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关键词： 全光信号处理   全光常微分方程求解   微环谐振器   萨格纳克环  

摘要： 近年来,随着人工智能、大数据、6G以及量子通信等技术的发展,需要用常微分方程（ODE）构建相关复杂的数学模型进行分析与预测。传统的以电子技术为基础的信号处理系统数据处理能力和速度已接近极限,而光信号处理具有较高的带宽且能够极大地突破此极限,因此研究光学常微分方程的求解具有重要的理论和实际应用价值。而常系数线性常微分方程（C-LODE）是其中最基本、应用最为广泛的一类,在这类方程的全光求解方案中,目前存在常系数可调操作复杂、求解形式单一以及无法对高阶进行求解等缺点。针对上述问题,本文提出了两种基于绝缘体上硅（SOI）平台的解决方案,分别为:双可调微环谐振器（MRR）的C-LODE全光求解和双萨格纳克环耦合马赫曾德尔干涉仪（DSMZI）的C-LODE全光求解的方案。具体的研究内容概括如下: （1）本文首先总结了C-LODE的研究现状,主要包括基于法布里-珀罗（FP）腔类型以及基于微环谐振器类型的C-LODE全光求解方案。然后分析了基于SOI光波导理论以及耦合模理论,得出耦合系数和波导结构参数的关系,同时研究了微环谐振器、萨格纳克环这两种器件的传输原理,为后续构建两种全光C-LODE求解方案打下基础。 （2）本文研究了一种基于SOI的双可调MRR的C-LODE全光求解方案,详细设计了该结构方案中的各个单一元器件,分别包括矩形光波导、3d B定向耦合器、热光移相器、以及可调耦合器。通过不同的输出端口分别实现了具有单个系数和两个系数的一阶C-LODE的求解。研究结果表明,该方案系数可调操作简单,运算误差较小,可对两种不同形式的一阶C-LODE进行全光求解。 （3）本文研究了一种基于SOI的DSMZI的C-LODE全光求解方案,解析了该方案的系统传输函数与常系数的关系,分别实现了一阶、二阶以及三阶C-LODE的全光求解。研究结果表明,该方案的器件结构尺寸小、常系数可调范围广、能够实现高阶C-LODE的全光求解功能。 本文的研究结果表明,基于双可调MRR的方案可同时全光求解一阶单系数和双系数线性常微分方程,且误差均小于4%。基于DSMZI的方案器件尺寸小、一阶常系数k的可调范围为0.0015/ps-0.092/ps,二阶常系数p的可调范围为0.013/ps-0.174/ps,q的可调范围为0.00004225/ps2-0.007569/ps2。本文的研究结果在未来的大数据、人工智能以及光量子计算等领域具有广阔的应用前景。

关键词： 博弈论   合作行为   期望特征   奖惩抑制   常微分方程  

摘要： 随着人类社会与科技的进步与发展，合作行为的产生与发展已经成为社会、经济以及生物学等领域十分重视的研究课题。近年来，Win-Stay-lose-Learn规则作为一种有效的策略规则受到了广泛的关注，并且通过在囚徒困境博弈中引入了第三种策略，提出了自愿参与的概念。一些研究表明，在一定的背叛诱惑下，Win- Stay- Lose- Learn规则与自愿参与相结合更能促进合作的产生与发展，在高期望和高背叛诱惑值下，合作者的生存仍然是一个具有挑战性的问题。　　基于以上问题，本文通过考虑个体的期望特征和行为特征，将个体根据期望的不同和具体行为进行划分。当个体期望和行为都是两个类别时，可以将个体划分为四类。在期望可以互相转变、行为可以互相学习的基础上，建立群体演化模型，探究个体期望与合作行为的变化规律，对合作的出现与维持提供一定的解释，为摆脱此类困境提供新的思路。　　在第二章中假设个体态度与个体期望同时发生转变，根据期望的不同讲个题划分为高期望收益者和低期望收益者，考虑公众对高期望收益和作者的奖励，根据不同的态度建立群体演化模型。结果表明，当个体期望发生变化时，高期望收益个作者大量存在，即使背叛诱惑很大时，群体中仍然存在大量的合作者。　　在第三章中假设个体先进行态度的转变，在进行期望收益的变化，在第二章的基础上重新建立常微分方程，结果表明，当奖惩值不变时，低期望收益与高期望收益值相差大于0.5时，群体中四种策略共存。当期望收益不变时，奖惩值越大，高期望收益合作者增加，低期望收益合作者无明显变化。由此可见，该机制可以不同程度的促进合作。

