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关键词： 半无穷区间边值问题   正解   不动点   锥  

摘要： 本文运用锥上的不动点定理,建立了两类半无穷区间上的常微分方程边值问题多个正解的存在性定理.本文分为以下两章. 第一章中,运用锥上的不动点定理,研究了半无穷区间边值问题多个正解的存在性,其中k : [0,∞)→(0,∞)连续,非线性项f非负. 第二章中,运用Guo-Krasnoselskii不动点定理,研究了半无穷区间半正问题(允许非线性项取负值)多个正解的存在性.

关键词： 常微分方程   泛函微分方程   反周期解   LaSalle平衡振荡定理   Kamke单调性   Nagumo常数   双线性型   Massera准则  

摘要： 本文主要分两大部分:第一部分（第一章）主要介绍微分方程定性理论的发展与背景以及微分方程周期问题与反周期问题的背景及其已有的一些研究成果;第二部分（第二,三,四章）第二章对于方程x'=f（t,x）给出反周期的LaSalle平衡振荡定理,并且利用上下解定义证明了一个反周期解的存在性定理;第三章研究抽象的二阶微分方程x''=f（t,x,x'）, x（t+T）=-x（t）反周期解的存在性问题.同时,利用Leray-Schauder度原理和双线性型引理也考虑方程(p（t）x')'+f（t,x）=0.在Lazer型条件下,建立反周期解的存在性定理;第四章给出泛函微分方程x'=A（t）x_t+B（t）的反周期的Massera准则,并利用反周期的Massera准则证明一类非线性方程反周期解存在性.

关键词： 正解   Green函数   不动点定理   锥   边值问题  

摘要： 微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题。随着科技的发展,在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题。在解决这些非线性问题的工程中,逐渐形成了现代分析学中的一个非常重要的分支——非线性泛函分析,它主要包括半序方法、拓扑度理论、锥理论和变分方法等内容,为当今科技领域中的许多非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程中发挥着不可替代的作用. 20世纪以来,泛函分析逐渐成为研究微分方程边值问题的重要理论基础.事实上,常微分运算和积分运算的共同特征是,它们作用到一个函数后都可以得出新的函数,可以将这些运算统一抽象为算子,泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来的.30年代中期法国数学家勒雷(***)和绍德尔(***)建立了Leray-Schauder度理论。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时,取得了巨大成功,尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用,形成了常微分方程拓扑方法或泛函分析方法。泛函分析方法的核心是不动点定理的建立和应用. 提到泛函分析的方法,不得不提到Green函数.Green函数是研究非线性常微分方程边值问题的重要工具.借助Green函数将微分方程边值问题解的存在性转化成算子不动点的存在性,便于给出边值问题的有解性、多解性以及唯一性条件.对于边值问题解的存在性讨论,只有正解的存在性才有意义。很多作者已经对以下边值问题的正解存在性进行了广泛讨论:其中f∈C([0,1]×[0,+∞),[0,+∞))。 ***在文献[5]中对Sturm-Liouville边值问题一般形式进行讨论,得到正解存在性.对于特殊情况,***和***在[6]研究了下列边值问题:且建立了关于多解性的结论。 上述所涉及的参考文献都有一个共同的条件:∫是非负函数。因为∫的非负性保证相应的积分算子把锥映射到锥上,锥上不动点定理才能被应用.本文在受到文献[9]的启发,在不要求f(t,u)非负的情况下,通过把边值问题转化为积分方程系统,应用不动点定理,研究下列带参数的二阶常微分边界值问题的正解存在性.本文的主要内容如下: 第一章介绍了微分方程边值问题的一些背景和预备知识. 第二章讨论了带参数的二阶Robin问题并且得到上述Robin问题的正解存在性. 第三章讨论了带有两个参数的二阶常微分边值问题并得到正解存在性结论。

ISBN: (纸本)9787030234865

关键词： 常微分方程  

关键词： 常微分方程   教学   比较研究  

摘要： 由于培养目标及生源情况的不同,对数学专业的本科生与专科生的教学内容与教学方法就应有所不同。常微分方程所需的基础知识较多,必须根据学生的不同情况来教学,最大程度地培养学生的解题能力和思维能力。

