论带有积分边值条件的二阶脉冲微分方程非负解的存在性.并给出了几个推论和例子. 本文有别于其他文献之处,主要体现在以下两个方面:首先,形如的比较一般的边值条件还没有讨论过.究其原因,主要是将微分方程转化为积分方程的过程中存在困难.本文正是受文献[1]的启发,克服了这一困难.其次,对于形如的带有两个积分边界条件的脉冲微分方程还很少见.

关键词： 常微分方程   分层教学   三段式  

摘要： 本文针对陕西科技大学"常微分方程"教学的实际情况,提出了三段式分层教学模式,因材施教,注重引导,并且鼓励学生参与课堂,以达到教学目的。对于小课堂的课程,三段式分层教学具有一定的推广性。

关键词： 微分方程   计算机应用   英文  

ISBN: (纸本)9787030234865

摘要： 微分代数方程是一个非常重要的研究方向，目前的科研非常活跃。本书是这一领域具有很高学术水平的著作，对国内从事该领域学习和研究的学生及科研人员将会有很高的参考价值。

关键词： 不动点指数   边值问题   积分边界条件   常微分方程   不动点   非局部边值问题   正解   格林函数  

摘要： 世界本质上是非线性的,研究非线性现象就要用到非线性的理论与方法,于是,各个领域就非线性化起来了,有了非线性力学,非线性光学,…,非线性数学.近代物理学和应用数学地发展,要求分析和控制客观现象的数学能力向着富有全局性的高、精水平发展,从而使非线性分析成果不断积累,逐步形成了现代分析数学的一个重要的分支学科——非线性泛函分析.到上个世纪五十年代,非线性泛函分析已初步形成了理论体系.近年来,由于非线性泛函分析已经成为研究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具,所以对非线性泛函分析及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值. 二十世纪以来,非线性泛函分析的发展取得了重大的突破.1912年***对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年***和***将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来***,***'skii,***,***,***等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究,国内外许多著名的数学家,如郭大钧教授、张恭庆教授、陈文源教授、定光桂教授、孙经先教授、范先令教授、***、***、***、***、***、***、***、***等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就（这方面的内容参见[1-12]）. 目前非线性泛函分析中的方法主要有拓扑度理论、临界点理论、半序方法、上下解方法、不动点理论、迭合度理论、单调迭代方法、拓扑横截度.研究的主要问题为非线性算子方程解的存在性、解的唯一性、多重解、解集的结构、近似解、解的分歧理论,构造收敛于解的迭代算法,非线性算子理论以及对偏微分方程、微分方程、积分方程和微分-积分方程的应用.这些问题都是目前分析数学中研究最为活跃的领域之一.其中,第一,非线性微分方程奇异边值问题.它起源于核物理、流体力学、边界层理论、非线性光学等应用学科中,它是微分方程领域中的一个重要的研究领域,由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有着广泛而重要的应用,也引起了众多数学家的重视.世界上的许多著名的数学家用非线性泛函分析中的理论和方法,对奇异边值问题的解的存在性、唯一性、多解性进行了深入的研究,得到了许多新结果.但由于对奇异常微分方程的研究存在许多困难,所以现在仍然是非线性分析研究的一个较为前沿的方向.第二,常微分方程非局部问题.它是指常微分方程定解问题的定解条件不仅依赖于解在区间端点的取值,而且依赖于解在区间内部的某些点上的取值.尽管理论和应用中的许多问题均可归结为常微分方程非局部问题,但由于非局部问题自身固有的难度,人们对非局部问题的研究起步相当晚.Kiguradze,Lomtatidze（1984）,Il'in和Moiseev（1987）开始研究二阶线性常微分方程多点边值问题解的存在性,此后的十多年间,关于常微分方程非局部问题的研究取得了重大进展,但还是不够完善,它仍然是一个具有浓厚兴趣并可获取有意义的新成果的研究课题.第三,非线性常微分方程组.由于应用数学中许多高阶微分-积分方程、隐形式方程等可通过适当的变量替换转化为微分-积分方程组,因此方程组的研究对于这些方程有一定的作用. 本文目的主要是利用非线性泛函分析的拓扑度理论和锥理论研究了几类非线性微分方程边值问题解的存在性及其应用等.我们得到了许多新的结果,这些结果无论在理论还是实际上都有重要的意义.本文主要内容如下: 第一章给出了非线性泛函分析的一些基本定义和性质,并且给出了后面一些章节要用到的关于不动点存在的几个引理,这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的. 第二章研究下列非线性二阶常微分方程系统的奇异非局部边值问题其中ai∈C(（0,1）,[0,+∞)),ai（t）允许在t=0或t=1奇异;fi:[0,1]×[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞),gi:[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)是连续的且a1（t）f1（t,0,0）或a2（t）f2（t,0,0）在（0,1）上不恒为零;αi≥0,βi≥0,γi≥O,δi≥0,和ρi=αiγi+αiδi+βiγi>0;（?）u（s）dφi（s）,（?）v（s）dφi（s）,表示Riemann-Stieltjes积分,i=1,2.本章给出了上述问题解的积分表达式,并且在非线性项fi和gi（i=1,2）满足增长条件的情况下,利用Leggett-Williams不动点定理,得到了上述问题的至少三个正解的存在性. 第三章研究下列非线性四阶微分系统正解的存在性其中,

