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关键词： ORDINARY differential equations   DELTA-functional potential   NONLINEAR equations   DERIVATIVES (Mathematics)   DIRAC function   STOCHASTIC convergence   MATHEMATICS  

摘要： This article is devoted to nonlinear ordinary differential equations with additive or multiplicative terms consisting of Dirac delta functions or derivatives thereof. Regularizing the delta function terms produces a family of smooth solutions. Conditions on the nonlinear terms, relating to the order of the derivatives of the delta function part, are established so that the regularized solutions converge to a limiting distribution.

关键词： 指纹   指纹奇异点   方向场   离散余弦变换   常微分方程  

摘要： 指纹奇异点(包括核心点和三角点)对指纹图像的脊谷纹理走向和结构有重要影响,是指纹图像的一个重要特征点,常用于指纹图像分类和识别等,因此准确检测奇异点具有重要意义。传统的奇异点检测方法主要基于方向场变化,容易受噪声影响。本文提出一种新的基于模型分析的指纹奇异点检测方法。首先基于离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,简称DCT变换)基函数对方向场进行建模,在计算方向场的基础之上,利用常微分方程系统线性化数学模型,通过对模型参数和平衡点进行分析,检测指纹奇异点位置。实验结果表明基于常微分方程线性化模型分析的指纹奇异点检测方法,和传统的Poincare Index方法相比,对噪声有较好的鲁棒性,奇异点检测的精确度有较大的提高。

关键词： 常微分方程   离散变分方法   哈密尔顿系统   能量守恒   辛结构  

摘要： 哈密尔顿系统是动力系统的重要体系，绝大多数无耗散的物理或化学现象都能表示成哈密尔顿方程.哈密尔顿方程有两个重要的性质：(1)能量(H)是守恒的;(2)解相流保持辛结构不变.数值方法应该尽可能多的保持原问题的固有属性，同时，这样的方法也具有良好的稳定性以及长时间计算的精确性.但是，Ge-Marsden定理表明，从原方程出发，用传统的有限差分方法构造具有保能量的辛差分格式是无法实现的.因此，本论文通过另外一种方法，即离散全变分的方法来构造保能量的辛算法。　　第一章简要回顾了哈密尔顿系统的基本性质以及辛算法的发展历史和现状，说明了拉格朗日系统和哈密尔顿系统的等价性。　　第二章和第三章分别回顾了基于拉格朗日系统和哈密尔顿系统的变分原理，由离散变分原理构造了具有能量守恒和保持辛结构不变的数值方法。　　第四章根据具体的常微分方程，找出相应的拉格朗日算子或哈密尔顿算子，将原问题转化为求解欧拉-壬立格朗日方程或者哈密尔顿方程.数值试验验证了变分方法的有效性和优越性，并将变分方法和定步长方法进行比较.试验表明，虽然二者得到的轨迹图以及相空间结构图几乎是重合的，但是，变分方法具有保能量的优点，而一般情况下，定步长方法得到的能量是不守恒的。

关键词： 偶数阶边值问题   不动点   锥   正解  

摘要： 本文运用了Legget-Williams不动点定理和不动点指数定理以及相关不等式技巧,主要研究了几类偶数阶常微分方程多点边值问题的正解.全文共分五章,本人的主要工作集中在第二章,第三章和第四章. 第一章简述了常微分方程边值问题产生的历史背景、研究现状及本文用到的相关基础知识. 在第二章中,运用不动点指数定理讨论了如下一类具p-Laplacian算子的二阶方程组的边值问题.的正解.本章对f和g作类似超线性或次线性的限制,给出该问题正解的存在定理.其中φp(s)是p-Laplacian算子,即φp(s)=|s|p-2s,p>1,αi>0,βi>0,0<ξ1<ξ2<…<ξn<1/2,ξi+ηi=1, i=1,2…n. 在第三章中,讨论了以下四阶三点方程的边值问题对称正解的存在性.其中α,β∈(0,1),η∈(0,1/2], h(t)∈L1(0,1)是非负对称的,f:[0,1]×(0,∞)→[0,∞)连续,且对所有u∈[0,∞),f(·,u)在[0,1]上对称. 在第四章中讨论了如下的偶数阶四点边值问题其中0<αi<1/ε,0<ε<η<1,αiβiη-αiβiε+αi+βi>0, i=1,2…m, g:(0,1) j[0,+∞)在(0,1)上连续,且可能在t=0或t=1奇异,f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)上连续.本章利用Leggett-Williams不动点定理,建立了边值问题至少存在三个和任意奇数个正解的充分条件. 第五章结束全篇,阐述了本文的不足和后续工作的设想.

关键词： 二阶常微分方程   周期解   上解   下解  

摘要： 构造下列方程u″(t)=g(t)/uμ(t)-h(t)/uλ(t)+f(t),a.e.t∈[0,ω]u(t)=u(ω),u′(0)=u′(ω)的上下解,给出了方程存在周期解的充分条件.

关键词： 常微分方程   定解问题   格林函数  

摘要： 研究了二阶线性常微分方程定解问题的格林函数方法,具体计算了初值问题和边值问题的格林函数,并证明了格林函数的对称性。本文得到的结果不仅可以用于求解常微分方程定解问题,而且为数学物理方法课程中格林函数方法的教学奠定了基础。

关键词： Laguerre-Gauss配置方法   二阶常微分方程   初值问题  

摘要： 研究二阶常微分方程初值问题的数值解法.基于Laguerre-Gauss插值设计了一类新的配置法,它易于计算,且特别适用于非线性问题.分析了两种不同情况时的收敛性,并应用Laguerre-Gauss插值的最新结果,证明了它的谱精度.提供了一种多步配置法,它既简化了计算,又保持同样的谱精度.数值结果显示了这些算法的高精度.

关键词： 常微分方程   积分方程   不动点定理   黎曼流形  

摘要： 该文研究了常微分方程d2u/dx2+K(x)2n=0在(-1,1)上整体解的存在性,此问题源于H2上的预定保角高斯曲率问题,证明了一个存在定理,解释了其几何意义。

关键词： 微分方程   级数解法   递推公式  

摘要： 在数学物理方法中常见的几种偏微分方程在柱坐标系或球坐标下分离变量时会出现二阶线性齐次常微分方程,为了求解这类常微分方程,常用级数解法.该方法的核心问题就是找解函数级数的系数递推公式,本文推荐一个比较简单的求系数递推公式的方法.