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关键词： 随机哈密顿系统   常微分方程   辛几何方法   伪辛几何方法  

摘要： 论文主要研究随机哈密顿系统的辛几何方法和伪辛几何方法，并通过数值试验验证了算法的可行性等。首先，对于随机哈密顿常微分方程，给出伪辛几何方法的定义。基于已有的辛几何方法，分别针对可加噪声和可乘噪声两种噪声项形式，构造了几类完全显式的伪辛格式，给出了方法的均方阶和伪辛阶。通过数值试验，验证了伪辛方法对方程守恒量的保持能力和长时间计算的稳定性。与辛方法相比，伪辛方法作为显式格式，具有计算存储量小，易于实现的优点，而且数值特性与辛方法相似。\n 其次，对于此类随机哈密顿系统，我们在弱逼近的意义下，给出了弱伪辛几何方法的定义，并构造了针对不同形式的噪声项的弱伪辛方法。弱方法作为Montecallo逼近的先决条件，在实际问题的近似求解中有着广泛的应用，但是对于一般形式的哈密顿系统，弱辛方法也多为隐式方法。我们给出的弱伪辛方法却是完全显式的数值方法，这就给实际计算带来很大便利。并且，通过对两类随机振子的数值试验，我们发现，弱伪辛方法在对方程守恒量的保持和长期稳定性方面有较好的表现。\n 最后，我们主要针对随机非线性薛定谔方程进行了辛几何方法和伪辛几何方法的研究。利用不同的空间离散格式，找到了此类方程的两种标准哈密顿形式，以随机哈密顿常微分方程的辛方法和伪辛方法为基础，构造出对于这类偏微分方程的辛方法和伪辛方法，并从理论上证明了辛格式在可乘噪声情形下保持离散的模方守恒律。通过与一个守恒型格式进行数值比较，分别考察了方法对于孤立波解的演化，模方守恒律和能量变化趋势的数值性态，验证了随机辛方法与伪辛方法的数值优越性。

关键词： 四阶常微分方程   边值问题   正解存在性   Sturm-Liouville型   不动点定理  

摘要： 常微分方程边值问题在理论和应用上，都有着非常重要的作用，它可以用来描述很多物理、生物和化学现象。目前，对常微分方程边值问题的研究大部分集中在二阶常微分方程两点边值问题或多点边值问题，并且边值条件大都为简单的类型，而研究高阶且复杂边值条件的常微分方程边值问题的文章还较少。\n 本文研究了三类广义的Sturm-Liouville型四阶非线性常微分方程边值问题，主要是针对广义的Sturm-Liouville型边值条件，在非线性项满足不同的条件或奇异等假设前提下，利用不同的证明方法，分别得到了三类四阶非线性常微分方程两点或四点边值问题正解的存在性结果、唯一存在性结果及多重正解性结果，从而获得了四阶边值问题有关于正解存在性的一些新的研究成果。本文共分为五章，第一章为绪论，叙述了本文所研究的四阶微分方程边值问题的研究背景、研究意义、本文所要研究的内容、研究方法以及处理此类问题时需要的一些定义与引理。第二章，利用Leray-Schauder不动点定理和Banach压缩映像原理，讨论了一类四阶四点边值问题正解的存在性与唯一存在性结论。第三章中，我们在非线性项满足四种非线性条件下研究了一类四阶两点边值问题正解的存在性，首先应用Krasnosellskii不动点定理得到该问题至少一个正解的存在性结果；再运用Krasnosellskii不动点定理的推论获得了该问题至少两个正解的存在性结果。在第四章中研究了一类四阶奇异常微分方程的边值问题，应用指数不动点定理和Leggett-Williams不动点定理给出了该问题至少一个和至少三个正解的存在性结果。第五章为结束语，对全文的内容进行总结，并对未来的工作进行设想。

关键词： 常微分方程   物理学   化学   管理学  

摘要： 在简要概括了常微分方程的相关概念和主要应用的前提下,运用常微分方程的相关知识,针对物理学、化学、管理学等三门学科,分别选择出各个学科的某一个重要问题,较为深入地讨论了建模思路。

