教学课程资源库 更多>>

关键词： 连续化   隐式混合块方法   A-稳定  

摘要： 推广了相关文献中用一类k-维隐式混合块方法求解微分方程初值,得到离散的数值近似解.对这些离散的数值解做连续化延伸,发现2k+2阶隐式混合单步连续块方法存在且惟一.同时还讨论了这类连续块方法在常微分方程中的A-稳定性及一些相关性质.

关键词： 二阶变系数齐线性常微分方程   Riccati方程   误差估计  

摘要： 给出了二阶变系数齐线性常微分方程一种新的求解方法.将二阶变系数齐线性常微分方程问题转化为Riccati方程来求解,讨论了二阶变系数齐线性常微分方程的通解和初值问题,得到初值问题近似解的理论基础、计算方法和误差估计.

关键词： 脉冲依赖于状态的微分方程   解   连续依赖性  

摘要： 本文讨论一类脉冲时刻依赖于状态的线性微分方程的初值问题,给出了解的存在唯一性。进而推广连续依赖性的概念,在新的意义下,获得了解连续依赖于初值和参数。所得结论有助于深入揭示脉冲时刻依赖于状态的微分方程的本质属性。

关键词： 变分方程   嵌入定理   针状变分   变分不等式  

摘要： 讨论控制出现在最高阶系数上二阶常微分方程系统最优控制满足的必要条件,得到了最优控制满足的变分不等式。首先讨论了系统的解的存在与唯一性,接着讨论了解的连续相依性。然后利用针状变分求出系统的变分方程,从而得到了最优控制满足的变分不等式。本文讨论的问题是类似文献[1]的最优控制问题在空间维数n=1的情形。

关键词： 二阶常微分方程   微分方程式   一阶方程   数学模型   第二定律   初等解法   微积分   代换法  

摘要： 随着微积分的创立，常微分方程问题也就出现了，实际上，牛顿（Newton，16421727，图见本刊2009年第6期）第二定律的数学模型就是一个二阶常微分方程式．到1740年左右，人们已经知道了几乎所有求解一阶方程式的初等解法．1728年，瑞士人欧拉（Euler，1707—1783，图1是1957年瑞士纪念欧拉诞生250周年发行的邮票）给出指数代换法，将二阶常微分方程化为一阶方程来求解．从而开始了对二阶常微分方程的系统研究．

关键词： 正解   积分边界条件   锥   不动点  

摘要： 运用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理,研究了含积分边界条件的三阶常微分方程边值问题正解的存在性,得到了至少一个正解存在的两个充分条件。

关键词： 常微分方程教学   数学建模   数学实验  

摘要： 阐述了在常微分方程教学中渗透数学建模思想的重要性与可行性,提出了在教学中渗透数学建模思想的途径和方法。

关键词： 高维系统   规范形   多重李括号   参数变换   常微分方程   动力学性态  

摘要： 规范形的理论主要基于常微分方程动力学性态和非线性变换理论.由于它能在平衡点或周期解运动解附近最大限度的化简常微分方程，并且保持原方程的拓扑不变性，因此成为研究微分动力系统的重要手段，也成为数学物理工作者广泛关注的课题之一.近年来规范形的研究与应用正朝着高维的方向发展，其求解化简是非常复杂而繁琐的过程，针对上述问题，本文做了如下方面的工作：\n (1)利用多重李括号与带参数变换相结合的方法对一类高维双零特征值加双曲的规范形做进一步的研究，通过符号运算数学软件Maple，编制化简程序，在经过中心流形降维的情况下，得到了更高阶的一般形式．\n (2)在不经过中心流形降维的情况下，研究了一类具有三零特征值的三维非线性动力系统的化简问题.利用多重李括号与带参数变换相结合的方法对化简系数进行了理论推导，得到了系数的对应关系，借助符号运算语言Maple编制了化简程序，得到了一阶规范形．

