教学课程资源库 更多>>

关键词： 常微分方程   教材   高等学校  

ISBN: (纸本)9787030265111

摘要： 本教材是一本理论、方法、应用、建模、计算机软件包相结合的教材，为培养学生的数学思维能力、数学应用意识、数学软件包的使用能力提供基础。本教材的主要特点如下：（1）加强数学基础理论的训练；（2）广泛介绍各种方法和思想；（3）将微分方程课程的理论、方法和其在解决实际问题中的应用紧密结合，根据目前教学中对应用重视不够的特点加强数学应用意识的培养，注意建模过程的训练，训练下列生动典型的例子：中国人口增长，赝品的鉴定，放射性废物的处理，Tacoma大桥的倒塌等；（4）计算机及软件包的使用。在课程中尽量使用计算机和数学软件包，如向量场的图示、积分曲线的绘制等；在迭代序列的计算和近似解中的大量使用，不仅使学生  更多...

ISBN: (纸本)9787302231776

关键词： 奇异Sturm-Liouville边值问题   微分方程组   正解   Riemann-Liouville分数阶微分方程   上下解方法   单调迭代方法  

摘要： 二十世纪以来,在数学,物理,化学,生物学,医学,经济学,工程学,控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题,在解决这些非线性问题的过程中,逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支——非线性泛函分析.1912年L. E. J. Brouwei对有限维空间建立了拓扑度的概念,1934年J. Leray和L. Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场,后来***, M. A. Krasnosel'skii, P. H. Rabinowitz, H. Amann, K. Deimling等对拓扑度理论,锥理论及其应用进行了深入的研究,国内张恭庆教授,郭大钧教授,陈文源教授,定光桂教授,孙经先教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成绩(这方面的内容参见[1-9]). 目前非线性泛函分析中的方法主要有拓扑度理论,半序方法,上下解方法,不动点理论,单调迭代方法等,为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具,尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用. 本文主要利用非线性泛函分析的上下解方法和单调迭代方法,研究了一类四阶和二阶微分方程组的奇异Stuim-Liouville边值问题的正解的存在性及类Riemann-Liouville分数阶微分方程的初值问题解的存在性.主要内容如下： 本文第一章给出了非线性泛函分析的一些基本定义和性质,并列出了后面两章用到的关于不动点存在的几个引理,这些引理在本文主要结果的证明中是至关重要的. 第二章考虑了下述四阶和二阶微分方程组的奇异Sturm-Liouville边值问题：其中f,g,ai,bi,ci,di(i=1,2)满足假设： (H1): ai,≥0,bi≥0,ci≥0,di≥0,ai+bi>0,ci+di>0, pi=aici+aidi+bici>0,i=1,2. (H2):f∈C((0,1)×(0,∞)3,[0,∞)),g∈((0,1)×(0,∞)2,[0,o∞)), f(t,1,1,1).9(t,1,1)∈C(0,1),(t,1,1,1)>0.g(t,1,1)>0,t∈(0,1), f(t,x1,x2,x3).g(t,x1,x2)可能在x1=0,x2=0,x3=0,t=0及t=1奇异. 本章利用上下解方法,给出了上述奇异边值问题正解存在的一个充分必要条 件. 第三章利用上下解方法和单调迭代方法研究了Riemann-Liouville分数阶微分方程的初值问题：其中,0

关键词： 分数阶微分方程   中立型比例延迟微分方程   变分迭代法   Caputo导数   收敛性  

摘要： 近二三十年来,分数阶微积分在许多领域(如色噪声、控制理论、混沌等)得到了广泛的应用。由于许多分数阶微分方程的解析解是由比较特殊的函数表示的,而要具体地求出这些函数的数值比较困难,而且许多方程无法求其解析解,因此,这使得求其近似解析解或数值解成为必要。中立型比例延迟微分方程广泛出现在物理,生物等领域,它可以模拟许多真实世界的现象。近几年来,关于它的求解问题引起了许多学者的关注。 尽管变分迭代方法(VIM)已成功用于多种微分方程、积分方程、积微分方程问题的解析或近似解析求解,但对其收敛性的研究工作却较少。本文利用变分迭代法求解Caputo分数阶常微分方程初值问题和中立型比例延迟微分方程初值问题。证明了变分迭代方法求解这两类方程初值问题是收敛的。通过数值实验,表明了变分迭代方法求解这两类方程的初值问题是有效的。

关键词： 常微分方程   数值分析   解有界性   辅助函数  

摘要： 随着科学技术的飞速发展，特别是计算机和互连网的广泛普及，常微分方程与微分系统的研究得到了很大的发展，它的研究成果在图象处理，密度分析，分子进化论和基因序列等很多领域中都有着广泛的应用。常微分方程与微分系统的解的性态的理论现在已经成为数学学科中一个非常重要的理论组成部分。近年来，有关它的理论被越来越重视。　　 本文借助于辅助函数，利用一个推广的Bellman-bihari积分不等式，讨论了二阶与n阶时滞微分方程解的有界性和平方可积性以及n维微分系统解的有界性与Lipschitz稳定性，所得结论是对现有结论的改进。本研究分为四个部分：第一章绪论。概述了本文讨论的主要问题的发展状况与本文工作的意义;第二章研究一类具有n-1个时滞的二阶微分方程解的有界性和平方可积性;第三章研究了一类n阶时滞微分方程解的有界性和平方可积性;第四章研究了n维非线性微分系统解的有解性与一致Lipschitz的稳定性。

