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关键词： DIFFERENTIAL equations   QUADRATIC equations   PERTURBATION (Mathematics)   FRACTIONAL calculus   NORMAL forms (Mathematics)   HOMOGENEOUS polynomials  

摘要： Real two-dimensional autonomous systems of ordinary differential equations whose unperturbed parts are vector homogeneous polynomials of the second order are considered. As to perturbations, they are formal vector power series whose expansions don't contain members of order less than three. A normalization of the unperturbed part of the system is presented. Namely, nine-teen classes of equivalence of vector homogeneous polynomials with respect to any linear invertible transformations have been founded. Each class is represented by a canonical form, i.e. by a polynomial of the special representation having the maximal number of zero coefficients. Generalized normal forms for five types of systems whose unperturbed parts are degenerate canonical forms are explicitly given. These normal forms can be obtained by almost identical formal transformations. [ABSTRACT FROM AUTHOR]

关键词： 经验似然   微分方程模型   局部多项式估计   经验似然比  

摘要： 微分方程模型广泛应用于很多科学领域,包括工程学、物理学和生物医学。所谓“正向问题”就是参数已知的微分方程模型的状态变量的预测和仿真问题。这类问题被很多数学家、工程师、物理学家及其他一些科学家研究。但是,“逆向问题”,即有测量误差的状态变量已知的参数估计问题还没有被广泛研究,不过基于最小二乘的方法已经被讨论过。本文中,我们采用经验似然方法对常微分方程模型的参数进行推断。状态变量有测量误差,采用局部线性估计方法和局部二次多项式估计方法分别估计状态变量及状态变量的导数。现将主要内容概述如下： 第一章简单介绍经验似然的基本知识和局部多项式估计的基本知识。还讨论了关于“倒向问题”的研究现状及背景。 第二章主要针对参数方程模型的参数进行经验似然推断。“正向问题”是在参数已知的情况下根据模型去预测和仿真一般方程模型；而“倒向问题”的前提是参数未知,状态变量已知,但是状态变量有观测误差。这里主要采用统计方法针对“倒向问题”对参数做推断。首先,因为状态变量不可观测,需要根据带有噪声的数据进行估计,采用局部线性估计和局部二次多项式估计分别估计状态变量及其导数。然后对参数方程模型的参数进行经验似然推断,构造经验似然比统计量,并讨论估计量的渐进分布,在此基础上构造给定置信水平下的置信区间估计。 第三章主要针对变系数的半参数方程模型进行经验似然推断。关心参数的统计推断,但是有讨厌参数,即未知函数θ(t),有必要对非参数部分θ(t)进行估计。先假设参数β已知,采用局部多项式进行估计,用β表示未知函数θ(t),然后带入模型对参数进行统计推断。采用经验似然方法进行参数的统计推断,构造profile似然比统计量,然后讨论统计量的渐进分布,并给出给定水平下的置信区间。 第四章对比经验似然和最小二乘方法。给出了参数模型和半参数模型的模拟结果,并通过覆盖率和平均区间长度比较两种方法。 第五章对第二章和第三章的渐进结果理论给出了证明。

关键词： 常微分方程-研究  

摘要： 本书共分为四章，主要内容包括：常微分方程中体现的数学思想；常微分方程体现的哲学与美学思想；常微分方程学习和研究中的主要方法等。

ISBN: (纸本)9787030275066

关键词： 数值解法   初值问题   刚性方程   符号解   定轨  

摘要： 自然界与工程技术中的很多现象,其数学表述归结为常微分方程定解问题。很多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此,常微分方程的数值解法是微分方程数值分析的基础内容。针对于此,本文对常微分方程初值问题模型现有的数值解法进行了研究,主要讨论了某些常用的数值解法,如欧拉法、梯形法、θ-法、改进欧拉法、Runge-Kutta方法、Adams多步法等,简单介绍了刚性方程,并对常微分方程的符号解做了初步探讨。而且通过追溯数值解法的历史,利用数值解法的示例,总结了各类数值解法的优、缺点,最后,探讨了上述算法在航天测控领域中轨道计算方面的运用。