关键词： 四阶非线性常微分方程   非二次条件   周期解   临界点   存在性  

摘要： 二十世纪七八十年代，人们在研究具有四阶色散的光纤的脉冲传播时建立了广义非线性薛定谔方程i(6)w/(6)x+(6)2w/(6)t2-(6)4w/(6)t4+|w|2w=0.并考虑其形如w(t，x)=u(t)eikx，k∈R.的解，则方程可转化为u(4)-u(\'\')+ku-u3=0.\n 近二十年来，人们利用临界点理论研究上述类型的四阶非线性微分方程已经取得了很多很好的成果.\n 本文主要研究更一般的四阶非线性常微分方程u(4)(x)+Au(\'\')(x)+Bu(x)-f(x,u)=0，x∈R.(1)周期解的存在性.其中A，B为常数，f(x，0)=0,令F(x,u)=([)f(x,s)ds,F(x,u)∈C1(R×R,R)满足全局Costa型非二次条件:(F1)μ存在α＞0，μ＞2，使得f(x, u)u-2F(x,u)≥a|u|μ，(A)x∈R，u∈R\\{0}.\n 为了较方便的研究此问题，本文首先研究边值问题(P):u(4)(x)+Au(\'\')(x)+Bu(x)-f(x,u)=0，x∈[0，L]u(0)=u(L)=u(\'\')(0)=u(\'\')(L)=0的解的存在性.将上述问题转化为研究泛函I(u)=1/2(([)u(\'\')2-Au(\')2+ Bu2)dx-([)F(x，u)dx的临界点的问题，此泛函定义在空间X=H2([0,L])∩H10([0,L])上.易知I的临界点就是上述问题的弱解同时也是上述问题的经典解.然后利用临界点理论中的山路定理、鞍点定理、环绕定理分别研究当A＜0，B＞0，A＞0，B＞0，A＞0，B＜0，以及A＜0，B＜0时泛函I的临界点的存在情况.\n 若u(x)为泛函I的临界点即边值问题(P)的解，根据条件(F)F(x，u)=F(x+2L，u),F(x，u)=F(-x,-u),(A)x∈R，u∈R.将u(x)在区间[-L,L]上进行奇拓展(u)=(u)(x)={u(x),x∈[0,L];-u(-x),x∈[-L,0].然后将(u)=(u)(x)在R上进行2L周期拓展即可得到方程(1)的2L周期解.

关键词： 三阶线性常微分方程   Sinc离散   预处理迭代法   Toeplitz矩阵   特征值估计   Krylov子空间  

摘要： 三阶常微分方程在天文学和流体力学等学科的研究中有着广泛的应用。目前，对于三阶常微分方程采用Sinc离散的数值方法的研究并不多。由于Sinc方法具有较高的精度和能够处理奇异问题等诸多优点，在求解常微分方程时是非常有效的。\n 本文研究了三阶线性常微分方程由Sinc方法离散所得到的线性方程组的预处理迭代法。首先，我们用Sinc方法对三阶线性常微分方程进行离散，证明了离散解以指数阶收敛到原问题的精确解。由离散所得到的线性方程组的系数矩阵是Toeplitz矩阵与对角矩阵的组合。为了利用Krylov子空间方法有效地求解离散后的线性方程组，我们提出了结构化带状预处理子，并证明了预处理矩阵的特征值位于一个矩形区域内。数值算例证明了Sinc方法的收敛性以及带状预处理子的有效性。\n 由于采用Sinc方法直接离散三阶线性常微分方程所得到的线性方程组的系数矩阵是高度病态的，我们通过引入新的变量将三阶线性常微分方程等价转化为由两个二阶线性常微分方程构成的常微分方程组，从而避免了三阶项所带来的数值困难。利用Sinc方法对降阶后的常微分方程组进行离散，我们同样证明了离散解以指数阶收敛到其精确解。离散后的线性方程组的系数矩阵是分块2×2的，而且每一块都是Toeplitz矩阵与对角矩阵的组合。这类线性方程组具有很好的矩阵结构和代数性质，因此可以运用块对角预处理Krylov子空间方法进行求解。我们证明了预处理矩阵的某种近似的特征值是一致有界的，而且位于一个与离散线性方程组的规模无关的矩形区域内。数值算例表明，新的降阶方法和块对角预处理子对求解三阶线性常微分方程是非常有效的。\n 之后，对于降阶后的二阶常微分方程组由Sinc方法离散所得到的线性方程组，我们构造了块三角预处理子，并分析了预处理矩阵的特征性质。数值试验验证了块三角预处理子的有效性。此外，我们还对三阶线性常微分方程考虑了几类特殊的降阶方法，并进行了对比性研究。\n Sinc方法不仅可以用来离散三阶线性常微分方程，还可以用来离散各阶常微分或偏微分方程。对各阶微分算子用Sinc方法进行离散，可以得到一类Toeplitz矩阵。我们给出了这类Toeplitz矩阵的一般表达式，及其代数性质和特征值的界。针对这类Toeplitz矩阵，我们提出了一类Toeplitz带状预处理子，并分析了预处理子的性质以及预处理矩阵的特征值的一些界。这些基本结果在为由Sinc方法离散常微分或者偏微分方程所得到的线性方程组构造有效的结构化预处理子时是非常有用的，并且对于分析预处理矩阵的代数性质和特征值的范围也起着很大的作用。