教学课程资源库 更多>>

关键词： 离散微分几何   常微分方程   有理近似解   切射丛   离散可微曲线   极小旋转标架  

摘要： 定义在曲线上的ODE方程的符号解和数值方法分别是计算机代数和计算数学的热点。这方面的算法很多，但很多都依赖于曲线的显式参数表达式或隐式约束表示。然而在实际应用中，空间曲线通常是通过参数采样得到的，已知的仅是一列有序的采样点的信息。曲线的方程是未知的，所以定义在其上的ODE只能有近似解。试图先对离散点进行某种插值得到曲线的方程，然后运用已有算法的想法是行不通的，因为最终要得到的结果应该是不依赖于曲线填充方式的。\n 这方面目前直接相关的研究结果很少。基于此，本文提出了离散微分几何的新概念-n阶离散可微曲线。对于定义在离散可微曲线上的有理ODE方程，我们分别在四种可能的情况下给出了寻找有理近似解的完整算法，并且证明了若算法在一个近似精度下没有输出结果，则ODE根本不存在该精度下的有理近似解。我们在Maple平台上实现了符号近似解公式的自动生成算法，并且在Matlab平台上对输出的公式进行了数值实验。最终实验结果支持我们的理论和算法。\n 做为应用的实例，上述理论和算法被用来研究极小旋转标架(RotationMinimizing Frame，RMF).RMF可以归结为离散可微曲线上一个简单的ODE的初值问题的解。在对曲线单向追踪和正反向追踪的情况下，我们的算法分别生成了单步误差余项为o(u4)和o(u6)的有理近似解公式，这里u是采样的参数步长。同时保证了对于有理近似解，4和6分别是两种情形下最高可能的近似的阶数。

关键词： 高阶变系数线性   常微分方程   可解类型   变量代换  

摘要： 常微分方程的形成和发展与力学、天文学、物理学等密切相关,这使数学家们深信微分方程在认识自然和改造自然方面的巨大力量。现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,特别是现代控制论中大量应用到变系数线性微分方程以及变系数线性微分方程组。这些问题大都可以转化为求常微分方程的解,或者转化为研究常微分方程的解的性质问题。应该说,常微分方程的理论研究已经取得了很大成就,但是,它的现有理论还远远不能满足实际生产的需要,这门学科还有待于进一步的发展,使其理论体系更加完善。\n 对于变系数线性微分方程,一般来说是不容易求解的,但是经过不断的研究,数学家发现一些特殊类型的变系数线性微分方程是可以通过变量代换等方法转化为可解的微分方程,例如,Euler方程就是常见的一种。目前,在讨论变系数线性微分方程的可解性时采用的变量代换大多是自变量变换或者是未知函数的线性变换,所得结论也具有一定的相似性。\n 本文利用带导数的变量代换来研究变系数线性微分方程的可解性,并得到若干新的可解类型。\n 首先本文通过带未知函数一阶导数的变量代换将三阶变系数线性微分方程降阶转化为二阶常系数线形微分方程,从而得到三阶变系数线性微分方程一个新的可解类型。然后利用相同的思路来研究四阶、五阶变系数线性微分方程可解性的充分条件,最后总结其变化规律得到n阶变系数线性微分方程的一个新的可解类型。\n 其次本文综合利用带未知函数导数的变量代换、未知函数的线性变换以及自变量变换将高阶变系数线性微分方程转换为低阶线性微分方程或者是常系数线性微分方程等已知的可解类型,从而得到三阶、四阶变系数线性微分方程新的可解类型。\n 最后本文利用带未知函数二阶导数的变量代换将三阶变系数线性微分方程转化为一阶线性微分方程,从而得到三阶变系数线性微分方程新的可解类型。并且用同样的思路来研究四阶、五阶变系数线性方程的可解性,最终总结规律,得出可以利用特殊的带未知函数n-1阶导数的变量代换来处理n阶变系数线性微分方程,从而得到n阶变系数线性微分方程的一个新的可解类型。

关键词： n阶常微分方程   Leray-Shauder原理   存在性  

摘要： 在非共振条件下运用Leray-Shauder原理讨论n阶非线性常微分方程m点边值问题u(n)(t)=f(t,u(t),u′(t),…,u(n-1)(t))+e(t)a.e.t∈(0,1)u′(0)=…=u(n-1)(0)=0,u(1)=∑m-2i=1aiu(ξi)解的存在性,其中f:[0,1]×Rn→R满足Carathéodory条件,e∈L1[0,1],n≥2,m>2,ai∈R且ai全为非正实数或非负实数,ξi∈(0,1),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1(i=1,2,…,m-2).

关键词： Taylor公式   常微分方程数值方法   初值问题   精度分析  

摘要： 应用Taylor公式对常微分方程初值问题的数值求解方法进行精度分析,针对3种不同形式的精度分析问题给出详尽的求解思路和方法,从而加深理解Taylor公式在常微分方程数值方法中的应用.

