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关键词： 二阶常微分方程   周期边值问题   临界点   不动点定理   山路引理  

摘要： 微分方程周期边值问题是边值问题中比较典型的一类问题.很多作者对这一问题给予了广泛的研究.本文讨论了两类周期边值问题,一类是二阶微分组周期边值问题；另一类是具有非线性项的二阶微分周期边值问题,其中我们利用不定点定理,变分方法和临界点理论主要研究了这两类问题正周期解的存在性和多重性. 本文在第二章讨论了二阶微分组周期边值问题：并得出如下结论： 定理2.2假设下列条件成立： (A1)(?) (?)f(t,u)/u=+∞； (A2)存在p∈C([0,T],R+),q∈(R+,R+),满足 (A3)(?)(u)/u=0.若则问题(2.2)至少有一个正解.定理2.3假设条件(A1),(A2)成立且f,q满足下列条件： (A4)(?) (?)f(t,u)/u=+∞; (A5)存在0<ρ≤1,使得若则问题(2.2)至少有两个正解.在第三章中,研究了二阶常微分周期边值问题：且有下列结果： 定理3.1假设f满足下列条件： (F1)存在μ0>λ1,使得(?)f(s)/s=μ0; (F2)存在μ1,μ2,μ3,μ4>0,μ1<λ1<μ0<μ2,使得则存在λ*>0,使得当λ∈(0,λ*)时,问题(3.1)至少有两个非平凡的T-周期解.

关键词： 拉普拉斯变换   常微分方程   初值问题  

摘要： 根据拉普拉斯变换的线性性质,可以使一个未知函数所满足的常系数线性微分方程的初值问题经过拉普拉斯变换后,转化为它的象函数所满足的代数方程。解此代数方程,然后再取拉普拉斯逆变换,就得到原微分方程的解。

关键词： 常微分方程   教学   改革  

摘要： 常微分方程是数学各个专业学生的重要基础课之一,对于常微分方程课程进行教学改革势在必行,先进的教学方法有利于提高学生的思维品质和创新能力,而教师的教学改革起着非常关键的作用。

关键词： 特征值准则   非线性微分方程   边值问题   锥   正解   不动点指数定理  

摘要： 常微分方程是数学领域不可替代的一门重要学科,并逐渐成为现代科学技术中分析和解决问题强有力的工具。对微分方程的研究在当代的生产生活实践中具有极其重要的作用。边值问题是常微分方程理论研究中一个活跃且其成果丰硕的领域,尤其在非线性微分方程中对多点边值问题的研究,许多作者都取得了丰富的成果。 解的存在性是常微分方程研究的重要问题之一。研究常微分方程解的存在性问题可转化成研究其相应的积分算子在Banach空间上锥中的不动点的存在性问题。证明解的存在性常用的不动点定理有:Schauder不动点定理,Krasnosel’skii不动点定理,Leggett-Williams不动点定理以及五个泛函不动点定理等。除此之外,也出现了一些新的方法研究方程解的存在性,如利用积分算子的特征值的方法研究解的存在性就是其中之一。本文就是利用算子的特征值的方法解决了几类微分方程边值问题正解的存在性。 本论文共分三大主要部分,内容如下: 首先,通过对n–阶微分方程多点边值问题的研究,应用新的方法——特征值的方法研究其边值问题解的存在性。在方程中非线性项可以在[0,1]上任意点具有奇性或在定义域内不具有连续性的情况下,证明了n–阶m点非线性边值问题至少存在三个正解。 其次,讨论三阶带有积分边值条件的常微分方程正解存在性的问题。我们研究该方程对应的积分方程的积分算子的特征值,并根据不动点指数定理,判定三阶微分方程边值问题多重正解的存在性。 最后,我们研究非线性项中含有二阶导数的带有积分边值条件的边值问题。我们定义了Banach空间的范数中含有导数的范数,借此证明其边值问题正解的存在性。