关键词： 常微分方程   延迟微分方程   变延迟微分方程   中立型延迟微分方程   样条   配置方法   绝对稳定   A稳定   P稳定  

摘要： 本文研究求解常微分方程初值问题和延迟微分方程初值问题的三次样条配置方法。主要结果如下： (1)构造了求解常微分方程的三次样条配置方法，获得了该方法的局部截断误差估计及收敛性、相容性结果，研究了该方法的线性稳定性，同时还获得了该方法基于Lipschitz条件的非线性稳定性结果． (2)构造了求解延迟微分方程的三次样条配置方法，获得了该方法的局部截断误差估计及收敛性、相容性结果，也研究了该方法的线性稳定性，同时还获得了该方法基于Lipschitz条件的非线性稳定性结果． (3)进行了多个数值试验，其结果充分验证了上述理论的正确性，同时还将三次样条配置方法应用于求解变延迟及中立型延迟微分方程初值问题，获得了满意的数值结果。

关键词： Bernstein多项式   三次多项式样条   B样条   边值问题  

摘要： 科学和工程技术中的许多实际问题都可以转化为微分方程的求解问题,而大部分的微分方程很难求出其解析解,因此,微分方程的数值解法的研究就具有重要的意义。由于样条函数具有许多好的性质而被广泛用于数值逼近、计算几何和微分方程数值解等领域。本文主要任务是利用几类样条函数来构造常微分方程的数值解。 本文章节内容安排如下: 第一、二两章介绍了本文的研究背景、几类样条函数和几种经典的微分方程数值解方法。 第三章在总结了近年来Bernstein多项式在微分方程数值解中的应用的基础上,用Bernstein多项式构造了一类两点边值问题方程组和奇异边值问题的数值解法,并用数值实例说明方法的有效性。 第四章总结了已有的两点边值问题的数值解法,在此基础上,给出了一类带有小参数ξ的两点边值问题的三次多项式样条解法,并分析了截断误差,用所给的方法计算了相关参考文献中的数值例子,与其他方法的结果进行了比较。 第五章讨论了高阶微分方程的数值解法,主要是对已有的方法特别近几年的新方法作了总结,在此基础上,给出了任意高阶微分方程的一种三次B样条解法,用所给的方法计算了参考文献中的数值例子,与已有的结果进行了比较,说明本文方法的有效性。 第六章总结了全文并进行了展望。

关键词： 四阶常微分方程   Silva型的环绕定理   RabinowitZ型的山路引理   Ambrosetti-Rabinowitz型超二次位势   周期解  

摘要： 通过具有四阶色散的光纤的脉冲传播可以表示为广义非线性薛定谔方程在实际中,人们感兴趣的是发现方程(1)的形如的解.此时方程(1)可以转化为近二十年来人们利用临界点理论,取得了许多非常可喜的结果([2]-[4],[9],[10],[12],[13]和[14]等) 更一般地,在本文中我们主要研究四阶常微分方程的周期解的存在性,其中A>0,B>0,f(t,u)∈C(R×R,R),F(x,u)=∫0uf(x,s)ds具有Ambrosetti-Rabinowitz型超二次条件,即存在常数θ>2,使得0<θF(t,u)≤uf(t,u),(?)t∈R,u∈R\{0}.这里 为此,我们先研究下列边值问题若得到了该问题的解u=u(t),则根据条件(F0) f(t,0)=0,f(t+2T,u)=f(t,u), f(t,-u)=-f(t,u),(?)t∈R,u∈R.在区间[-T,T]上作奇扩充显然u=u(t)在R上的2T周期扩充即为方程(Ⅰ)的2T周期解.而为了研究问题(P)的解的存在性,我们转化为讨论定义在空间上泛函的的临界点,容易证明该临界点即为边值问题(P)的经典解.其次,当T>T1时,利用环绕定理可知方程(Ⅰ)至少有一个非平凡解;当0

关键词： 非多项式样条函数   常微分方程   两点边值问题   障碍边值问题   收敛性分析   T-PBVP  

摘要： 对于常微分方程的BVP(Boundarv Value Problem)数值解法的研究及应用,是近几十年研究的热点问题。其数值解法层出不穷,主要有基于多项式样条函数的数值解法、基于非多项式样条函数的数值解法、有限差分法、配置法、B-样条函数法等。\n 本文通过对样条函数基函数的不同选取,构造出了一类新的带有指数函数、三角函数、多项式函数的非多项式样条函数,并且将该非多项式样条函数用来求解两类常微分方程边值问题,一类是OBVP(Obstacle Boundary Value Problem),一类是T-PBVP(Two-PointBoundary Value Problem)。给出求解的递推公式,并进行了相应的误差分析和稳定性分析。结果显示该方法的局部截断误差为0(h6),整个区间绝对误差为0(h2),并且是二阶收敛的。通过数值例子,对两类常微分方程的边值问题进行数值求解,利用Matlab编程计算出绝对误差,画出误差分析图。其数值试验结果体现了基于非多项式样条函数的数值解法的优点。