ISBN: (纸本)9787030301253

关键词： 恒化器模型   营养循环   优化收获策略   常微分方程   微生物种群  

摘要： 恒化器模型是生物数学研究中非常重要的模型之一.恒化器是研究营养限制条件下微生物种群动力行为的重要实验装置，利用这一装置连续培养微生物已成为微生物学研究中的一项重要研究手段，它是原理与应用间极其重要的中介.近些年来，恒化器广泛的应用于微生物种群增长和相互规律的研究，以及生态系统尤其是水生生态系统的管理、预测。　　 常微分方程在生命现象研究中具有重要作用.本文利用常微分方程建立并研究了几类具有营养再循环的恒化器微生物培养模型.全文分为四章。　　 第一章，我们介绍了本文的研究背景及有关的常微分、恒化器理论知识。　　 第二章，考虑到人为因素在生态系统中的作用，我们首先研究了一个引进了单营养再循环和资源开发的理论生物学中最常见的Monod型恒化器模型.对于该模型，我们分析了平衡点的稳定性，得到了-个符合实际的结果：适当的收获可以保证种群的持续生存，而过度开发则会导致种群灭绝.此外，我们讨论了优化收获策略，通过对状态方程和约束条件采取Pontryagin最大值原理，以最大利润为管理目标得到了最优捕获策略.其次，我们又研究了-个具有双营养再循环的开发恒化器模型，讨论了内部平衡点的存在性、稳定性及优化收获策略.两开发种群的分析结果表明横截条件满足时，优化平衡点处的影子价格始终保持常数不变，零折扣率导致收入的最大化，而无限大的折扣率使得经济利润为零。　　 第三章，主要研究了具有年龄结构、周期系数和营养再循环的单种群模型.通过-个线性算子的谱半径定义了-个影响模型稳定的阈值，通过对模型的分析进一步得到了，若R0<1，种群灭绝平衡点E0是全局渐近稳定的;若R0>1，该模型至少存在-个正周期解，并且此解是一致持久的。　　 第四章，考虑到现今社会中的环境污染问题以及植物和微生物中普遍存在的化感效应，我们建立了-个污染环境下的两种群竞争模型，并在此模型中引进了化感效应，讨论了该模型平衡点的稳定性及化感效应对模型的影响.通过分析可以知道，在没有其它上行一下行效应以及外部压力的影响下，化感效应使得竞争-个单有限营养的两种群之间存在一个稳定共存.接着在具有化感效应模型的基础上又添加了营养循环.通过讨论可知，引进营养循环项并不影响种群的稳定共存，此模型与未添加营养再循环项模型的动力学定性类似。

关键词： 连续化   隐式混合单步块方法   常微分方程   时滞微分方程   A-稳定   A_ω-稳定  

摘要： 常微分方程在物理、工程、生物、医学和经济学中具有重要的应用。求解常微分方程初值问题的主要数值方法包括Runge-Kutta方法、线性多步法和块方法等。块方法实际上是一系列线性多步法同时去求解常微分方程,它具有更高的精度、更好的稳定性以及适合于并行计算的优点。 连续型数值方法主要用于计算间断常微分方程、时滞微分方程、中立型微分方程和积分-微分方程。近年来,已经发展了许多连续型Runge-Kutta方法、线性多步法和单块方法。 本论文基于隐式混合单步块方法构造了一类连续隐式混合单步块方法,并证明该连续块方法求解常微分方程具有2k + 2阶的精度,且当k = 1,2,L ,5时该方法是Aω-稳定的。为了数值求解具有时滞的微分方程,我们重新构造一类连续型隐式混合单步块方法,并研究了该方法同样具有2k + 2阶的计算精度。同时,数值实验表明连续隐式混合单步块方法求解常微分方程和时滞微分方程具有相同的计算精度。

关键词： Boundary value problem   Matching solutions   Nonlocal  

摘要： We are concerned with the existence and uniqueness of solutions to nonlocal boundary-value problems on an interval [a, c] for the differential equation y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y',..., y^(n-1)), where n ≥ 3. We use the method of matching solutions, with some monotonicity conditions on f. © 2011 Texas State University - San Marcos.

关键词： INITIAL value problems   NUMERICAL solutions to differential equations   BOUNDARY value problems   ACCURACY   BESSEL functions  

摘要： We derive a variable step of the implicit block methods based on the backward differentiation formulae (BDF) for solving stiff initial value problems (IVPs). A simplified strategy in controlling the step size is proposed with the aim of optimizing the performance in terms of precision and computation time. The numerical results obtained support the enhancement of the method proposed as compared to MATLAB's suite of ordinary differential equations (ODEs) solvers, namely, ode15s and ode23s.

关键词： 常微分方程   数学分析   本科生   数学类   教学方法  

摘要： 常微分方程这门课程是数学分析的后继课程,是数学系本科大二学生的必修课,是主要服务于物理科学、航天科学、生态科学的最重要的数学工具,因此对课程的讲授是数学专业本科生教学的一个极为重要的组成部分。我从2004年开始教授本科生《常微分方程》这门课程,迄今为止已经教授过多