关键词： 循环神经网络   门控思想   常微分方程   稳定性   障碍反散射问题  

摘要： 神经网络是一种具有很强的信息处理能力的网络模型,其在视频分析、机器翻译、图像分类等众多领域中都获得了广泛的应用.这种网络模型的成功之处在于其内部大量复杂的非线性网络层可以在各种抽象层面上提取输入数据的特征信息.然而,由于神经网络的参数多,结构高度复杂,导致其可解释性较差.这使得利用完备的数学理论来分析神经网络的内部结构逐渐成为机器学习领域中的热点问题.因此,本文的重点是将神经网络解释为离散的微分方程,并基于微分方程的稳定性理论对神经网络进行稳定性分析.考虑到神经网络和微分方程之间的联系,本文提出条件稳定的GUEM和无条件稳定的RUEM两种网络单元.首先,简述循环神经网络和常微分方程的关系,并利用循环神经网络中的门控思想和微分方程中的前向欧拉法分别设计GUEM和RUEM两种网络单元.其次,在无输入变量下根据微分方程中的稳定性判断定理分别对两种网络单元GUEM和RUEM进行稳定性分析,并分别在二维空间和三维空间中进行稳定性的数值模拟.最后,基于提出的两种网络单元GUEM和RUEM分别搭建两种单层的序列到序列的循环神经网络GUEM-RNN和RUEM-RNN.为验证所提出的GUEM-RNN和RUEM-RNN的有效性,本文将这两种循环神经网络分别用于求解障碍反散射问题.本文选择将远场数据和截断的障碍物边界曲线方程的傅里叶系数分别作为神经网络的输入序列和输出序列,并利用均方误差函数和Adam优化算法来更新神经网络中的权重和偏置,以使得神经网络能够较为精确地重构障碍物的形状.数值实验表明GUEM-RNN和RUEM-RNN均可以有效地解决障碍反散射问题,并具有收敛速度快等优点.此外,在远场数据含有少量噪声的情况下,GUEM-RNN和RUEM-RNN也能够对障碍物形状进行较好的重构.

关键词： 常微分方程   建构主义   变量变换  

摘要： 作者对《常微分方程》教材中的一些案例进行了研究,用合理的数学方法探索并揭示了案例中变量变换的来源,让读者感受知识建构的过程,从而激发读者对数学专业知识学习的热情。

关键词： 线性分数阶常微分   分段三次插值   高阶数值格式  

摘要： 通过分段的三次插值公式近似Caputo型分数阶导数,从而构造了线性分数阶常微分方程的高阶数值格式,接着给出了构造的数值格式的截断局部误差估计,在最后部分我们举出数值算例证明理论分析的正确性。

关键词： 常微分方程   课程思政   思政元素   探索  

摘要： 常微分方程是数学与应用数学专业核心课程,它不仅有丰富的理论知识,还具有广泛的应用性,在培养学生思维能力、计算能力、应用能力和创新能力等方面具有重要作用。为了更好地落实立德树人根本任务,将价值塑造、知识传授和能力培养三者融为一体,在常微分方程课程中开展课程思政教育势在必行。本文从课程思政的理念出发,结合教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》对理工类课程进行课程思政给出的指导,从数学文化、课程内容、一些实际应用题、信息技术等方面就如何在常微分方程课程中融入思政元素进行了探索,切实渗透育人理念,对学生进行思政教育。

关键词： 类比法   二阶线性齐次常微分方程(组)   特征函数法   降阶法  

摘要： 将类比法应用于二阶线性齐次常系数常微分方程和常微分方程组的解析求解.分别基于特征函数法和降阶法给出其形式解,然后详细证明了两类形式解的等价性;本文为大学数学的常微分方程类比法教学提供了一个成功的案例.

关键词： 常微分方程   生物数学建模方法   教学研究  

摘要： 本文首先介绍了常微分方程的重要性,并对常微分方程教学中存在的问题进行了简单分析。随后,就如何在常微分方程教学中融入生物数学建模方法进行了深入探讨。在常微分方程教学过程中,教师可以遵循生物背景-实际提问-建模思路-分析方法等流程将生物数学建模方法巧妙的融入常微分方程概念教学和定理教学等各个环节。在常微分方程教学中融入生物数学建模方法,不仅有利于提高学生对常微分方程知识体系的理解,而且有利于培养学生对生物数学建模的兴趣,为将来应用常微分方程定性和稳定性的科学研究提供方向引导。

关键词： 常微分方程   课程思政   数学与应用数学专业   师范类专业   初等数学   骨干教师   教学方法   师范生  

摘要： 分析师范类专业认证背景下常微分方程课程教学存在的问题,根据师范类专业认证理念以及数学与应用数学专业(师范类)培养目标,对微分方程课程的教学内容、教学方法、课程评价方式等方面的改革进行了探究。注重常微分方程与初等数学的融合、案例分析融入课程教学、“课程思政”融入课堂,采用线上线下混合式教学,改革对学生学习的评价方式,以提高师范生的综合素质,达到培养骨干教师的目标。

关键词： 中学物理   运动轨迹   带电粒子   突破教学难点   洛伦兹力   匀速圆周运动   常微分方程   匀速直线运动  

摘要： 带电粒子在速度选择器中的速度大于或小于E/B时,其运动轨迹是圆摆线,一般的处理方法是将运动轨迹分解成匀速直线运动和匀速圆周运动。很多学生对此感到困惑:这样的分解真的合理吗?当粒子偏转时,电场力做功,速度发生变化,洛伦兹力的大小和方向也都发生变化,这难道不会对圆周运动轨迹的半径产生影响吗?关于这个问题,网上亦有相关证明,但都是利用微积分和常微分方程解决,超出学生的认知水平。下面,探讨如何帮助学生运用中学物理知识分析这个问题,进而突破教学难点。