关键词：
四阶常微分方程
边值问题
解
存在性
多重性
摘要：
本文为四阶常微分方程边值问题解的存在性的研究综述,以几类常见的边界条件的四阶常微分方程的研究为主线,简要回顾了最近十多年来四阶常微分方程边值问题的研究状况以及所取得的研究成果,集中对解的存在性,多重性和非存在性以及对所使用的研究方法进行阐述.
本文共分四章.第一章的上半部分回顾了常微分方程理论的产生和发展过程并引入了四阶常微分方程的各种边值问题,下半部分介绍了一些基本概念和预备引理.
第二章介绍了利用不动点指标理论、上下解方法和锥拉伸与锥压缩不动点定理来证明四阶常微分方程两点边值问题解的存在性和多重性的方法,所讨论的方程包括非线性项不依赖未知函数二阶导数的情形(奇异和非奇异的)和非线性项依赖未知函数二阶导数的一般情形.
首先利用不动点指标理论给出如下边值问题多重正解存在的充分条件.这里函数f满足
(H1)f：[0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续；
(H3)令.存在p>0,使得当x∈[0,1],y∈[0,p]时,00,使得当x∈[1/4,3/4],y∈[1/24p,p]时,有f(z,y)>Bp.
定理1若f(x,y)满足假设(H1),(H2),(H3),则边值问题(1)至少存在两个正解u1,u2使得00使得
定理3假设条件(H1')-(H4')成立,且r(L)>1,则边值问题(1)至少有两个正解.对于非线性项依赖于未知函数二阶导数的情形借助于上下解方法可以得到如下的存在性结果.
定理4假设问题(2)存在上解a和下解β满足β≤α,β"≥α".函数f∶[0,1]×R×R→R是连续的,且满足f(t,u2,v)-f(t,u1,v)≥0,β(t)≤u1≤u2≤α(t),ν∈R,t∈[0,1], f(t,u,v2)-f(t,u,v1)≤0,α"(t)≤v1≤v2≤β"(t),u∈R,t∈[0,1].那么存在单调递减的序列{αn}n=0∞和单调递增的序列{βn}n=0∞,分别一致收敛于问题(2)于[β,α]上的最大解和最小解,这里α0=α,β0=β.
定理5假设问题(2)存在上解α和下解β满足β≤α,β"+r(α-β)≥α".函数f:[0,1]×R×R→R是连续的且满足当β(t)≤u1≤u2≤α(t),v∈R,t∈[0,1]时, f(t,u2,v)-f(t,u1,v)≥-b(u2-u1),当v2+r(α-β)≥v1,a"+r(α-β)≤v1,,v2≤β"+r(α-β),u∈R,t∈[0,1]时, f(t,u,v2)-f(t,u,v1)≤a(v2-v1),这里a,b≥0,a2-4b≥0,r1,2=(a±(?))/2.那么存在单调递减的序列{αn}n=0∞和单调递增的序列{βn}n=0∞,分别一致收敛于问题(2)于[β,α]上的最大解和最小解.
第三章介绍了利用上下解方法和锥拉伸与锥压缩不动点定理证明四阶常微分方程多点边值问题解的存在性的方法,所讨论的方程包括非线性项f不依赖弯矩项u"的情形,非线性项依赖于弯矩项u"的情形和依赖于未知函数三阶导数的情形.
对于问题其中a,b,c,d是非负常数,0≤ξ1<ξ2≤1,有如下存在性结果.
定理6若下列条件成立：(B1)a,b,c,d,ξ1,ξ2是非负常数,且满足0≤ξ1<ξ2≤1,b-aξ1≥0,d-c+cξ2≥0,δ=ad+bc+ac(ξ2-ξ1)≠0；(B2)f(t,u)∈C([0,1]×[0,∞),R+)关于u单调不减,当f∈(ξ1,ξ2)时,f(t,t(1-t))(?)0,并且存在常数0<μ<1使得对任意0≤k≤1,有kμf(t,u)≤f(t,ku).
则边值问题(3)至少存在一个正解.
当问题(3)中的非线性项f=f(t,u,u")时,记利用锥拉伸与锥压缩不动点定理可得
定理7若函数f满足下列条件：(C1)f∈C([0,1]×[0,∞)×(-∞,0],[0,∞))；(C2)f次线性,即min f0=+∞,max f∞=0.则边值问题(3)至少存在一个正解.
定理8若函数f满足条件(C1),且如下条件成立：(C3)f是超线性的,即max f0=0,min f∞=+∞.则问题(3)至少存在一个正解.通过改进上述正解存在性的条件,可以证明问题(3)存在多重正解.
定理9设函数f满足(C1),并且同时满足以下两个条件：(C4)min f0=min f∞=+∞；(C5)存在常数l1>0,使得对任意t∈[0,1],x∈[0,l1],-y∈[0,l1]有则问题(3)至少存在两个正解u1,u2满足0<‖u1‖20,使得对任意t∈[0,1],x∈[0,l2],-y∈[l2/4,l2]有则问题(3)至少存在两个正解u1,u2满足0<‖u1‖20,f:[0,1]×R4→R是连续函
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