关键词： 常微分方程   常微分方程模型   稳定性   常微分方程建模   数学模型   平衡点  

摘要： 众所周知,自然界中一切物质都按照自身的规律在运动和演变,不同物质的运动规律总是在时间和空间中运动着的,虽然物质的运动形式千差万别,但我们总可以找到它们共性的一面,即具有共同的量的变化规律。为了能够定性和定量的研究一些特定的运动和演变过程,就必须将物质运动和演变过程中相关的因素进行数学化。这种数学化的过程就是数学建模的过程,即根据运动和演变规律找出不同变量之间互相制约、互相影响的关系式。由于大量的实际问题中,稍微复杂一些的运动过程往往不能直接写出他们的函数,却容易建立变量及其导数(或微分)间的关系式,即微分方程。微分方程描述的是物质运动的瞬时规律。将常微分方程应用于数学建模是因为常微分方程理论是用数学方法解决实际问题的强有力的工具,是一门有着重要背景应用的学科,具有悠久的历史,系统理论日臻完善,而且继续保持着进一步发展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题中。 作者通过查阅近几十年来的参考文献或书籍资料,对常微分方程在数学建模中的应用进行了详尽的综述。主要内容包括以下几个方面： 1.数学模型和常微分方程的发展情况。介绍了数学模型在不同学科与针对不同实际问题而产生的不同的定义,以及根据不同标准进行的详细分类；简要给出了数学建模的具体步骤以及每个步骤中需要解决的关键问题,其中采用的方法中最主要的就是使用常微分方程理论；最后通过讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度这一实例给出了如何使用数学模型结合常微分方程理论解决实际问题的示范。 2.详细介绍了常微分方程建模的原理、主要方法和步骤。介绍了常微分方程建模的具体步骤,几种主要方法和注意事项；给出了一阶常微分方程建模的两个典型实例,打假问题模型和商业广告模型,通过这些实例详细演示了常微分方程建模的步骤与方法在实际问题中的应用；第二,介绍了一阶非线性常微分方程模型,研究了最速降线和单种群密度制约两个经典问题的数学模型的建立。将数学建模的几个主要步骤具体应用到实际问题中得到了基于常微分方程的数学模型。第三介绍了二阶常微分方程模型,包括追击问题和振动问题的数学模型建立,构建了二阶的追击运动轨迹模型和弹簧振子的二阶线性微分方程模型；并考虑共振问题中有阻力和无阻力的两种应用。 3.介绍了常微分力程模型中的稳定性问题。首先介绍了常微分方程中的稳定性基本理论,分别介绍了一维和二维动力系统中的平衡点与稳定性理论,以及非线性系统线性计时系统的稳定性；其次介绍了捕鱼持续收获模型和种群相互竞争模型的构建,重点进行了模型的稳定性分析与问题的求解。

摘要： This thesis focuses on an active area in mathematics applied to biology, namely the modelling of genes interactions controlling the differentiation of embryonic stem cells, starting from microarray data. We have developed and implemented novel algorithmic approaches to this question, and tested them on two very large microarray data sets obtained by Austin Cooney's Lab at Baylor College of Medicine. A key biological question was to exploit microarray data to elucidate, for specific messenger RNA (mRNA) genes, which mRNAs are actually repressed by each microRNA (miRNA) in a specific list of 266 known miRNAs. The algorithmic technique we have developed is to formalize potential genes interactions by explicit chemical kinetics equations (CKEs) parameterized by unknown parameters, and then to compute good estimates of these parameters. An essential technical problem was to derive the adequate types of nonlinear CKEs to model genes interactions, and to estimate the unknown parameters of these CKEs by algorithmic analysis of the time evolutions for expressions data. One of the challenges is the massive size of the microarray data and the huge combinatorial possibilities number of groups of genes which may actually interact. Another statistical and mathematical challenge was to enforce a parameter parsimony principle, to avoid the massive and not very meaningful over-parameterization. In particular the thesis has focused on the intensive modeling and validation (or invalidation) of more than 5,000 biologically plausible instances of two basic architectural motifs for miRNA interactions with the main genes controlling differentiation in ES cells. These basic motifs are of small size and always involve at least one pair of potentially interacting mRNA and miRNA, in systematic compliance with major biological reference tables listing potential (mRNA, miRNA) interactions.