关键词： 少节点基因调控网络   鲁棒性   周期振荡   混沌现象   常微分方程  

摘要： 近年来，随着复杂网络的研究深入，复杂系统的鲁棒性（Robustness）特征成为人们越来越关心的主题。鲁棒性一般定义为在一定的扰动或不确定性下系统的特有行为还能够恒稳地维持（即保持稳定或动态稳定）。一直以来人类最为关心的是自我的生存问题，因此，生命体的生长和发育过程中表现出的鲁棒性是人们研究的基本问题，如受精卵发育为正常个体的定向有序性、适应性的昼夜节律特征等。由于生物体结构过于复杂，它跨越宏观与微观两层次，直到20世纪中叶以后，定量的实验研究才随实验技术的进步而大规模地进行。人们也才逐渐认识到基因的表达在调节生命活动中充当着重要角色--所有的生理过程都是受基因调控下的复杂生化网络。研究的深入也逐渐清楚一些系统各步骤反应的具体机制，同时获得了海量的实验数据。这为数学模型化解释各种系统现象提供了坚实的基础，理论生物学因此迅速发展起来。\n 本论文主要讨论在任意的少节点基因调控网络中是否具有高度的鲁棒性，特别是调控系统的周期振荡与混沌行为是否容易出现。为什么要讨论振荡与混沌呢？这是因为一个振荡信号可携带更丰富的信息（它的周期，相位等），而不仅仅是一个强度转移。无论如何在物理学和生物学中振荡波是发送信号最普遍的方式。因此，振荡能实现生物某些特定功能，如生物昼夜节律、细胞周期分裂等。而混沌是大多数生物过程所排斥的，它们需要有序稳定而非混乱。论文中我们先介绍基因调控网络的基本知识与研究进展，然后从两个一般化的无延时常微分方程模型出发，通过大量数值模拟，统计讨论联合调控系统出现周期振荡与混沌的概率性问题。我们得到如下结论：\n 一，通过穷举模拟所有不同构3节点网络，统计得出绝大部分构型是到达稳定态，周期振荡仅仅是少量构型的在某些参数下的行为，同时所有构型都没有发现混沌现象。在对可周期振荡的构型分析发现其都至少具有一个负反馈环。这证实了无延时网络产生振荡的必要条件是存在负反馈环。\n 二，探讨更多节点的网络（4、5、10个节点）的行为。我们随机生成大量拓扑构型来数值模拟，发现周期振荡依然是低概率性的，但是混沌现象不再是零概率事件。在统计5节点、10节点各2万个随机构型中我们得到了少数几个具有混沌行为的构型。说明生物调控系统中，混沌现象不是绝不能出现的，只是一个极低概率的事件。另外，我们发现混沌可以由系统耦合项中的参数改变引起倍周期分叉而产生，同时对部分构型的分析表明混沌的参数区域非常狭窄。\n 由于调控系统模型是非线性的，我们的常识认为，这样的微分系统在三维以上是很容易观察到周期振荡与混沌现象，但是模拟结果却与之相反。对此，我们的解释是：一，正反馈环与负反馈环的耦合作用只有被特别地设计时，周期振荡性与混沌性行为才能出现；二，微分方程调控模型的参数空间是生物上有意义的。它们使得调控系统的强稳定性，只有特别的行为才设计为具有周期振荡，同时需要有序而强烈排斥混沌行为。这可能是生物系统长期演化的结果，使其远离了振荡与混沌域。

关键词： 常微分方程   再生核   迭代方法  

摘要： 充分运用再生核的技巧,给出了一类常微分方程边值问题的精确解的级数形式表达式,为了得到边值问题的近似解,描述了迭代解法并进行了理论分析。本方法的优点在于构造了新基底,绕过了求施密特正交化的麻烦。通过数值例子验证了该方法不仅有效而且高精度。

关键词： 高阶微分方程组   正解   锥   不动点定理  

摘要： 利用锥上的不动点定理,研究了带有独立参数的非线性2p-2q阶常微分方程组正解的存在性和多重性.如果非线性项满足一定条件,而参数λ和μ分别属于适当的区间时,得到了方程组分别至少有一个正解及两个正解的存在性结果.这一结果从方程组的高阶与不同阶以及两参数的独立性两方面对已有结果进行了推广.

关键词： 再生核   非线性   收敛性  

摘要： 在再生核空间中给出了一种求解二阶非线性常微分方程初值问题的数值解法,并证明了该方法的收敛性.

关键词： 常微分方程   特征值   求解器  

摘要： 许多工程计算归结为常微分方程(ODE)特征值问题.近代的高效能的ODE求解器为一般的线性及非线性ODE问题的求解提供了强有力的武器,但通常不具备求解特征值问题的功能,难以直接应用.本文提出了一个用标准的ODE求解器求解ODE特征值问题的算法,使得大批ODE特征值问题能够凭借ODE求解器的功效得以方便有效、精确可靠地求解.

关键词： 数值分析   分数阶微分方程   Caputo导数   显式方法   误差分析   稳定性  

摘要： 利用Caputo导数的性质和求解普通积分方程的Admas技巧,得到一种求解一类分数阶微分方程初值问题的显式方法;证明了其整体误差估计为O(hθ),θ=min{α,2},并进行了稳定性分析。该方法在α>1时比已有的几种显式方法具有更高的数值精度和收敛阶。

关键词： 一类常微分方程   特征值   上界   估计  

摘要： 考虑一类常微分方程特征值的上界估计,利用分部积分、Rayleigh定理和不等式估计等方法,获得了用前n个特征值来估计第n+1个特征值的上界的不等式,其估计系数与区间的几何度量无关,其结果在物理学和力学等领域中应用广泛。