关键词： 误差常数   相拟合   振幅拟合   振动问题   稳定性  

摘要： 本论文研究常微分方程初值问题Runge-Kutta (RK)和Runge-Kutta-Nystrom(RKN)方法的优化改进,优化的思想有两类：一是方法自身的优化,得到极小化误差常数的RK方法;二是面向问题结构特征的优化,得到求解振动问题的相拟合与振幅拟合的RK型方法、RKN型方法、混合两步型方法以及修正辛RKN型方法. 一阶常微分方程初值问题最常用的一类数值方法是RK方法,理论分析与数值实验表明,对给的的阶,熟知的RK方法并非是最优的,将误差常数(见第二章)极小化,可提高方法的精确程度. 在应用科学与工程中存在大量的振动问题,传统的数值方法在求解振动问题时,计算效果不够理想.针对振动问题的结构特征,已经出现了两类数值方法：常系数和变系数.本论文考虑更新公式中权系数依赖于振动主频率与步长乘积的RK(N)型单步法与混合两步法,应用相拟合与振幅拟合技术,得到求解振动问题的几类优化算法. 本论文分为六章.第一章简要地介绍了求解一阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta方法、求解二阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta-Nystrom方法以及求解Hamilton系统的辛方法;第二章在Buthcher根树及B-级数的基础上引入了误差常数的概念并构造了极小化误差常数的4级4阶的RK方法,数值实验验证了新方法相比于传统方法的优势;第三章引入相误差与相拟合、耗散误差与振幅拟合的概念,以几个经典RK方法为原型,针对一阶振动问题,构造了相拟合及振幅拟合的RK型方法;第四章针对二阶振动问题研究了相拟合及振幅拟合的RKN型方法,第五章对二阶振动问题,讨论了相拟合及振幅拟合的Numerov型混合两步法;第六章,针对振动Hamilton问题,考虑了修正的RKN方法,推导了辛条件,并在此基础上构造了相拟合的修正辛RKN方法. 在第二章至第六章中,相拟合与振幅拟合的新方法与其原型方法相比,代数阶有所下降,但数值实验表明,无论是与原型方法相比,还是与现有文献中的其它一些高性能方法相比,拟合方法都具有更高的计算效率.

关键词： 二阶常微分方程   并行块方法   收敛阶   P-稳定性  

摘要： 二阶常微分方程在天体力学、理论物理与化学、电子学以及偏微分方程的半离散等领域具有广泛的应用。由于二阶常微分方程的复杂性,很难得到理论解的解析表达形式,因此研究二阶常微分方程的数值解法显得十分必要。 本论文主要研究二阶初值问题y (x) = f(x,y)的数值方法及其数值稳定性。首先,我们构造了一类适用于并行计算的并行块方法,分析了该类方法的收敛性,得到其最低可达收敛阶。其次,基于线性试验方程y (x) = ?λ2y,提出了并行块方法的P-稳定性定义,获得了二维、三维和四维并行块方法为P-稳定的充分条件。数值例子验证了理论结果是正确的。

关键词： Existence of solutions   three-point boundary value problems   upper and lower solutions method   Leray-Schauder degree theory  

摘要： In this paper,existence of solutions of third-order differential equation ■with nonlinear three-point boundary condition ■is obtained by embedding Leray-Schauder degree theory in upper and lower solutions method,where a,b,c ∈ R,a < b < c;f :[a,c]×R3 → R,g :R3 → R,h :R2 → R and I :R3 → R are continuous *** existence result is obtained by defining the suitable upper and lower solutions and introducing an appropriate auxiliary boundary value *** an application,an example with an explicit solution is given to demonstrate the validity of the results in this paper.

关键词： 常微分方程   通解   常数  

摘要： 研究了一类二阶可降阶的常微分方程的几种解法,并且采用了数学软件Matlab的方法,使得微分方程的传统解法与现代数学软件相结合。最后,三种方法的结果形式上是一致的。