关键词： 四阶非线性常微分方程   Costa型非二次条件   临界点   周期解   山路定理   鞍点定理   环绕定理  

摘要： 二十世纪七八十年代,人们在研究具有四阶色散的光纤的脉冲传播时建立了广义非线性薛定谔方程并考虑其形如w(t,x)=u(t)eikx,k∈R的解,则方程可转化为 近二十年来,人们利用临界点理论研究上述类型的四阶非线性微分方程已经取得了很多很好的成果(文献[8]一[14]). 本文主要研究更一般的四阶非线性常微分方程周期解的存在性.其中A,B为常数,f(x,0)=0,令满足全局Costa型非二次条件：(F1)μ存在α>0,μ>2,使得f(x,u)u-2F(x,u)≥a|u|μ,(?)x∈R,u∈R\{0}. 为了较方便的研究此问题,本文首先研究边值问题(P)：的解的存在性.将上述问题转化为研究泛函的临界点的问题,此泛函定义在空间X=H2([0,L])∩H01([0,L])上.易知工的临界点就是上述问题的弱解同时也是上述问题的经典解.然后利用临界点理论中的山路定理、鞍点定理、环绕定理分别研究当A<0,B>0,A>0,B>0,A>0,B<0,以及A<0,B<0时泛函Ⅰ的临界点的存在情况. 若u(x)为泛函Ⅰ的临界点即边值问题(P)的解,根据条件(F) F(x,u)=F(x+2L,u),F(x,u)=F(-x,-u),(?)x∈R,U∈R.将u(x)在区间[-L，L]上进行奇拓展然后将u=u(x)在R上进行2L周期拓展即可得到方程(1)的2L周期解。

关键词： 多主体系统   一致性算法   生成树   充分必要条件   边值问题   不动点定理  

摘要： 本文分两个部分,第一部分研究了多主体系统的一致性算法,首先提出了一种新的一致性算法,其中v(0)=(v1(0),...,vn(0))=v0,接下来,从理论上讨论了在无时滞和存在时滞的两种情况下,在该算法下系统取得一致的充分必要条件,最后利用matlab进行数值仿真。 第二部分主要讨论了一类四阶微分方程的边值问题的正解的存在性。 首先讨论了四阶四点边值问题y(4)(t)-f(t,y(t),y"(t))=0, 0≤t≤1, y(0)=y(1)=0, ay"(ξ1)-by(?)(ξ1)=0,cy"(ξ2)+dy(?)(ξ2)=00≤ξ1<ξ2≤1.利用Krasnosekii不动点定理,给出了一些正解存在的充分性条件。 接着讨论了四阶m点边值问题u(4)-λh(t)f(t,u,u")=0,00,ai,bi>0,利用著名的锥上的Guo-Krasnosel' ski不动点定理和单调增算子的不动点定理,给出了上述m点边值问题的正解的存在性,不存在性,多解的存在性的充分条件。

ISBN: (纸本)9787030313119

关键词： DIFFERENTIAL equations   SYMMETRIC functions   LINEAR algebras   MATHEMATICAL analysis   LIE algebras  

摘要： Five equivalence classes had been found for systems of two second-order ordinary differential equations, transformable to linear equations (linearizable systems) by a change of variables. An " optimal (or simplest) canonical form" of linear systems had been established to obtain the symmetry structure, namely, with 5-, 6-, 7-, 8-, and 15-dimensional Lie algebras. For those systems that arise from a scalar complex second-order ordinary differential equation, treated as a pair of real ordinary differential equations, we provide a " reduced optimal canonical form." This form yields three of the five equivalence classes of linearizable systems of two dimensions. We show that there exist 6-, 7-, and 15-dimensional algebras for these systems and illustrate our results with examples.