关键词： 2m阶常微分方程   Dirichlet边值问题   临界点   基态解   喷泉定理  

摘要： 微分方程Dirichlet边值问题是微分方程边值问题中比较典型的一类问题.对此问题,很多文献用拓扑度理论和不动点指数理论(参见文献[16]-[23]),或用Morse理论(参见文献[24]-[31]),或用临界点理论(参见文献[3],[5],[6],[7],[9]-[15])为工具已经获得许多有关解的存在性及多解性的结果.对本文有所启发值得指出的是文[3],[5],[6],[8],[9]. 文[5]将文[3]所建立的新的临界点理论运用到四阶常微分方程Dirichlet边值问题中,得到了方程存在四个解,六个解的结果；受文[5]的启发,本文第一章进一步研究如下4m阶常微分方程Dirichlet边值问题：其中运用文[6]将各类微分边值问题转化为算子方程的方法,得到了如下主要结果： (H1)若问题(1.1.1)存在一对严格上下解α<β,且α,β都满足问题(1.1.1)中的边值条件; (H2) f(t,u)关于u严格递增； (H3) f(t,u)关于u Lipschitz连续； (H4)存在μ>2,M>0,使得这里则问题(1.1.1)至少存在四个解. (H5)α1<β1,α2<β2分别是问题(1.1.1)的两对严格上下解,且都满足问题(1.1.1)的边值条件,则问题(1.1.1)至少存在六个解. 文[8,定理3.20,4.2,p.65-73]运用极小极大原理研究一类二阶椭圆型方程得到了基态解,无穷多解的存在性结果；本文第二章和第三章中运用文[8]的方法研究如下2m阶常微分方程Dirichlet边值问题：其中分别得到了如下结果：(H6)存在C0>0,使得(H7)f(t,u)=o(u),u→0,对t∈[0,1]一致成立；(H8)存在α>2,使得(H9)存在R>0,使得(H10)任给关于u严格递增, 则问题(2.1.1)在C2m[0,1]中有一基态解.定理2.3.4和定理3.3.2是关于2m阶常微分方程Dirichlet边值问题解的存在性的新的 结果,是本文的创新之处.

关键词： 边值问题   正解   不动点定理   锥拉伸与锥压缩   Green函数变号  

摘要： 常微分方程边值问题有着广泛的实际来源和理论应用,正解更有着重要的实际意义.本文主要研究常微分边值问题正解的存在性,共分四章.第一章,主要介绍了常微分方程边值问题有关正解的部分研究方向的研究历史及现状.第二章,通过引进一个新的泛函,研究了锥拉伸与锥压缩不动点定理的推广及应用.第三章,将一个多正解存在定理推广并将其应用到一类非线性项依赖所有低阶导数的n阶两点边值问题.第四章,讨论了一类Green函数变号的二阶两点边值问题,并得到了正解的存在性.

关键词： 边值问题   锥   锥拉伸和锥压缩   拓扑度  

摘要： 非线性常微分方程边值问题源于应用数学,物理学,控制论等各种学科中,是目前非线性泛函分析中研究活跃的领域之一.本文主要利用非线性泛函分析的锥理论和拓扑度理论及相应的不动点定理研究非线性常微分方程边值问题解的存在性. 第1章是本文的绪论部分,介绍了研究的课题. 第2章主要研究如下二阶积分边值问题正解和多解的存在性,其中a,b∈L[0,1]且为正的,α,β,γ,δ≥0是常数,且使ρ=βγ+αγ+αδ>0,f:[0,+∞)→[0,+∞)连续,h(t)允许在t=0和t=1处奇异.利用推广的锥拉伸和锥压缩不动点定理和五泛函不动点定理得到了二阶积分边值问题正解和多解的存在性结论.推广了张国伟和孙经先有关文献的相应结果. 第3章研究非线性奇异n阶三点边值问题非平凡解和多解的存在性,其中0<η<1,1<α<1/η,n为正整数且n≥3,h(t)允许在t=0和t=1处奇异,f不必是非负的.利用锥上的拓扑度和不动点指数理论研究了其非平凡解和多解的存在性,推广了郭丽君等有关文献的相应结果.