关键词： 食饵模型   捕食关系   常微分方程   定性理论   全局稳定性   极限环  

摘要： 近年来，捕食关系是数学与生态学界研究的一个主要课题。捕食者-食饵相互作用关系的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论的一个重要而又广泛的问题，它越来越受到许多学者的关注。本学位论文利用常微分方程定性理论和李亚普诺夫稳定性理论的基本方法，研究了几类模型的平衡点的全局稳定性，极限环的存在性和唯一性。本篇论文由五章构成。\n 第一章简述了问题产生的历史背景及研究意义和本文的主要工作。第二章给出了相关的预备知识。第三章研究一个具有Michaelis-Menten功能反应比率确定的捕食系统模型的平衡点与极限环，得到了该系统正平衡点的全局稳定性以及系统极限环的存在唯一性的充分条件。第四章讨论了具有HollingⅢ类功能性反应基于比率的一类捕食系统，得到了该系统的非负平衡点的稳定性及系统非持久性的充分条件。第五章研究了一类捕食种群被开发的两种群捕食系统，讨论了系统平衡点的行为以及系统的稳定性，得到了闭轨不存在的充分条件，并证明了该系统极限环的存在性与唯一性，进一步分析了最优收获策略问题。

关键词： 群模型   常微分方程   定性理论   生态系统   全局稳定性   极限环  

摘要： 本学位论文利用常微分方程定性理论的基本方法，研究了具功能性反应函数的食饵一捕食者两种群模型的生态系统的平衡点的全局稳定性，极限环的存在性和唯一性.在第一章里介绍了两种群的食饵-捕食者系统的研究现状及研究意义、预备知识和本文的主要研究工作.第二章研究了一类具有相互干扰的食饵-捕食者两种群模型的平衡点的渐近性质，解的有界性，给出了系统的唯一正平衡点的全局稳定性及极限环的存在唯一性的充分条件.第三章研究了一类食饵具有线性密度制约，功能反应函数为非线性函数的食饵-捕食者两种群模型，对模型的平衡点的性态进行了全面的定性分析，得到了系统不存在闭轨线、正平衡点全局稳定、极限环存在唯一的充分条件.第四章研究了一类食饵的密度制约，功能反应函数均为非线性函数的食饵-捕食者两种群模型，通过对系统的全面定性分析，得到了系统不存在闭轨线、正平衡点全局稳定、极限环存在唯一的充分条件.第五章里讨论了一类被开发的食饵-捕食者两种群模型，研究了模型的平衡点的性态，全局稳定性，极限环的存在性及唯一性，获得了一系列较为完整的结论。