关键词： 倒向双重随机微分方程   Malliavin微分   Skorohod积分   比较定理   推广Bihari条件   变差逼近   两点边值  

摘要： 本学位论文旨在研究多过程驱动的随机常微分方程几类终值与边值问题适应解的性质,其中的驱动过程由三个独立的随机过程组成(两个维纳过程Wt,Bt与一个跳过程Lt),而对应的σ域全体Ft既不单增也不单降,故不构成一般的域流.全文共分三大部分.第一部分,通过证明带跳的一般Skorohod积分意义下的Ito公式和Doleans-Dade公式,首次证明了由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程,当系数函数f与Z有关时的比较定理,我们给出的条件为易于判定的“负跳一致小”条件.第二部分,证明了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在不同Bihari条件下适应解的存在唯一性.第三部分,不同于Pardoux和Peng的鞅表示定理,本文通过扩大解容许范围引入变差逼近的思想,研究随机微分方程两点边值问题适应解的存在性.给出方程适应解存在的充要条件,同时利用构造解序列的方法给出方程的一个适应解.为此全文共分五章. 第一章给出本学位论文所需要的预备知识,包括Levy过程,Skorohod积分以及Malliavin微分的一些主要结论和性质. 第二章讨论在金融和偏微分的概率解释中有重要应用价值的,由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程：通过证明上述方程的适应解在Malliavin微分意义下的可微性,给出了一种易于判断的比较定理的存在条件.第一节利用函数逼近的方法,证明了当终值ξ与系数函数满足一定条件时,倒向双重随机微分方程解的高阶矩的存在性(定理2.3.1,定理2.3.2).第二节和第三节,利用Malliavin微分的性质和Picard迭代法,分别证明了倒向双重随机微分方程对Wiener过程{Bt}的一阶、二阶Malliavin导数的存在性,指出解的一阶、二阶Malliavin导数也满足一个线性的倒向双重随机微分方程(定理2.4.1,定理2.5.1),同时也证明了倒向双重随机微分方程的解的一、二阶Malliavin导数的高阶矩的存在性(定理2.4.2,定理2.5.2).第四节,通过证明了带跳的Skorohod积分意义下的Ito公式(定理2.6.1)和Doleans-Dade公式(定理2.6.2),以及对生成Teugels鞅的Levy过程的详细讨论,给出了系数函数f与Z有关时,在“负跳一致小”条件下适应解的比较定理(定理2.6.4). 第三章讨论由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在不同Bihari条件下,适应解的存在唯一性.第一节讨论由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程(Eq.(1)),当系数g满足Lipschitz条件,f满足推广的Bihari条件：|f(t,y1,u1,z1)-f(t,y2,u2,z2)|2≤c(t)k(|y1-y2|2)+K(|u1-u2|2+‖z1-z2‖2)时,利用推广It6公式、Picard迭代法和区间延拓过程,证明了上述方程Ft-适应解的存在唯一性(定理3.2.1).第二节利用推广的Bihari不等式和截断函数,给出了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在局部Bihari条件下解的存在唯一性(定理3.3.2).第三节同样借助推广的Bihari不等式和一些光滑函数,给出了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在单调Bihari条件下解的存在唯一性(定理3.4.1,定理3.4.2). 第四章引入变差逼近的思想,研究如下形式的随机微分方程的两点边值问题dXt=f(t,Xt)dt+σ(t,Xt)dWt,AX0+BXT=ξ*.给出适应解存在的充分必要条件(定理4.3.1).在f(t,Xt)=ft的简单情况下,通过放宽可行解范围引入控制项ft,把解Xt延拓为(Xt,ft),并利用构造随机序列的方法得到方程的一个解(定理44.1),同时也证明了所构造的解对边值的连续依赖性(定理4.5.1).最后把我们得到解的充要条件分别与Strum-Liouvelle问题(关于正交性条件的例4.6.1)以及Peng关于倒向随机微分方程的“鞅逼近”问题(关于布朗桥的例4.6.2)相比较,说明本文给出的变差适应解的广泛性. 第五章总结了本学位论文的主要内容,并给出了研究展望.

关键词： Landesman-Lazer条件   共振   Hailtonian函数   微分方程  

摘要： 微分方程共振问题的周期解存在性是近年来国际上具有挑战性的研究课题之一.本文在国内外学者对微分方程研究的基础上,总结了对微分方程解存在性的研究现状,预测其发展前景,进一步研究常微分方程共振问题的周期解.本文主要工作如下： 第二章对已有的一阶微分方程产生共振时的情况进行研究,证明其满足Landesman-Lazer条件以及在这个条件下方程周期解的存在性,也得出了Landesman-Lazer条件的几个等价条件及其证明.并且证明了该一阶微分方程产生单共振时,满足Landesman-Lazer条件以及在这个条件下方程周期解的存在性. 第三章研究了二阶微分方程.首先给出了无阻尼二阶微分方程满足Landesman-Lazer条件,以及在该条件下方程周期解存在性；同时给出了阻尼二阶微分方程满足Landesman-Lazer条件的周期解存在性.最后用一个例子来说明并不是所有的阻尼二阶微分方程存在周期解都要满足Landesman-Lazer条件. 第四章研究了一类特殊的一阶平面系统微分方程,当其两个Hamiltonian函数为同一个形式时,已有相关文献给出该系统产生双共振时满足Landesman-Lazer条件及周期解存在性.为了严谨性,本文分别给出了该系统产生单共振和无共振时满足Landesman-Lazer条件,方程周期解的存在性.